3-2 エタールコホモロジーと古典位相の比較
複素数体上有限型かつ分離的なスキームに群が作用するとき、構成可能な捩れ係数の混合エタールコホモロジーは、解析空間の古典位相の混合コホモロジーに一致する。本頁は原論文 §3 の小節 3.1〜3.2 に沿ってこの比較を作用群つきで示し、それを使って、エタールコホモロジーで作った算術的な Chern 類が、複素ベクトル束の整係数の超越的な Chern 類の法 $n$ の還元であることを導く。原論文の仮定の「局所有限型」と分離的でない場合は未完結として分けて記録する。
この頁で示すこと
$X$ は $\mathbf C$ 上有限型かつ分離的なスキーム、$G$ は $\mathbf C$ スキームとしての $X$ の自己同型からなる群（離散群で、有限性を仮定しない）、$X^{\mathrm{an}}$ は $X$ の複素解析空間、$X^{\mathrm{top}}$ はその下の位相空間である。$\mathbb E$ は $(X,G)$ 上の階数 $r$ の作用つき局所自由加群、$n\ge1$ は整数（$\mathbf C$ の上ではすべて許容される）、$\varphi\colon\mathbf Z/n\to\mu_n$ は $\varphi(1)=\exp(2\pi i/n)$ で定まる同型、$g\colon(X^{\mathrm{an}},G)\to(X_{\text{ét}},G)$ は比較の射である。算術的な Chern 類 $c_i(\mathbb E)\in H^{2i}(X,G;\mu_n^{\otimes i})$ は本書『2-2 射影束公式』の射影束公式から本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』で定めたもの、超越的な Chern 類 $c_i(\mathbb E^{\mathrm{an}})\in H^{2i}(X^{\mathrm{an}},G;\mathbf Z)$ は本書『3-1 位相空間の場合の比較』の整係数の類である。
本頁の主結果は次の四つである。
- 構成可能な係数の比較同型（原論文 (3.2)(3.2 bis)、印字 p. 249）：$X$ が $\mathbf C$ 上有限型かつ分離的なら、$(X_{\text{ét}},G)$ 上の層 $F$ で作用を忘れると構成可能な捩れ層になるもの（とくに $\mu_n^{\otimes i}$）について、比較写像 $H^j(X_{\text{ét}},G;F)\to H^j(X^{\mathrm{an}},G;g^*F)$ はすべての $j$ で同型である。［条件付き：Artin の比較定理を引用］
- 局所有限型の場合と分離的でない場合（原論文 3.1 の仮定、印字 p. 248）：原論文は $X$ を $\mathbf C$ 上局所有限型とし、分離性を課さずに主結果 1・3・4 を述べる。［未完結：比較定理の局所有限型への延長の出典と証明を特定できない。分離的でないと解析空間が Hausdorff でなく、本書『3-1 位相空間の場合の比較』の主結果を当てられない］
- 算術的類は超越的類の還元（原論文 (3.4)(3.5) と下線の主張、印字 p. 250）：$X$ が $\mathbf C$ 上有限型かつ分離的なら、算術的な類を比較写像と $\varphi$ で移した $c_i^{(n)}(\mathbb E)_0\in H^{2i}(X^{\mathrm{an}},G;\mathbf Z/n)$ は $c_i(\mathbb E^{\mathrm{an}})\bmod n$ に等しく、$\ell$ 進の類の像は $c_i(\mathbb E^{\mathrm{an}})$ の $\varprojlim_\nu H^{2i}(X^{\mathrm{an}},G;\mathbf Z/\ell^\nu)$ への像に等しい。主結果 1 により、算術的な類はこの像で決まる。［条件付き：本書『3-1 位相空間の場合の比較』の主結果 3、本書『2-2 射影束公式』の射影束公式、主結果 1 による］
- (3.6) が単射なら類は ℓ 進類で決まる（原論文 3.2、(3.6)〜(3.8)、印字 p. 250）：$X$ が $\mathbf C$ 上有限型かつ分離的で、$H^{2i}(X^{\mathrm{an}},G;\mathbf Z)\to\varprojlim_nH^{2i}(X^{\mathrm{an}},G;\mathbf Z/n)$ が単射なら、すべての素数 $\ell$ の $\ell$ 進 Chern 類 $c_i(\mathbb E)(\ell)$ が超越的な類 $c_i(\mathbb E^{\mathrm{an}})$ を決める。［条件付き：主結果 3 による］
主結果 1 は、混合コホモロジーを群コホモロジーと層のコホモロジーに分けて、作用の無い場合の Artin の比較定理に帰着する。主結果 3 は、エタールの類を解析化して解析空間の通常の射影束の上の類に移し、本書『3-1 位相空間の場合の比較』の比較を当てる。その際に類を作る射影束は解析空間の通常の射影束なので、3-1 で未完結とした「相対スキームとしての射影束で作った類との一致」の留保はここには及ばない。
背景と動機
原論文 Gro68d の §3（印字 pp. 248–255）の題は「超越的な定義との比較」である。§2 で作った作用群つきスキームの算術的な Chern 類 (2.3) は、$\mu_n^{\otimes i}$ 係数の混合エタールコホモロジーの元で、体の自己同型と整合するように作られている（本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』『2-2 射影束公式』）。基礎体が $\mathbf C$ なら、同じ作用つきベクトル束は解析化によって作用つきの位相的な複素ベクトル束を与え、古典的な整係数のChern類 (3.1) をもつ。原論文は、その形式的な定義が小節 1.8 に素描されていること、そこでの考察が算術的な類を超越的な類で記述するのにも使えることを述べる（印字 p. 249）。
