2-2 射影束公式

作用群つきスキーム $(X,G)$ の上の作用つき局所自由加群 $\mathbb E$ の射影束 $P(\mathbb E)$ について、その混合エタールコホモロジーが $X$ の混合コホモロジーの $r$ 個の写しの直和になり、基本類 $\xi$ の冪 $1,\xi,\dots,\xi^{r-1}$ がその基底を与えることを示す。係数には 1 の冪根の捩れ $\mu_n^{\otimes(-j)}$ が現れ、和はちょうど $0\le j\le r-1$ の範囲をわたる。原論文の (1.12) と (2.4) は和の上限を書かずに印字されており、そのままでは成り立たないことも確かめる。

この頁で示すこと

$(X,G)$ は作用群つきスキーム（本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』）、$n$ は許容される整数、$\mathbb E$ は $(X,G)$ 上の階数 $r\ge1$ の作用つき局所自由加群とする。本書の規約により $P=P(\mathbb E):=\operatorname{Proj}\operatorname{Sym}(\mathbb E^\vee)$（$\mathbb E$ のファイバーの直線の空間）、$f\colon P\to X$ は射影、$\mathcal O(-1)\subset f^*\mathbb E$ は標準的な直線部分束、$\xi=\xi_{\mathbb E}:=c_1(\mathcal O_P(1))=\partial\,cl(\mathcal O_P(1))\in H^2(P,G;\mu_n)$ とする。$F$ は $(X,G)$ 上の $\mathbf Z/n$ 加群の層（$n$ で消える可換群の層）を表す。
本頁の主結果は次の四つである。

1. 射影束の高次順像（原論文 (1.8)、印字 p. 234。作用群つきは小節 2.2、印字 p. 246）：$q$ が奇数か $q>2(r-1)$ なら $R^qf_*f^*F=0$ であり、$0\le i\le r-1$ なら $\xi^i$ との cup 積が同型 $F\otimes\mu_n^{\otimes(-i)}\xrightarrow{\sim}R^{2i}f_*f^*F$ を与える。とくに $R^{2i}f_*(\mu_n^{\otimes i})$ は $\xi^i$ の像を基底とする階数 1 の自由 $\mathbf Z/n$ 加群の層である。［条件付き：固有底変換定理と射影空間のエタールコホモロジーを引用］
2. 導来圏での分解（原論文 (1.9) とその直後、印字 p. 235）：$\xi^j$ との cup 積が定める射 $\bigoplus_{j=0}^{r-1}(F\otimes\mu_n^{\otimes(-j)})[-2j]\to Rf_*f^*F$ は $(X_{\text{ét}},G)$ の導来圏の同型である。［条件付き：主結果 1 による］
3. 射影束公式（原論文 (1.12) と (2.4) の訂正形、印字 p. 236、p. 246）：すべての次数 $i$ で、$(a_j)_j\mapsto\sum_jf^*(a_j)\cup\xi^j$ は同型 $\bigoplus_{j=0}^{r-1}H^{i-2j}(X,G;F\otimes\mu_n^{\otimes(-j)})\xrightarrow{\sim}H^i(P,G;f^*F)$ である。［条件付き：主結果 2 による］原論文の形は反例「一点の上の階数 1 の束で次数 2」で破れる。
4. 一般の局所環付きトポスの場合（原論文 §1 の設定、印字 pp. 232–236）：原論文の §1 は、局所環付きトポス $X$ の上で (1.1)(1.2)(1.8) とその帰結が成り立つとして射影束公式を述べる。［未完結：局所環付きトポスのエタール景と、相対スキームへの固有底変換定理の延長が原論文に無い］
   主結果 1 は、作用を忘れて幾何的な点での茎に移り、固有底変換定理で射影空間のコホモロジーに帰着する。主結果 2 はそれを導来圏の一つの射にまとめたもので、主結果 3 はその大域切断をとったものである。本頁で閉じるのは、この三段の橋渡し（作用を忘れてよいこと、茎の上での cup 積の一致、導来圏での同型の判定）と、印字の形が偽であることの反例である。射影束公式から Chern 類を定める段は本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』で扱う。

