4-1 Galois 不変性と円分指標
分離閉体の上では、作用群つきの混合コホモロジーは群のコホモロジーになり、Chern 類は群の表現の不変量になる。本頁は、体の自己同型が表現と Chern 類を同時に移すこと、したがって表現の類が部分体の上の自己同型で不変なら Chern 類も不変であることを示し、その作用が係数の上で円分指標による数倍として働くことと、円分指標の像が閉部分群であることを確かめる。これが次頁の捩れ定理の出発点になる。
この頁で示すこと
$k$ は分離閉体、$p=\operatorname{char}k\ge0$、$\ell$ は $p$ と異なる素数、$G$ は離散群で $\operatorname{Spec}k$ に自明に作用し、$E$ は $G$ の $k$ 上の有限次元表現とする。$k_0\subset k$ は部分体、$\Gamma:=\operatorname{Aut}(k/k_0)$ は $k_0$ の元を固定する $k$ の自己同型の群である（$k/k_0$ は代数的とは限らないので、原論文の $\operatorname{Gal}(k/k_0)$ を $\operatorname{Aut}$ と書く）。$\sigma\in\operatorname{Aut}(k)$ について ${}^\sigma\!E:=E\otimes_{k,\sigma}k$ は $\sigma$ で移した表現である。記号表のとおり $\chi$ は円分指標に使うので、$G$ の指標は $\psi\colon G\to k^*$ と書き、その 1 次元表現を $E_\psi$ と書く。
本頁の主結果は次の五つである。
- 分離閉体の上の作用つきベクトル束は群の表現（原論文 小節 4.1、(4.1)、印字 p. 255）：$(\operatorname{Spec}k,G)$ の混合コホモロジーは $G$ の群コホモロジーであり、作用つき局所自由加群は $G$ の有限次元表現で、その $\ell$ 進 Chern 類は $H^{2i}(G,T_\ell(k)^{\otimes i})$ に値をとる。［条件付き：分離閉体のエタール景が集合の景と同値であることを引用］
- 体の自己同型による Chern 類の移送（原論文 (4.2)(4.3)、小節 0.5 前半、印字 pp. 255–256、p. 220）：$\sigma\in\operatorname{Aut}(k)$ の係数への作用について $\sigma(c_i(E))=c_i({}^\sigma\!E)$ であり、とくに $E\cong{}^\sigma\!E$ なら $c_i(E)$ は $\sigma$ で不変である。［条件付き：Chern 類の関手性（本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』）による］
- 表現環での類が不変なら Chern 類も不変（原論文 小節 4.3 前半、印字 p. 256）：$E$ の表現環 $R_k(G)$ での類が $\Gamma$ で不変なら、すべての $c_i(E)$ は $\Gamma$ で不変である。［条件付き：主結果 2 と加法性（本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』）による］
- 不変性は十分だが必要でない（原論文 小節 4.3、印字 p. 256）：$E$ が $k_0$ の上で定義されれば ${}^\sigma\!E\cong E$（$\sigma\in\Gamma$）だが、逆は成り立たない（四元数群の 2 次の表現）。標数 0 で $E$ が半単純なら、この性質をもつ最小の $k_0$ はトレースの値で生成される体で、$E$ はその体の上に書けるとは限らない。［条件付き：標数 0 の半単純表現が指標で決まること、四元数群の 2 次の表現が実数体の上に書けないこと、自己同型群の固定体を引用。Chern 類の不変性は主結果 2 による］
- 円分指標とその像の閉性（原論文 (4.4)〜(4.7)、印字 p. 257）：円分指標 $\chi\colon\Gamma\to\mathbf Z_\ell^*$ は準同型で、$\sigma$ は $T_\ell(k)^{\otimes i}$ とその係数の群コホモロジーに $\chi(\sigma)^i$ 倍で作用する。標準仮定 (K) の下で、像 $\Lambda_1=\chi(\Gamma)$ と $\Lambda_i=\chi^i(\Gamma)$ は $\mathbf Z_\ell^*$ の閉部分群である。［条件付き：標準仮定 (K) の下での自己同型の延長を引用］
主結果 1 は分離閉体のエタール景についての標準的な事実を引き、主結果 2 は Chern 類の関手性を体の自己同型のスペクトルに当てる。主結果 3 は加法性で Chern 類を表現環の上に延ばし、主結果 4 は表現論の標準的な事実を引く。主結果 5 は円分指標の定義を確かめ、閉性の段だけに自己同型の延長を引く。
背景と動機