比較は二段で行われる。第一段は、エタール位相と古典位相のコホモロジーの比較 (3.2 bis) で、原論文はスペクトル系列 (2.2) とその解析的な類似を使って作用群が単位群の場合に帰着し、その場合を SGA 4 SGA4 XVI の比較定理（$X$ が滑らかなら特異点解消の要らない SGA 4 XI）に送る（印字 p. 249）。第二段は、比較で移した類が超越的な類の還元であることで、原論文は「§1 の終わりに素描した考察が示す」の一文で済ませる（印字 p. 250）。本頁は第一段を作用群つきで書き下し、第二段を、解析化・正則関数から連続関数への移行・本書『3-1 位相空間の場合の比較』の比較、の三つの手順に分けて閉じる。
原論文は $X$ を「局所有限型」とし、分離性も課さない（印字 p. 248）。本書が引く比較定理は有限型かつ分離的な場合の形で、分離的でない $X$ では解析空間が Hausdorff でなくなり、位相空間の側の議論（本書『3-1 位相空間の場合の比較』）の仮定を満たさない。本書は主結果を有限型かつ分離的な場合に限り、原論文の範囲との差を主結果 2 として記録する。原論文の以後の応用（本書『4-3 総括定理と複素表現の有理 Chern 類』の一点の場合、本書『5-1 有限体上の捩れと特殊化』の射影的な多様体）はすべてこの範囲に入る。
定義と準備
まず、解析化と作用の関係を定める。原論文は「$G$ はふたたび $X^{\mathrm{an}}$ に自己同型で作用する」とだけ書く（印字 p. 248）。解析化の関手性で作用を解析空間の自己同型に移すには、$G$ が $\mathbf C$ スキームとしての自己同型として作用することが要るので、本書はこれを仮定に入れる。
$X$ を $\mathbf C$ 上局所有限型のスキームとし、$X^{\mathrm{an}}$ をその複素解析空間、$\pi\colon X^{\mathrm{an}}\to X$ を標準的な局所環付き空間の射、$X^{\mathrm{top}}$ を $X^{\mathrm{an}}$ の下の位相空間とする。$G$ を $\mathbf C$ スキームとしての $X$ の自己同型からなる群とする（より一般に、群が準同型で $\mathbf C$ スキームとしての自己同型として作用する場合も同じで、作用は忠実でなくてよい）。解析化の関手性により $G$ は $X^{\mathrm{an}}$ に正則な自己同型として、$X^{\mathrm{top}}$ に同相写像として作用する。$(X,G)$ 上の作用つき局所自由 $\mathcal O_X$ 加群 $\mathbb E$ に対し、$\mathbb E^{\mathrm{an}}:=\pi^*\mathbb E=\pi^{-1}\mathbb E\otimes_{\pi^{-1}\mathcal O_X}\mathcal O_{X^{\mathrm{an}}}$ とし、さらに連続関数の層 $\mathcal C$ へ係数を拡大して $\mathbb E^{\mathrm{top}}:=\mathbb E^{\mathrm{an}}\otimes_{\mathcal O_{X^{\mathrm{an}}}}\mathcal C$ とおく。作用は関手性で移り、$\mathbb E^{\mathrm{top}}$ は $(X^{\mathrm{top}},G)$ 上の作用つき局所自由 $\mathcal C$ 加群（本書『3-1 位相空間の場合の比較』の定義「作用つき複素ベクトル束と通常の射影束」）である。
$G$ が $\mathbf C$ 上の自己同型でないと、この移し方は働かない。たとえば $X=\mathbf A^1_{\mathbf C}$ で、$\mathbf C$ の連続でない自己同型 $\sigma$ について環の自己同型 $\sum_ka_kt^k\mapsto\sum_k\sigma(a_k)t^k$ が定めるスキームの自己同型は、$\mathbf C$ 点の上で $z\mapsto\sigma^{-1}(z)$ となり連続でない。複素共役から来るものは同相写像を与えるが反正則で、解析空間の自己同型ではない。本頁の $G$ はつねに $\mathbf C$ の上で働くものとする。
次に比較の射を定める。原論文の記号 $X^{\mathrm{an}}_{\text{ét}}$ は、解析空間の局所同相写像の景の意味に読む。
エタールな $\mathbf C$ 射 $U\to X$ に局所同相写像 $U^{\mathrm{an}}\to X^{\mathrm{an}}$ を対応させる関手は、エタール景から $X^{\mathrm{an}}$ の局所同相写像の景への景の射を与え、後者のトポスは $X^{\mathrm{top}}$ の層のトポスと同値である。こうしてトポスの射 $g\colon X^{\mathrm{an}}\to X_{\text{ét}}$ が得られる。$G$ の元は両方の景に関手的に働き、$g^*$ は各 $\sigma\in G$ の引き戻しと標準的に可換なので、$g^*$ は完全関手 $(X_{\text{ét}},G)\to(X^{\mathrm{an}},G)$ を与え、作用を忘れる関手と可換である（原論文 (3.3)）。ここで $(X^{\mathrm{an}},G)$ は本書『3-1 位相空間の場合の比較』の定義「作用群つき位相空間の層と混合コホモロジー」の $(X^{\mathrm{top}},G)$ である。$(X_{\text{ét}},G)$ 上の可換群の層 $F$ について、次数 0 の写像 $\Gamma(X,\omega F)^G\to\Gamma(X^{\mathrm{an}},\omega g^*F)^G$ を $\delta$ 関手の射に延ばしたものを比較写像
$$H^j(X_{\text{ét}},G;F)\longrightarrow H^j(X^{\mathrm{an}},G;g^*F)$$
という（原論文 (3.2)）。左辺は普遍 $\delta$ 関手で、右辺は $g^*$ が完全なので $\delta$ 関手だから、この延長はただ一つある。比較写像は余境界と可換である。