背景と動機

Chern類を射影束から定める方法は Grothendieck 1958 Gro58 に始まる（参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『1-1 射影束と標準線束』『3-1 Chern 類の定義と一意性』）。階数 $r$ の束 $\mathbb E$ の射影束 $P$ の上では、基本類 $\xi$ の冪 $1,\xi,\dots,\xi^{r-1}$ が $P$ のコホモロジーを底 $X$ のコホモロジーの上の自由加群として生成する。すると $\xi^r$ は低い冪の一次結合としてただ一通りに書け、その係数が Chern 類である。第 3 巻が扱った Grothendieck 1958 の理論では、この射影束公式は Chow 環などの「モデル」が満たすべき公理 A 1 として置かれた（参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『2-1 公理 A 1〜A 4 と補題 2』）。
原論文 Gro68d はこの方法をエタールコホモロジーに移す。そのとき射影束公式は公理ではなく定理になり、二つの新しい点が現れる。第一に、係数は定数層 $\mathbf Z/n$ ではなく 1 の冪根の層 $\mu_n$ とその捩れで、$\xi\in H^2(P,\mu_n)$ の冪 $\xi^j$ は $H^{2j}(P,\mu_n^{\otimes j})$ に入る。したがって底の側の係数を $\mu_n^{\otimes(-j)}$ だけずらさないと次数が合わない。第二に、局所的な計算の根拠は、固有射の底変換定理と代数閉体の上の射影空間のコホモロジーという、エタールコホモロジーの深い二つの事実である。原論文の §1 は (1.8) を「鍵となる結果」と呼び、その証明を SGA 4 の固有底変換定理と、「よく知られた」射影空間のコホモロジーに帰着する（印字 pp. 234–235）。
原論文 §2 の小節 2.2（印字 pp. 245–247）は、同じ構成を作用群つきスキームに「転写」し、局所的な公式 (1.8) は作用を忘れて確かめればよいと書く。本頁は、この二つの場合をまとめて作用群つきで証明する（作用群が単位群なら §1 のスキームの場合である）。
原論文の印字には一つ問題がある。(1.8) と (1.9) の直後の文は基底を $\xi_0'^{\,i}$、$\xi_0^i$（$0\le i\le r-1$）と正しく書くが、(1.12) は和を「$j\ge0$」とだけ書き、その和が有限であることを「$2j\le i$ の $j$ に限ってよい」と括弧書きで説明する（印字 p. 236）。この範囲では $j\ge r$ の項が残り、式は成り立たない。本頁は和を $0\le j\le r-1$ とした形を主結果とし、印字の形が偽であることを反例で示す。

定義と準備

射影束と基本類を、作用群つきで定める。規約は本書全体で一つで、本書『0-6 記号と約束』の射影束の規約と同じである。

$\mathbb E$ の階数が一定でないときは、$X$ を階数が一定の開かつ閉な部分に分け、それぞれで考える。以下の主張は各部分で成り立てば全体で成り立つので、階数を $r$ に固定する。

原論文は §1 で $\xi$ を $c_1(\mathcal O_P(-1))$ とし（(1.5)）、§2 で $\partial\,cl(\mathcal O_P(1))$ とする（(2.5)）。本書の $\xi$ は §2 の形である。$\xi$ と $-\xi$ はどちらも基底の生成元を与えるので、主結果 1〜3 は $\xi$ の符号によらない。Chern 類の符号には効くので、その照合は下の注意「原論文の §1 の射影束の読み方と符号」で行う。

引用する事実

次の事実は証明せずに引用する。出典は主に SGA4（原論文の文献 [2]）、SGA5（原論文の文献 [25]）、Har66 で、該当箇所の番号は本頁では確認していない。第 0 章の頁『0-3 エタールコホモロジーと Galois コホモロジー』に要点がある。本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の引用する事実もそのまま使う。

