1-1 位相的 Chern 類と体の自己同型

離散群の有限次元複素表現には、分類空間の上の付随ベクトル束を通して整係数の Chern 類が定まる。本頁は、1 次元表現の第一 Chern 類が指標そのもの（有限群では指標を $\mathbf Q/\mathbf Z$ に移した準同型）であることを示し、複素数体の自己同型が 1 の冪根を動かすことから、体の同型で不変な整係数の第一 Chern 類の理論は位数 3 以上の巡回群ですでに存在しないことを証明する。位数 2 ではこの否定が成り立たないことも確かめ、原論文が係数を整数から 1 の冪根へ取り替える理由を明らかにする。

この頁で示すこと

$G$ は離散群、$E$ は $G$ の有限次元複素表現、$B_G$ は $G$ の分類空間、$E_G\to B_G$ は普遍主束とする。$\chi\colon G\to\mathbf C^*$ を指標とし、それが定める 1 次元表現の付随直線束を $L_\chi$ と書く。$\mu_\infty(\mathbf C)$ は $\mathbf C$ の 1 の冪根全体の群、$\varphi\colon\mathbf Q/\mathbf Z\to\mu_\infty(\mathbf C)$ は $\varphi(q\bmod\mathbf Z)=\exp(2\pi iq)$ で定まる同型である。$\delta_{\mathbf Q/\mathbf Z}$ と $\delta_{\exp}$ は、自明な $G$ 加群の完全列 $0\to\mathbf Z\to\mathbf Q\to\mathbf Q/\mathbf Z\to0$ と $0\to\mathbf Z\to\mathbf C\xrightarrow{\exp(2\pi i\,\cdot)}\mathbf C^*\to0$ の余境界である。
本頁の主結果は次の四つである。

1. 有限群での余境界の同型（原論文 (0.3)、印字 p. 217）：$G$ が有限なら $\delta_{\mathbf Q/\mathbf Z}\colon\operatorname{Hom}(G,\mathbf Q/\mathbf Z)\to H^2(G,\mathbf Z)$ は同型である。［完結］
2. 位相的第一 Chern 類は指標そのもの（原論文 (0.5)(0.6)、印字 p. 217）：約束だけで決まる普遍符号 $\varepsilon=\pm1$ があって、任意の $G$ と $\chi$ について $c_1(L_\chi)=\varepsilon\,\delta_{\exp}(\chi)$。$G$ が有限なら、$c_1(L_\chi)$ は主結果 1 の同型で準同型 $\varepsilon\,\varphi^{-1}\circ\chi\colon G\to\mathbf Q/\mathbf Z$ に対応する。［条件付き：指数列による第一 Chern 類の表示、分類空間のコホモロジーと群のコホモロジーの一致、平坦束の分類を引用］
3. 円分指標の全射性（原論文 小節 0.2 で Gauss の定理として引かれるもの、印字 pp. 217–218）：$\operatorname{Aut}(\mathbf C)\to\operatorname{Aut}(\mu_\infty(\mathbf C))\cong\widehat{\mathbf Z}^*$ は全射であり、$\sigma\circ\varphi$（$\sigma\in\operatorname{Aut}(\mathbf C)$）は同型 $\mathbf Q/\mathbf Z\to\mu_\infty(\mathbf C)$ の全体を尽くす。［条件付き：円分多項式の既約性と体の同型の延長を引用］
4. 整係数の純代数的第一 Chern 類の不可能性（原論文 小節 0.2 の訂正形、印字 pp. 216–218）：位数 $n\ge3$ の巡回群では、複素数体の自己同型で不変で位相的な $c_1$ に一致する整係数の第一 Chern 類の規則は、1 次元表現に限っても存在しない。忠実な指標 $\chi$ について $\{c_1(L_{\sigma\circ\chi})\}_{\sigma}$ はちょうど $\{u\,c_1(L_\chi):u\in(\mathbf Z/n)^*\}$ である。［条件付き：主結果 2・3 による］原論文の形は位数 2 の巡回群で破れる（注意「原論文の印字の形は位数 2 で破れる」）。
   主結果 1 は群のコホモロジーの長完全列だけで閉じる。主結果 2 は、分類空間の上の平坦束と指数列についての第 0 章の事実を引き、その上で二つの完全列の射と余境界の自然性で閉じる。主結果 3 は円分多項式の既約性を引き、体の同型の延長の段は本頁で書く。主結果 4 の否定の部分は複素共役だけで足り、主結果 1・2 だけに依る。