比較写像を Chern 類に当てるには、1 の冪根の層と乗法群の層が $g^*$ でどう移るかを見ておく必要がある。$\mu_n$ はエタール局所的に定数層 $\mathbf Z/n$ と同型な有限の層なので、$g^*\mu_n$ は値 $\mu_n(\mathbf C)$ の定数層に標準的に同型である。また、$U$ の上の可逆な正則関数は $U^{\mathrm{an}}$ の上の零点の無い正則関数を与えるので、作用と両立する層の射 $g^*\mathbf G_m\to\mathcal O_{X^{\mathrm{an}}}^*$ がある。
超越的な類は、本書『3-1 位相空間の場合の比較』の整係数の類として定める。
$X$ を $\mathbf C$ 上有限型かつ分離的なスキームとする（このとき $X^{\mathrm{top}}$ は Hausdorff かつパラコンパクトである。下の補題「解析空間の位相」）。作用つき局所自由加群 $\mathbb E$ の超越的な Chern 類を
$$c_i(\mathbb E^{\mathrm{an}}):=c_i(\mathbb E^{\mathrm{top}})\in H^{2i}(X^{\mathrm{an}},G;\mathbf Z)=H^{2i}(X^{\mathrm{top}},G;\mathbf Z)$$
と定める。右辺は本書『3-1 位相空間の場合の比較』の定理「作用群つき位相空間での整係数 Chern 類」の類で、同じ定理の 5 により、約束だけで決まる符号 $\varepsilon_2^i$ を除いて Borel 構成の上の付随束の通常の Chern 類に一致する（原論文 (3.1) の「作用つきの位相的な複素ベクトル束の Chern 類」）。
最後に、$\ell$ 進の類と、原論文 3.2 の射 (3.6) を定める。
$X$、$G$、$\mathbb E$ を上のとおりとする。素数 $\ell$ について、$\ell$ 進 Chern 類 $c_i(\mathbb E)(\ell)=(c_i^{(\ell^\nu)}(\mathbb E))_\nu\in H^{2i}(X,G;T_\ell^{\otimes i})=\varprojlim_\nu H^{2i}(X,G;\mu_{\ell^\nu}^{\otimes i})$ は本書『2-4 係数の変更と ℓ 進 Chern 類』のものである（原論文 (3.7)）。その比較写像と $\varphi$ による像を
$$c_i(\mathbb E)(\ell)_0:=\bigl(((\varphi^{\otimes i})^{-1})_*\,g^*c_i^{(\ell^\nu)}(\mathbb E)\bigr)_\nu\in\varprojlim_\nu H^{2i}(X^{\mathrm{an}},G;\mathbf Z/\ell^\nu)$$
と書く（原論文 (3.8)。右辺を原論文は $H^{2i}(X^{\mathrm{an}},G;\mathbf Z_\ell)$ と書き、$\mathbf Z_\ell$ は射影系 $(\mathbf Z/\ell^\nu)_\nu$ の意味で、定数層ではない）。係数の射 $\mathbf Z\to\mathbf Z/n$ が誘導する
$$H^j(X^{\mathrm{an}},G;\mathbf Z)\longrightarrow\varprojlim_nH^j(X^{\mathrm{an}},G;\mathbf Z/n)$$
を (3.6) と呼ぶ。射影極限は整除の順序についてとる。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。出典は主に SGA4（原論文の文献 [2]）と SGA1 で、該当箇所の番号は本頁では確認していない。第 0 章の頁『0-3 エタールコホモロジーと Galois コホモロジー』に要点がある。導来圏の一般論は本書『2-2 射影束公式』の引用する事実 3 を使う。
- Artinの比較定理（SGA4 XVI 4.1。$X$ が滑らかなら XI 4.4。本書『0-3 エタールコホモロジーと Galois コホモロジー』の定理「Artin の比較定理」）：$X$ を $\mathbf C$ 上有限型かつ分離的なスキーム、$F$ を $X_{\text{ét}}$ 上の構成可能な捩れ層とすると、$g^*$ が誘導する $H^q(X_{\text{ét}},F)\to H^q(X^{\mathrm{an}},g^*F)$ はすべての $q$ で同型である。
- 解析化（SGA1 XII の型）：局所有限型の $\mathbf C$ スキームから解析空間への関手 $X\mapsto X^{\mathrm{an}}$ は有限の射影極限と可換で、エタールな射を局所同相写像に、全射の族を全射の族に、閉埋め込みを閉解析部分空間の埋め込みに、$\mathbf A^N_{\mathbf C}$ を $\mathbf C^N$ に移す。$X$ が分離的なら $X^{\mathrm{an}}$ は Hausdorff である。局所自由加群 $\mathbb E$ について $P(\mathbb E)^{\mathrm{an}}$ は $\mathbb E^{\mathrm{an}}$ のファイバーの直線の空間で、$\mathcal O_{P(\mathbb E)}(1)$ の解析化はその上の $\mathcal O(1)$ である。
- 一般位相の事実：局所コンパクトな Hausdorff 空間で可算個のコンパクト集合の合併であるものはパラコンパクトである。
- 定数係数の $H^1$ と基本群（SGA1 V、SGA4 VIII の型）：$X$ が連結な正規スキームで $A$ がアーベル群なら、定数層 $A$ の $H^1(X_{\text{ét}},A)$ はエタール基本群から $A$（離散）への連続準同型の群に等しい。
これで道具が揃った。まず解析空間の位相を確かめ、そのうえで比較同型を示す。
主結果と証明
解析空間の位相
位相空間の側の議論（本書『3-1 位相空間の場合の比較』）は Hausdorff かつパラコンパクトな空間で立てた。有限型かつ分離的なスキームの解析空間はこの仮定を満たす。