1. 固有底変換定理（SGA 4 XII 5.1。原論文の引く箇所）：$f\colon P\to X$ を固有射、$H$ を $P$ の上の捩れ層、$\bar x\colon\operatorname{Spec}\Omega\to X$ を幾何的な点（$\Omega$ は代数閉体）、$P_{\bar x}=P\times_X\operatorname{Spec}\Omega$ とすると、制限写像が定める $(R^qf_*H)_{\bar x}\to H^q(P_{\bar x},H|_{P_{\bar x}})$ は同型である。
2. 射影空間のエタールコホモロジー（原論文の文献 [25] で「よく知られた」とされるもの。SGA 5 VII、SGA 4 XI の型）：$\Omega$ を代数閉体、$n$ を $\Omega$ で可逆な整数、$M$ を $\mathbf Z/n$ 加群、$\eta=c_1(\mathcal O(1))\in H^2(\mathbf P^{r-1}_\Omega,\mu_n)$ とする。$q$ が奇数か $q>2(r-1)$ なら $H^q(\mathbf P^{r-1}_\Omega,M)=0$ で、$0\le i\le r-1$ なら $\eta^i$ との cup 積は同型 $M\otimes\mu_n(\Omega)^{\otimes(-i)}\to H^{2i}(\mathbf P^{r-1}_\Omega,M)$ を与える。
3. 導来圏とカップ積（Har66、SGA 4 XVII の型）：トポスの $\mathbf Z/n$ 加群の層の有界下の導来圏 $D^+$ で、すべてのコホモロジー層の上で同型を誘導する射は同型である。$h$ をトポスの射で $h^*$ が完全なら、随伴 $\operatorname{Hom}_{D^+}(h^*A,B)=\operatorname{Hom}_{D^+}(A,Rh_*B)$ がある。$\mathbf Z/n$ 加群の層の単射的対象は、可換群の層として大域切断関手と順像関手に対し非輪状なので、$\mathbf Z/n$ 加群の導来圏で計算した $R\Gamma$・$Rh_*$ は可換群の層として計算したものと一致する。層 $A$ と局所的に $\mathbf Z/n$ と同型な層 $B$ と類 $c\in H^m(B)$ について、cup 積 $a\mapsto a\cup c$ は導来圏の射 $A\to(A\otimes B)[m]$ で表され、この表示は引き戻しと両立し、大域切断のコホモロジーの上では cup 積 $H^i(A)\to H^{i+m}(A\otimes B)$ を誘導する。cup 積は引き戻しと可換で、次数つきで結合的である。
4. 準連接層のエタールコホモロジー（SGA 4 VII の型）：スキーム $Y$ の準連接層 $\mathcal F$ から定まるエタール層のコホモロジーは Zariski 位相の $H^q(Y,\mathcal F)$ に等しい。体 $k$ の上の射影直線では $H^0(\mathbf P^1_k,\mathcal O)=k$、$H^q(\mathbf P^1_k,\mathcal O)=0$（$q\ge1$）である（二つの affine 直線による Čech 計算）。
   これで、射影束の局所的な構造と、それを大域に移すための道具が揃った。まず局所的な公式 (1.8) を作用群つきで証明する。

主結果と証明

局所的な公式

最初に、基本類がファイバーの上で射影空間の超平面類に制限されることを確かめる。本書の規約ではここに符号が出ない。

原論文の (1.8) は、局所的に同型 $\varphi\colon\mathbf Z/n\to\mu_n$ を固定したうえで、$R^{2i}f_*(\mathbf Z/n)$ が $\xi_0'^{\,i}$（$\xi'$ を $\varphi$ で $\mathbf Z/n$ 係数に移したものの冪）を基底とすると述べる（印字 p. 234）。上の定理の 2 は、$\varphi$ を選ばずに、係数の捩れ $\mu_n^{\otimes(-i)}$ を明示して同じことを言う。$\varphi$ を選べば $\mu_n^{\otimes(-i)}\cong\mathbf Z/n$ となり (1.8) の形に戻る。原論文の小節 2.2（印字 p. 246）は、作用群つきの場合にこの局所的な公式を「作用を忘れて」確かめればよいと書き、上の証明の段 1 がその内容である。