背景と動機

離散群 $G$ の複素表現 $E$ の Chern 類は、古くから次のように定義されてきた。$G$ の 分類空間 $B_G$ の上の普遍主束 $E_G$ で $E$ をねじった付随束 $\mathbb E=(E_G\times E)/G$ をとり、その Chern類 を $c_i(E)\in H^{2i}(B_G,\mathbf Z)=H^{2i}(G,\mathbf Z)$ とする。原論文 Gro68d の小節 0.1（印字 p. 215）は、この定義が Atiyah Ati61 の付録に示され、そこで $B_G$ の位相的・超越的な構成を使わない純代数的な定義を求める問いが出された、と書く。原論文の当初の目的はこの問いに答えることだった。
小節 0.2（印字 pp. 216–218）は、問いを文字どおりに取ると答えは否定的で、しかも理由は自明だと述べる。純代数的な定義なら、複素数体を任意の代数閉体（あるいは $\mathbf C$ と同型な体）に替えても意味をもち、体の同型で不変でなければならない。ところが 1 次元表現の第一 Chern 類は、有限群では指標 $G\to\mu_\infty(\mathbf C)$ を指数関数で $\mathbf Q/\mathbf Z$ に移したものにほかならず、この移し方は $\mathbf C$ の位相を本質的に使う。$\mathbf C$ の自己同型は 1 の冪根を大きく動かすので、$c_1$ は不変になりえない。
この観察は否定で終わらない。障害の源は、係数 $\mathbf Z$（あるいは $\mathbf Q/\mathbf Z$）と基礎体の 1 の冪根の群 $\mu_\infty(k)$ の間に標準的な同型が無いことにある。それなら係数そのものを $\mu_n(k)$ のような基礎体に関手的に付く群に取り替えればよい。原論文の小節 0.3 以降の構想はここから始まり、その定義は本書『1-2 序論の構想と群のトポス』で扱う。本頁は、否定の論証を段ごとに補って閉じ、それがどの位数の群で本当に働くかを確かめる。
原論文は否定を「位数 $n>1$ の巡回群であっても」成り立つと書く。しかし位数 2 の巡回群の指標は $\pm1$ に値をとり、体の同型は $\pm1$ を動かさないので、この場合には位相的な $c_1$ そのものが不変である。否定の論証は、$\mathbf C$ の自己同型が $\mu_n(\mathbf C)$ に非自明に作用することを使うので、$n\ge3$ でしか働かない。本頁は $n\ge3$ の形を主結果とし、位数 2 の場合を注意と例に置く。

定義と準備

まず 0.1 の位相的な定義を置き、次に 0.2 が求める「純代数的な理論」を、本頁で否定できる形に切り詰めて定式化する。

付随束の作り方には左右の取り方の約束がある。本頁の主結果は、約束の違いを一つの符号 $\varepsilon$ に集めて述べる。約束の選び方は本書『0-6 記号と約束』にまとめるが、以下の議論はどれも $\varepsilon$ の値に依らないので、本頁では $\varepsilon$ の値を計算しない。

原論文の要請は高次の類と高次元の表現も含み、定義の自然性も求めているが、ここでは第一 Chern 類と 1 次元表現に限る。否定を示すには、狭い形で存在しないことを言えば足りる。
指標の集合 $\operatorname{Hom}(G,\mathbf C^*)$ は値ごとの積で群をなし、$\operatorname{Hom}(G,A)=H^1(G,A)$（$A$ は自明な $G$ 加群）である。$\delta_{\exp}$ と $\delta_{\mathbf Q/\mathbf Z}$ はこの $H^1$ から $H^2(G,\mathbf Z)$ への準同型である。

$\operatorname{Aut}(\mathbf Q/\mathbf Z)=\widehat{\mathbf Z}^*$ は、$\mathbf Q/\mathbf Z$ の自己準同型が $N^{-1}\mathbf Z/\mathbf Z\cong\mathbf Z/N$ の上の整数倍の両立する族で与えられ、その環が $\varprojlim_N\mathbf Z/N=\widehat{\mathbf Z}$ であることから従う。記号表のとおり、第 4 章では同じ円分指標を $\ell$ 成分に制限して $\chi$ と書くが、本頁では指標の $\chi$ と重なるので $u$ と書く。

引用する事実

次の事実は証明せずに引用する。出典は主に本書の第 0 章、CE56、Hir56、Mil56I、Bor53、Lan64 で、該当箇所の番号は本頁では確認していない。