$X$ を $\mathbf C$ 上有限型かつ分離的なスキームとすると、$X^{\mathrm{top}}$ は局所コンパクトな Hausdorff 空間で、可算個のコンパクト集合の合併であり、したがってパラコンパクトである。$X$ 上の局所自由加群 $\mathbb E$ の射影束 $P(\mathbb E)$ も $\mathbf C$ 上有限型かつ分離的で、$P(\mathbb E)^{\mathrm{top}}$ は $\mathbb E^{\mathrm{top}}$ の通常の射影束である。
段 1（Hausdorff 性と局所コンパクト性）．引用する事実 2 により、$X$ が分離的なので $X^{\mathrm{an}}$ は Hausdorff である。$X$ は有限個のアフィン開集合 $U_1,\dots,U_m$ で覆われ、各 $U_k$ は閉埋め込み $U_k\hookrightarrow\mathbf A^{N_k}$ をもつので、$U_k^{\mathrm{an}}$ は $\mathbf C^{N_k}$ の閉集合と同相である。$\mathbf C^{N_k}$ の閉集合は局所コンパクトで、閉球との交わりの可算個の合併である。$U_k^{\mathrm{an}}$ は $X^{\mathrm{an}}$ の開集合なので、$X^{\mathrm{top}}$ は局所コンパクトである。
段 2（可算個のコンパクト集合）．$U_k^{\mathrm{an}}$ は可算個のコンパクト集合 $K_{k,1}\subset K_{k,2}\subset\cdots$ の合併なので、$X^{\mathrm{top}}$ は可算個のコンパクト集合 $K_{k,j}$ の合併である（Hausdorff 空間の中でもコンパクト性は保たれる）。引用する事実 3 によりパラコンパクトである。
段 3（射影束）．$P(\mathbb E)\to X$ は射影的なので $P(\mathbb E)$ は $\mathbf C$ 上有限型かつ分離的である。引用する事実 2 により $P(\mathbb E)^{\mathrm{an}}$ は $\mathbb E^{\mathrm{an}}$ のファイバーの直線の空間で、$\mathbb E^{\mathrm{top}}$ と $\mathbb E^{\mathrm{an}}$ は同じファイバーをもつ（係数の拡大 $\mathcal O_{X^{\mathrm{an}}}\to\mathcal C$ は各点の値を変えない）ので、下の位相空間は通常の射影束である。$\mathcal O(1)$ も対応する。
段 1 の議論は分離性を本質的に使う。分離的でないスキームでは、下の例と反例の節で見るとおり、解析空間の二点が近傍で分けられないことがある。
構成可能な係数の比較同型
$X$ を $\mathbf C$ 上有限型かつ分離的なスキーム、$G$ を $\mathbf C$ スキームとしての $X$ の自己同型からなる群、$F$ を $(X_{\text{ét}},G)$ 上の可換群の層で、$\omega F$ が構成可能な捩れ層（構成可能層）であるものとする。このとき比較写像
$$H^j(X_{\text{ét}},G;F)\longrightarrow H^j(X^{\mathrm{an}},G;g^*F)$$
はすべての $j$ で同型である。とくに $H^{2i}(X_{\text{ét}},G;\mu_n^{\otimes i})\cong H^{2i}(X^{\mathrm{an}},G;\mu_n^{\otimes i})$ である（原論文 (3.2 bis)）。
段 1（$G$ 加群の複体の射）．$F$ の $(X_{\text{ét}},G)$ での単射的分解 $F\to I^\bullet$ をとる。$g^*$ は完全なので $g^*F\to g^*I^\bullet$ は分解であり、これを $(X^{\mathrm{an}},G)$ の単射的対象の複体 $J^\bullet$ への擬同型 $g^*I^\bullet\to J^\bullet$ で受ける。大域切断をとって、$G$ 加群の複体の射
$$c\colon\ \Gamma(X,\omega I^\bullet)\longrightarrow\Gamma(X^{\mathrm{an}},\omega g^*I^\bullet)\longrightarrow\Gamma(X^{\mathrm{an}},\omega J^\bullet)$$
を得る。第一の射は $g^*$ による切断の引き戻しで、$G$ の作用と両立する。
段 2（コホモロジーでの同型）．本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の補題「作用を忘れる関手の随伴と単射的対象」の 3（位相空間の場合は本書『3-1 位相空間の場合の比較』で述べたとおり同じ）により、$\omega I^\bullet$ と $\omega J^\bullet$ は $\omega F$、$\omega g^*F=g^*\omega F$ の単射的分解である。したがって $c$ の $q$ 次のコホモロジーは、$g^*$ が誘導する $H^q(X_{\text{ét}},\omega F)\to H^q(X^{\mathrm{an}},g^*\omega F)$ で、$\omega F$ は構成可能な捩れ層なので、引用する事実 1 により同型である。よって $c$ は $G$ 加群の複体の擬同型である。
段 3（群コホモロジーへ）．本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の定理「混合コホモロジーのスペクトル系列」の証明の段 3 により、$\Gamma(X,\omega I^k)$ と $\Gamma(X^{\mathrm{an}},\omega J^k)$ は $G$ 不変部分をとる関手について非輪状である。したがって $R\Gamma(G,-)$ は両辺の複体では $G$ 不変部分をとる操作で計算され、擬同型 $c$ から同型