導来圏での分解

局所的な公式は層の同型の族にすぎない。これを大域的なコホモロジーの同型に移すには、各次数の同型を導来圏の一つの射にまとめる。

原論文は (1.9) を、Leray のスペクトル系列が (1.8) から「よく知られた仕方で」退化することとして述べる（印字 p. 235）。上の定理は、その退化を導来圏の同型の形にしたものである。$Rf_*f^*F$ がシフトした層の直和と同型なので、Leray のスペクトル系列 $H^p(X,G;R^qf_*f^*F)\Rightarrow H^{p+q}(P,G;f^*F)$ は $E_2$ で退化する。

射影束公式

導来圏の同型に大域切断の導来関手を当てれば、混合コホモロジーの同型が得られる。これが原論文の (1.12)・(2.4) の正しい形である。

原論文は $\mathbb F=\mu_n^{\otimes r}$ の場合にこの公式を使って Chern 類を定める（印字 p. 236）。そのとき必要なのは、$\xi^r\in H^{2r}(P,G;\mu_n^{\otimes r})$ が $\sum_{j=0}^{r-1}f^*(a_j)\xi^j$（$a_j\in H^{2r-2j}(X,G;\mu_n^{\otimes(r-j)})$）とただ一通りに書けることで、これは上の定理の $i=2r$、$F=\mu_n^{\otimes r}$ の場合である。係数を $c_{r-j}(\mathbb E):=-a_j$ とおくのが Chern 類の定義で、本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』で扱う。

1 の単射性は、本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』で旗束に引き戻して束を分裂させるときに、底の類が引き戻しで失われないことを保証する。これで作用群つきのスキームについての射影束公式は閉じた。残るのは、原論文の印字の形と §1 の設定との照合である。

原論文の印字と §1 の設定

次に、原論文の §1 の射影束の取り方を本書の規約に読み替える。§2 の空間と基本類は本書と同じなので、読み替えが要るのは §1 だけである。

最後に、原論文の §1 が本来想定していた一般の設定について、本書がどこまで言えるかを記録する。

例と反例

まず、原論文の序論が念頭に置く場合、すなわち体の上の群の表現の射影化で、射影束公式がどう読めるかを見る。

次の二つの反例は、局所的な公式（主結果 1）の二つの仮定、$n$ が許容されることと $\mathbb E$ が局所自由であることが外せないことを示す。

その後の発展

以下は原論文の主張ではなく、後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書が文献を開いて確かめていないものはそう書く）。

• エタールコホモロジーの射影束公式と Chern 類（SGA 5 VII、SGA5、1977 年刊）：原論文が文献 [25] として「準備中」と引く、作用群が単位群の場合の構成は、SGA 5 の講義（1965–66 年）の Jouanolou の報告として後に公刊された。原論文の (1.12) の範囲の書き方がそこでどうなっているかは、本書は確かめていない。
• 一般の底での Chern 類と射影束公式（SGA6、1971 年）：K 理論と交叉理論の側で、射影束公式と Chern 類が一般の底の上で整備された。本書は確かめていない。
• 局所環付きトポスと相対スキーム（Hakim Hak72、1972 年）：上の注意「一般の局所環付きトポスの場合」で未完結とした設定の基礎の一部を与える。原論文の §1 の主張がそこでどこまで閉じるかは、本書は確かめていない。
• 同変コホモロジーの射影束公式：後代の語では、本頁の主結果 3 は商スタック $[X/G]$ の上のベクトル束の射影化についての射影束公式にあたる。本書は文献を確かめていない。

原論文との対応表

本頁が対応する原論文は Classes de Chern et représentations linéaires des groupes discrets Gro68d の小節 1.3〜1.4 と 2.2 である。

原論文の (1.4) の直前の引用「[EGA II 4.11]」は、小節 2.2（印字 p. 245）の引用と同じく EGA II 4.1.1 の脱点と読む。本頁はこの箇所に依存しない。