1. 分類空間のコホモロジー（本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』。Mil56I、Bor53）：$B_G$ は CW 複体で、$\pi_1(B_G)=G$、普遍被覆 $E_G$ は可縮である。アーベル群 $A$ について、定数層係数のコホモロジーと自明な係数の群のコホモロジーの同型 $H^*(B_G,A)\cong H^*(G,A)$ があり、$A$ について自然で、アーベル群の短完全列の余境界と両立する（コホモロジー的関手の同型）。とくに $H^1(B_G,A)\cong\operatorname{Hom}(G,A)$。
2. 平坦束の分類（本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』）：$L_\chi$ は局所定数な変換関数をもつ。すなわち $E_G\to B_G$ の局所切断で作った座標のもとで、$L_\chi$ の変換関数は $\chi$ の値の局所定数関数であり、その Čech 類 $[L_\chi]_{\mathrm{const}}\in H^1(B_G,\mathbf C^*)$（定数層）は、事実 1 の同型で $\chi^{\varepsilon_1}$ に対応する。$\varepsilon_1\in\{\pm1\}$ は付随束の作り方とモノドロミーの向きの約束だけで決まり、$G$ と $\chi$ に依らない。
3. 指数列による第一 Chern 類（本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』。Hir56）：パラコンパクト空間 $X$ の上の複素直線束 $L$ の類 $cl(L)\in H^1(X,\mathcal C^*)$（$\mathcal C^*$ は $\mathbf C^*$ に値をとる連続関数の層）と、連続関数の指数列 $0\to\mathbf Z\to\mathcal C\xrightarrow{\exp(2\pi i\,\cdot)}\mathcal C^*\to0$ の余境界 $\delta_{\mathrm{cont}}$ について $c_1(L)=\varepsilon_2\,\delta_{\mathrm{cont}}(cl(L))$。$\varepsilon_2\in\{\pm1\}$ は余境界と Chern 類の符号の約束だけで決まる。CW 複体はパラコンパクトである。
4. 群のコホモロジーの基本（本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』。CE56）：自明な $G$ 加群の短完全列は長完全列を与え、余境界は完全列の射について自然である。$G$ が有限なら $H^i(G,M)$（$i>0$）は $|G|$ 倍で $0$ になる。位数 $n$ の巡回群では $H^{2i}(G,\mathbf Z)\cong\mathbf Z/n$（$i\ge1$）、奇数次は $0$ で、$H^2$ の生成元 $x$ について $x^i$ が $H^{2i}$ を生成する。無限巡回群 $\mathbf Z$ では $H^q(\mathbf Z,M)=0$（$q\ge2$）。
5. 円分多項式の既約性（原論文は Gauss の古典的定理として Lan64 p. 53 を引く）：各 $N\ge1$ について、1 の原始 $N$ 乗根の最小多項式は次数 $|(\mathbf Z/N)^*|$ の円分多項式で、$\mathbf Q$ 上既約である。したがって $\operatorname{Gal}(\mathbf Q(\mu_N)/\mathbf Q)\to(\mathbf Z/N)^*$ は同型である。
6. 体の埋め込みの延長（Zorn の補題による標準的な事実）：体 $F$ から代数閉体 $\Omega$ への埋め込みは、$F$ の任意の代数拡大に延びる。任意の体の拡大は超越基底をもつ。
7. Whitney の和公式（本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』。Hir56）：直線束の直和について $c(L_1\oplus\cdots\oplus L_r)=\prod_j(1+c_1(L_j))$。表現の直和の付随束は付随束の直和である。
   事実 2 と 3 の符号は約束の問題で、以下では $\varepsilon:=\varepsilon_1\varepsilon_2$ にまとめる。以上で、有限群の $H^2$ を準同型で表す補題から始められる。

主結果と証明

原論文の論証は三つの段からなる。有限群の $H^2(G,\mathbf Z)$ を準同型の群と同一視する段、位相的な $c_1$ をその同一視の中で指標として読む段、そして $\mathbf C$ の自己同型が指標を動かす様子を調べる段である。順に閉じていく。

有限群の二次コホモロジー

$G$ が無限なら段 2 が崩れ、補題は成り立たない。例と反例の節で $G=\mathbf Z$ の場合を見る。有限群では $H^2(G,\mathbf Z)$ の元は $G$ から $\mathbf Q/\mathbf Z$ への準同型と同じであり、第一 Chern 類を定めることは、表現ごとにそのような準同型を一つ指定することに等しい。原論文 (0.3) はこの同一視を述べたものである。

位相的な第一 Chern 類の表示

位相的な $c_1(L_\chi)$ を準同型として読むには、平坦束の類と連続な直線束の類を結ぶ二つの指数列を比べればよい。

原論文は「直ちに確かめられる」とだけ書き、符号なしの等号で述べる。符号 $\varepsilon$ は、付随束の作用の左右、$H^1(B_G,A)=\operatorname{Hom}(G,A)$ の同一視の向き、Chern 類と余境界の符号の三つの約束で決まり、$G$ にも $\chi$ にも依らない。約束を揃えれば $\varepsilon=1$ にできるが、本書は値を定めず、以下の議論はどれも $\varepsilon$ に依らないように書く。これで、$c_1$ が体の同型で不変かどうかは、$\varphi^{-1}\circ\chi$ が $\mathbf C$ の自己同型でどう動くかという問いに置き換わった。