$$\Gamma^G(I^\bullet)\longrightarrow\Gamma^G(J^\bullet)$$
を導来圏で得る。そのコホモロジーは左辺が $H^j(X_{\text{ét}},G;F)$、右辺が $H^j(X^{\mathrm{an}},G;g^*F)$ で、写像は次数 0 で $\Gamma(X,\omega F)^G\to\Gamma(X^{\mathrm{an}},\omega g^*F)^G$ に一致する分解の間の射から来るので、比較写像である。
原論文の証明（印字 p. 249）は、スペクトル系列 (2.2) とその解析的な類似の比較で作用群が単位群の場合に帰着する、の一文である。上の段 1〜3 は、その帰着を二つのスペクトル系列の $E_2$ 項の比較としてではなく、$G$ 加群の複体の擬同型として書いたもので、実質は同じである。原論文は、$X$ が $\mathbf C$ 上滑らかなら特異点解消を使わない SGA 4 XI の比較で足りると付け加える。本頁の引用する事実 1 の出典の違いで、証明の形は変わらない。
原論文の小節 3.1 は $X$ を $\mathbf C$ 上「局所有限型」とし、分離性を課さない（印字 p. 248）。この範囲で主結果 1・3・4 を閉じるには、次の二つが足りない。
(a) 局所有限型への延長：本書が引く比較定理は有限型かつ分離的な場合の形である。局所有限型の $X$ に延ばすには、有限型の開集合による被覆についての Mayer–Vietoris（あるいは Čech）の議論と、両側の射影極限に現れる $\varprojlim^1$ の項の比較が要る。本書はこの延長の出典も証明も特定していない。
(b) 分離的でない場合：有限型でも分離的でない $X$ では $X^{\mathrm{an}}$ は Hausdorff でない（下の例「原点を二重にした直線」）。主結果 3 の証明が使う本書『3-1 位相空間の場合の比較』の主結果は Hausdorff かつパラコンパクトな空間で立てたので、そのままでは当てられない。
したがって本書は、原論文の範囲での主結果 1・3・4 を未完結とする。原論文の以後の応用は、一点（本書『4-3 総括定理と複素表現の有理 Chern 類』、本書『8-1 Milnor の定理の一般化：簡約群と可換群』）と射影的な多様体（本書『5-1 有限体上の捩れと特殊化』）で、どれも有限型かつ分離的なので、この留保を受けない。
比較同型によって、算術的な Chern 類は解析空間の上の像で決まる。次に、その像が何であるかを特定する。
算術的類と超越的類
比較写像で移した類を超越的な類と比べるには、Kummer 列を三つの環の層、すなわちエタール位相の正則関数、解析空間の正則関数、連続関数の上で順に比べればよい。まず可逆層の場合を示す。
$X$ を $\mathbf C$ 上局所有限型のスキーム、$G$ を $\mathbf C$ スキームとしての $X$ の自己同型からなる群、$\mathbb L$ を $G$ 線形化された可逆層、$n\ge1$ とする。
- 解析空間の Kummer 列 $0\to\mu_n\to\mathcal O_{X^{\mathrm{an}}}^*\xrightarrow{\,n\,}\mathcal O_{X^{\mathrm{an}}}^*\to0$ は $(X^{\mathrm{an}},G)$ 上で完全である。
- 比較写像と、正則関数を連続関数とみる包含 $\mathcal O_{X^{\mathrm{an}}}\subset\mathcal C$ が誘導する写像を合わせた $H^2(X_{\text{ét}},G;\mu_n)\to H^2(X^{\mathrm{top}},G;\mu_n)$ は、$\partial\,cl(\mathbb L)$ を $\partial\,cl(\mathbb L^{\mathrm{top}})$ に移す。右辺の $\partial$ は連続関数の Kummer 列の余境界で、$X^{\mathrm{top}}$ が Hausdorff かつパラコンパクトなとき（たとえば $X$ が有限型かつ分離的なとき）、これは本書『3-1 位相空間の場合の比較』の $c_1^{(n)}(\mathbb L^{\mathrm{top}})$ である。
段 1（解析的な Kummer 列）．完全性は作用を忘れて確かめてよい。$s$ を点 $x$ の近傍で零点の無い正則関数とすると、$s=s(x)(1+w)$ と書け、$w$ は $x$ で $0$ となる正則関数なので、$x$ の小さな近傍で $|w|<1$ である。解析空間の正則関数は局所的に $\mathbf C^N$ の開集合の正則関数の制限なので、$w$ を周りの正則関数 $\tilde w$（$|\tilde w|<1$）に延ばし、収束する冪級数 $L$（本書『3-1 位相空間の場合の比較』の補題「指数列と Kummer 列の完全性」の証明）を合成すると、$\exp\bigl(\frac1n(\log s(x)+L(w))\bigr)$ は正則な $n$ 乗根である。核は値が $\mu_n(\mathbf C)$ の連続関数で、局所定数である。
段 2（エタールから解析へ）．定義（比較の射と比較写像）の後に述べた射 $g^*\mathbf G_m\to\mathcal O_{X^{\mathrm{an}}}^*$ は $n$ 乗と可換で、$g^*\mu_n$ を値 $\mu_n(\mathbf C)$ の定数層に同型に移す。こうして $g^*$ で移した Kummer 列から解析的な Kummer 列への短完全列の射が得られ、$\mu_n$ の上では同型である。トルソー $g^*\operatorname{Isom}(\mathcal O_X,\mathbb L)$ をこの射で押し出したものは $\operatorname{Isom}(\mathcal O_{X^{\mathrm{an}}},\mathbb L^{\mathrm{an}})$ なので、$H^1$ で $cl(\mathbb L)$ は $cl(\mathbb L^{\mathrm{an}})$ に移る。比較写像は余境界と可換で、余境界は短完全列の射について自然なので、$\partial\,cl(\mathbb L)$ は $\partial^{\mathrm{an}}cl(\mathbb L^{\mathrm{an}})$ に移る。
段 3（解析から連続へ）．包含 $\mathcal O_{X^{\mathrm{an}}}^*\subset\mathcal C^*$ は解析的な Kummer 列から連続関数の Kummer 列への射で、$\mu_n$ の上では恒等写像である。段 2 と同じ理由で $\partial^{\mathrm{an}}cl(\mathbb L^{\mathrm{an}})$ は $\partial\,cl(\mathbb L^{\mathrm{top}})$ に移る。$X^{\mathrm{top}}$ が Hausdorff かつパラコンパクトなら、本書『3-1 位相空間の場合の比較』の定理「位相的な場合の有限係数の類」の 2 の階数 1 の記述により、これは $c_1^{(n)}(\mathbb L^{\mathrm{top}})$ である。
段 2・3 の二つの射はどちらも、1 の冪根の上では同型である。したがって比較で失われるのは乗法群の側の情報だけで、Chern 類を作る余境界はそのまま運ばれる。これを射影束の $\mathcal O(1)$ に当てると、一般の階数の比較になる。
$X$ を $\mathbf C$ 上有限型かつ分離的なスキーム、$G$ を $\mathbf C$ スキームとしての $X$ の自己同型からなる群、$\mathbb E$ を $(X,G)$ 上の階数 $r$ の作用つき局所自由加群、$n\ge1$ とする。算術的な Chern 類 $c_i(\mathbb E)\in H^{2i}(X,G;\mu_n^{\otimes i})$ を比較写像と $(\varphi^{\otimes i})^{-1}$ で移した類を
$$c_i^{(n)}(\mathbb E)_0\in H^{2i}(X^{\mathrm{an}},G;\mathbf Z/n)$$
と書く（原論文 (3.4)(3.5)）。
- $c_i^{(n)}(\mathbb E)_0=c_i(\mathbb E^{\mathrm{an}})\bmod n$ である。
- $\ell$ を素数とすると、定義（ℓ 進の類と射 (3.6)）の $c_i(\mathbb E)(\ell)_0$ は、$c_i(\mathbb E^{\mathrm{an}})$ の $\varprojlim_\nu H^{2i}(X^{\mathrm{an}},G;\mathbf Z/\ell^\nu)$ への像に等しい。
- 上の定理（構成可能な係数の比較同型）により、$c_i(\mathbb E)$ は $c_i^{(n)}(\mathbb E)_0$ で決まり、したがって $c_i(\mathbb E^{\mathrm{an}})\bmod n$ で決まる。
段 1（射影束への移行）．$f\colon P=P(\mathbb E)\to X$ を射影束とする。上の補題（解析空間の位相）により $P$ も $\mathbf C$ 上有限型かつ分離的で、$P^{\mathrm{top}}$ は $\mathbb E^{\mathrm{top}}$ の通常の射影束、$\mathcal O_P(1)$ は通常の射影束の $\mathcal O(1)$ に移る。解析化は射と可換なので、比較写像は $f^*$ と可換である（$g_P^*f^*=f^{\mathrm{top}*}g_X^*$）。上の補題（可逆層の類の解析化）を $(P,G)$ の $\mathcal O_P(1)$ に当てると、$\xi_{\mathbb E}=\partial\,cl(\mathcal O_P(1))$ は本書『3-1 位相空間の場合の比較』の $\xi^{(n)}$ に移る。
段 2（関係式の移送）．比較写像は層の射から来るので cup 積と可換である（本書『2-2 射影束公式』の引用する事実 3）。本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』の定義「Chern 類」の関係式 $\sum_if^*c_i(\mathbb E)\cup\xi_{\mathbb E}^{r-i}=0$ を移すと、$b_i:=$（$c_i(\mathbb E)$ の $H^{2i}(X^{\mathrm{top}},G;\mu_n^{\otimes i})$ への像）について
$$\sum_{i=0}^rf^{\mathrm{top}*}b_i\cup(\xi^{(n)})^{r-i}=0,\qquad b_0=1$$
を得る。本書『3-1 位相空間の場合の比較』の定理「位相的な場合の有限係数の類」の 2 の一意性（$X^{\mathrm{top}}$ は上の補題により Hausdorff かつパラコンパクト）により $b_i=c_i^{(n)}(\mathbb E^{\mathrm{top}})$ である。この類は通常の射影束 $P^{\mathrm{top}}$ の上で作った類である。
段 3（還元）．本書『3-1 位相空間の場合の比較』の定理「算術的類は超越的類の還元」の 1 により、$((\varphi^{\otimes i})^{-1})_*c_i^{(n)}(\mathbb E^{\mathrm{top}})=c_i(\mathbb E^{\mathrm{top}})\bmod n$ で、右辺は定義（超越的な Chern 類）により $c_i(\mathbb E^{\mathrm{an}})\bmod n$ である。段 2 と合わせて 1 を得る。
段 4（$\ell$ 進と決定）．比較写像は係数の変更 $u_{n,n'}$ と可換なので、2 は 1 を $n=\ell^\nu$ に当てて極限をとったものである。3 は上の定理（構成可能な係数の比較同型）を $F=\mu_n^{\otimes i}$ に当て、$(\varphi^{\otimes i})^{-1}$ が同型であることによる。