複素数体の自己同型と 1 の冪根

$\mathbf C$ の自己同型は連続とは限らず、複素共役と恒等写像以外は位相を保たない。それでも 1 の冪根の上では、次のようにすべての可能な動きが実現される。

原論文は小節 0.2 でこれを Gauss の古典的定理として引く。Gauss が示したのは素数次の円分多項式の既約性で、一般の $N$ は Kronecker と Dedekind によるというのが通説であり（本書は確かめていない）、帰属の問題にとどまって主張は正しい。延長の段 2・3 は原論文に書かれていない。この定理により、$\varphi$ は $\mathbf C$ の代数的な構造だけからは他の同型と区別できないことが分かる。

不変な理論の不可能性

以上の三つを合わせると、位数 3 以上の巡回群で不変性が破れる。否定そのものには複素共役だけで足りるが、円分指標の全射性を使うと、破れ方の全体が分かる。

2 の否定は、上の定理（位相的第一 Chern 類は指標そのもの）と複素共役だけで閉じる。1 は、$\mathbf C$ の自己同型で $c_1$ がどれだけ動くかを正確に述べたもので、軌道は $\varphi^{-1}\circ\chi$ の $\operatorname{Aut}(\mathbf Q/\mathbf Z)$ 軌道と同じ大きさをもつ。原論文の論証は後者の形（すべての同型が現れるので不変性が破れる）で書かれている。

こうして、整係数の第一 Chern 類は、有限群では係数 $\mathbf Q/\mathbf Z$ と 1 の冪根の群との同一視 $\varphi$ を通してしか代数的に読めず、その $\varphi$ が体の同型で動くことが障害のすべてであると分かった。次の頁で見るように、係数を $\mu_n(k)$ に取り替えると、同型で移したときに係数も一緒に動くので、この障害は消える。

例と反例

最小の場合の計算から始め、位数 2 の場合の構成、高次の類での振る舞い、有限性を外した場合を順に見る。

位数 2 では同じ計算で $-1/2\equiv1/2$ となり、動きが消える。これを任意の代数閉体の上の規則として組み立てると次の例になる。

この例は、障害が群の大きさではなく、指標の値に現れる 1 の冪根の位数で決まることを示す。高次の類では、同じ現象が次数ごとに違う形で現れる。

不変性が $u^i-1$ の形で次数ごとに現れることは、第 4 章で $\ell$ 進の類の位数の上界 $\ell^{\alpha(i)}$、$\alpha(i)=\inf v_\ell(\lambda^i-1)$ として再び現れる（本書『4-2 位数の上界と第一 Chern 類での最良性』）。最後に、有限性の仮定がどこで効いているかを見る。

その後の発展

以下は原論文の主張ではなく、後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書が文献を開いて確かめていないものはそう書く）。

• 有限群の表現の Chern 類（Atiyah Ati61、1961 年。Evens Evens65、1965 年）：原論文が出発点に置いた定義は Atiyah の論文の付録にあり、Atiyah は表現環と分類空間の $K$ 群を比べる文脈で有限群の表現の Chern 類を調べた。Evens は誘導表現の Chern 類を計算した。本書は両論文の該当箇所を確かめていない。
• 係数の取り替えによる解決（原論文 小節 0.3〜0.4、1966 年）：整係数を 1 の冪根の群 $\mu_n(k)$ とその $\ell$ 進の極限に取り替えると、体の同型が係数にも作用し、本頁の障害は消える。その代わり $\operatorname{Aut}(\mathbf C)$ の作用は係数への円分指標の作用として残り、これが第 4 章の捩れ定理の源になる（本書『1-2 序論の構想と群のトポス』『4-1 Galois 不変性と円分指標』）。
• 平坦束の Chern 類の捩れ性（Deligne–Sullivan DelSul75、1975 年）：有限 CW 複体の上の、離散構造群をもつ複素ベクトル束の整係数 Chern 類は捩れである、とされる。底が有限でないと偽であり（有理数の加法群の上の平坦直線束。本書『4-3 総括定理と複素表現の有理 Chern 類』）、本書は証明を確かめていない。

原論文との対応表

本頁が対応する原論文は Gro68d の小節 0.1〜0.2 である。

原論文の小節 0.2 は否定的主張を「容易に分かる」とし、論証は指標と $\mathbf Q/\mathbf Z$ の同一視、Gauss の定理、主等質空間の三つの句で済ませている。本頁はその段を補い、位数 2 の場合を除いた形で述べた。