段 2 で使った類は、解析空間の通常の射影束 $P^{\mathrm{top}}$ の上で Kummer 列から作った類である。本書『3-1 位相空間の場合の比較』の注意「原論文の (1.30) の類との一致」で未完結とした一致は、相対スキームとしての射影束で作った類についてのもので、この証明はその一致を使わない。原論文の証明は「§1 の終わりに素描した考察が示す」の一文で、上の段 1〜3 がその考察の中身である。
本書の他の頁は上の定理（算術的類は超越的類の還元）を「$\mathbf C$ 上有限型かつ分離的」の仮定の下で引く。本書『4-3 総括定理と複素表現の有理 Chern 類』と本書『8-1 Milnor の定理の一般化：簡約群と可換群』が使うのは $X=\operatorname{Spec}\mathbf C$ に群が自明に作用する場合（下の例「一点の場合と群の表現」）だけで、本書『5-1 有限体上の捩れと特殊化』が使うのは射影的な多様体に群が $\mathbf C$ 上の自己同型として作用する場合である。どちらもこの仮定と、$G$ が $\mathbf C$ スキームとしての自己同型として作用するという本頁の仮定を満たす。
ℓ 進類による決定
算術的な類から分かるのは、超越的な類の法 $n$ の還元の全体である。それで超越的な類そのものが決まるかは、還元の全体が整係数の類を分けるかどうか、すなわち射 (3.6) の単射性の問題になる。
上の定理（算術的類は超越的類の還元）と同じ状況で、射 (3.6) $H^{2i}(X^{\mathrm{an}},G;\mathbf Z)\to\varprojlim_nH^{2i}(X^{\mathrm{an}},G;\mathbf Z/n)$ が単射であるとする。このとき $c_i(\mathbb E^{\mathrm{an}})$ は、すべての素数 $\ell$ の $\ell$ 進 Chern 類 $c_i(\mathbb E)(\ell)$ の族で決まる。
段 1（中国剰余定理）．$n=\prod_\ell\ell^{v_\ell(n)}$ について $\mathbf Z/n\cong\prod_\ell\mathbf Z/\ell^{v_\ell(n)}$ で、コホモロジーは有限直積と可換なので $H^j(-;\mathbf Z/n)\cong\prod_{\ell\mid n}H^j(-;\mathbf Z/\ell^{v_\ell(n)})$ である。整除の順序についての射影極限をとると $\varprojlim_nH^j(-;\mathbf Z/n)\cong\prod_\ell\varprojlim_\nu H^j(-;\mathbf Z/\ell^\nu)$ である。
段 2（像の決定）．上の定理の 2 により、$c_i(\mathbb E^{\mathrm{an}})$ の (3.6) による像の $\ell$ 成分は $c_i(\mathbb E)(\ell)_0$ であり、これは $c_i(\mathbb E)(\ell)$ から比較写像と $\varphi$ で決まる。段 1 により像全体が $\ell$ 進の類の族で決まり、(3.6) が単射なので $c_i(\mathbb E^{\mathrm{an}})$ が決まる。
原論文（印字 p. 250）は、この決定を「$\ell$ 進の類 (3.7)、あるいはその像 (3.8) を知ること」で述べる。(3.6) が単射になる十分条件と、単射でないときに失われる部分は、本書『3-3 ℓ 進類から整係数類へ』で調べる。
例と反例
まず、原論文の以後の頁が実際に使う場合、すなわち一点の上の群の表現で、本頁の主結果が何を言うかを見る。
$X=\operatorname{Spec}\mathbf C$ とし、$G$ を任意の離散群で $X$ に自明に作用するものとする（$\mathbf C$ スキームとしての $\operatorname{Spec}\mathbf C$ の自己同型は恒等写像だけである）。$X_{\text{ét}}$ は集合のトポスと同値で（$\mathbf C$ は代数閉）、$X^{\mathrm{an}}$ は一点なので、$g$ はトポスの同値であり、比較同型は自明に成り立つ。両辺は群コホモロジー $H^j(G,M)$ である（本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の例「分離閉体の上の点」）。作用つき局所自由加群は $G$ の有限次元複素表現 $E$ で、算術的な類は $c_i(E)\in H^{2i}(G,\mu_n(\mathbf C)^{\otimes i})$（本書『2-2 射影束公式』の例「群の表現の射影化」）、超越的な類は $H^{2i}(G,\mathbf Z)$ の整係数の類で、符号 $\varepsilon_2^i$ を除いて表現の位相的 Chern 類（本書『1-1 位相的 Chern 類と体の自己同型』）である。上の定理（算術的類は超越的類の還元）は
$$((\varphi^{\otimes i})^{-1})_*c_i(E)=c_i(E^{\mathrm{an}})\bmod n\in H^{2i}(G,\mathbf Z/n)$$
を与える。この場合は位相空間の側の比較（本書『3-1 位相空間の場合の比較』の例「一点の上の群の表現」）そのもので、比較同型の深い部分は使わない。本書『4-3 総括定理と複素表現の有理 Chern 類』はこの等式を、$\ell$ 進の類の捩れ性から整係数の類の有理像の消滅を導くのに使う。
次の例は、群が有限なら (3.6) の単射性が初等的に成り立つことを示す。
上の例で $G$ を有限群とする。$j\ge1$ なら $H^j(G,\mathbf Z)$ は $N:=|G|$ で消える。$0\to\mathbf Z\xrightarrow{N}\mathbf Z\to\mathbf Z/N\to0$ の長完全列により $H^j(G,\mathbf Z)\to H^j(G,\mathbf Z/N)$ の核は $NH^j(G,\mathbf Z)=0$ なので、この写像は単射で、(3.6) も単射である。$j=0$ でも $\mathbf Z\to\varprojlim_n\mathbf Z/n$ は単射である。上の定理（(3.6) が単射なら類は ℓ 進類で決まる）により、有限群の複素表現の位相的 Chern 類は、$N$ を割る素数 $\ell$ の $\ell$ 進の類で決まる（$\ell\nmid N$ なら $H^{2i}(G,\mathbf Z/\ell^\nu)=0$ で、その成分は何も運ばない）。
次の二つの反例は、主結果 1 の係数の仮定と、主結果の全体に置いた分離性の仮定の役割を示す。
外す条件は、係数の層が捩れ層であることである。$X=\mathbf G_{m,\mathbf C}=\operatorname{Spec}\mathbf C[t,t^{-1}]$、$G$ を単位群、$F$ を定数層 $\mathbf Q$ とする。$X$ は連結な正規スキームなので、引用する事実 4 により $H^1(X_{\text{ét}},\mathbf Q)$ はエタール基本群から離散群 $\mathbf Q$ への連続準同型の群である。エタール基本群は射有限群なので、連続準同型の像はコンパクトな離散集合、すなわち有限部分群であり、$\mathbf Q$ の有限部分群は $0$ だけである。よって $H^1(X_{\text{ét}},\mathbf Q)=0$ である。一方 $X^{\mathrm{an}}=\mathbf C^*$ は円周とホモトピー同値で、$H^1(\mathbf C^*,\mathbf Q)\cong\mathbf Q$ である。比較写像は同型でない。整係数や有理係数の比較が要るときは、有限係数の比較を射影極限で結ぶ（本書『3-3 ℓ 進類から整係数類へ』）。
分離的でないスキームの例である。$X$ を、二つのアフィン直線 $\operatorname{Spec}\mathbf C[t]$ を開集合 $t\neq0$ に沿って恒等写像で貼り合わせたものとする。$X$ は $\mathbf C$ 上有限型だが分離的でない。$X^{\mathrm{an}}$ は二つの $\mathbf C$ を $\mathbf C^*$ に沿って貼り合わせた空間で、二つの原点 $0_1$、$0_2$ のどの近傍も、原点の十分近くの $\mathbf C^*$ の点を共有する。したがって $0_1$ と $0_2$ は交わらない近傍で分けられず、$X^{\mathrm{an}}$ は Hausdorff でない。本書『3-1 位相空間の場合の比較』の主結果は Hausdorff かつパラコンパクトな空間で立てたので、この $X$ には本頁の主結果 3 の証明をそのまま当てられない。これが主結果 2 の (b) の内容で、この $X$ で結論が破れることを示すものではない。
その後の発展
以下は原論文の主張ではなく、後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書が文献を開いて確かめていないものはそう書く）。
- Artin の比較定理の公刊（SGA4 XI・XVI、1972–73 年）：原論文が文献 [2] として引いた比較定理は、SGA 4 の講義（1963–64 年）の一部として後に公刊された。局所有限型のスキームへの延長がそこでどう扱われているかは、本書は確かめていない。
- 同変な比較：本頁の主結果 1 は、後代の語では、離散群の作用についての同変エタールコホモロジーと Borel 構成の同変コホモロジーの比較にあたる。この形の一般的な定式化の文献は、本書は確かめていない。
- 超越的な類の捩れ性：本頁の比較は、算術的な方法で得た $\ell$ 進の類の捩れ性を整係数の類に移す橋になる。原論文はこれを系 4.11 と定理 4.13 で使い（本書『4-3 総括定理と複素表現の有理 Chern 類』『5-1 有限体上の捩れと特殊化』）、後に Deligne–Sullivan DelSul75（1975 年）が有限 CW 複体の上の平坦束について整係数の類の捩れ性を示した。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Classes de Chern et représentations linéaires des groupes discrets Gro68d の小節 3.1〜3.2 である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 定義（作用つきの解析化）、定義（超越的な Chern 類） | 小節 3.1、(3.1)（形式的な定義は 1.8 に素描） | 248–249 |
| 定義（比較の射と比較写像） | (3.2)(3.3)（[2, XI 4] と比べよ） | 249 |
| 補題（解析空間の位相） | —（本書が足した仮定の確認） | — |
| 定理（構成可能な係数の比較同型） | (3.2 bis) とその証明（(2.2) で単位群の場合に帰着し [2, XVI]、滑らかなら [2, XI]） | 249 |
| 注意（局所有限型の場合と分離的でない場合） | 小節 3.1 冒頭（「局所有限型」） | 248 |
| 補題（可逆層の類の解析化）、定理（算術的類は超越的類の還元） | (3.4)(3.5) と下線の主張（「§1 の終わりに素描した考察が示す」） | 250 |
| 定義（ℓ 進の類と射 (3.6)）、定理（(3.6) が単射なら類は ℓ 進類で決まる） | 小節 3.2、(3.6)〜(3.8) | 250 |
原論文の (3.3) の $X^{\mathrm{an}}_{\text{ét}}$ は、解析空間の局所同相写像の景の意味に読んだ。そのトポスは $X^{\mathrm{top}}$ の層のトポスと同値なので、本頁は $(X^{\mathrm{an}},G)$ と書く。原論文は 3.2 の直後（印字 p. 250）で、(3.6) の右辺の $\mathbf Z_\ell$ を定数層でなく $\ell$ 進層（射影系）と読むよう注意する。本頁の定義（ℓ 進の類と射 (3.6)）はこの読みである。
参考文献
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