本書『1-1 位相的 Chern 類と体の自己同型』で見たとおり、整係数の Chern 類は複素数体の自己同型で不変ではありえない。1 の冪根の群を係数にとれば、体の同型で移したときに係数も一緒に動くので、この障害は消える（本書『1-2 序論の構想と群のトポス』の例「mod n の類は体の同型で係数ごと移る」）。原論文の小節 0.5（印字 p. 220）は、これを逆向きに読む。表現が部分体 $k_0$ の上で定義されるなら、$\ell$ 進 Chern 類は $k_0$ の上の自己同型の作用で不変でなければならない。原論文はこれを、表現の基礎体を $k_0$ に下げるための「まったく自明でない」コホモロジー的な必要条件と呼ぶ。
一方、自己同型は係数 $T_\ell(k)$ に円分指標を通して数倍で作用する。したがって不変性は、Chern 類がある数倍で自分自身に移るという関係になり、そこから捩れ性が出る。これが原論文 §4「幾何的な場合の捩れの性質」（印字 pp. 255–270）の構想で、本頁はその前半 4.1〜4.3（印字 pp. 255–257）を扱う。捩れ性と位数の上界は本書『4-2 位数の上界と第一 Chern 類での最良性』に回す。
原論文の 4.1〜4.3 は短く、ほとんどが「2.3 の一般的な性質から」の一文で済まされている。本頁は、その一般的な性質のうちどれを使うか（関手性と加法性）を明示し、原論文が「よく知られた」とする表現論の主張に例と反例を添え、円分指標の像が閉であるという主張に要る仮定（標準仮定 (K)）を立てる。
定義と準備
体の自己同型で表現を移す操作と、表現環を定める。
$\sigma\in\operatorname{Aut}(k)$ と $G$ の $k$ 上の表現 $E$ について、${}^\sigma\!E:=E\otimes_{k,\sigma}k$（右の $k$ を $\sigma\colon k\to k$ で $k$ 代数とみたテンソル積）に $G$ を $g(e\otimes a)=ge\otimes a$ で作用させたものを、$\sigma$ で移した表現という（原論文 (4.2) の $E\otimes_k(k,\sigma)$）。基底をとって $E$ を行列 $g\mapsto(a_{jk}(g))$ で表せば、${}^\sigma\!E$ は $g\mapsto(\sigma(a_{jk}(g)))$ で表され、トレースは $\operatorname{Tr}_{{}^\sigma\!E}=\sigma\circ\operatorname{Tr}_E$ である。$E\cong{}^\sigma\!E$ となる $\sigma$ の全体は $\operatorname{Aut}(k)$ の部分群で、$E$ の類の固定群という。$G$ の $k$ 上の有限次元表現の同型類で生成される自由アーベル群を、短完全列 $0\to E'\to E\to E''\to0$ ごとの関係 $[E]=[E']+[E'']$ で割った群を表現環 $R_k(G)$ という（環構造と λ 構造は参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『4-1 λ 環と完備 Chern 類』の扱いによるが、本頁では加法群としてだけ使う）。$[{}^\sigma\!E]$ は $[E]$ だけで決まり、$\sigma$ は $R_k(G)$ に作用する。
原論文の小節 4.3 は、固定群が $\Gamma$ を含むこと、すなわち $E$ の同型類が $\Gamma$ で不変なことを仮定とする。本頁の主結果 3 はそれを $R_k(G)$ での類の不変性に弱めた形で述べる。原論文も定理 4.8 の脚注では「安定な」類、すなわち $R_k(G)$ の類を仮定する（本書『4-3 総括定理と複素表現の有理 Chern 類』）。
次に、円分指標の像の閉性に要る仮定を置く。原論文はこれを明記せず、$\Gamma$ の像が $k_0$ の分離閉包の Galois 群の像に等しいとだけ書く（印字 p. 257）。
部分体 $k_0\subset k$ が標準仮定 (K) を満たすとは、$k$ が $k_0$ の分離閉包であるか、$k$ が代数閉であることをいう。標数 0 では分離閉体は代数閉なので、(K) はつねに成り立つ。$k_0^{\mathrm s}$ で $k_0$ の $k$ の中での分離閉包を表す。
$\mu_{\ell^\infty}(k):=\bigcup_\nu\mu_{\ell^\nu}(k)$ とする。$\sigma\in\Gamma$ について $\chi(\sigma)\in\mathbf Z_\ell^*$ を、すべての $\nu$ と $\zeta\in\mu_{\ell^\nu}(k)$ で $\sigma(\zeta)=\zeta^{\chi(\sigma)}$ となる元とする（存在と一意性は主結果 5 で確かめる。本書『0-3 エタールコホモロジーと Galois コホモロジー』の定義「円分指標」と同じもの）。$\chi\colon\Gamma\to\mathbf Z_\ell^*$ を $\ell$ 進円分指標といい、$\Lambda_1:=\chi(\Gamma)$、$\Lambda_i:=\{\lambda^i:\lambda\in\Lambda_1\}$（$i\in\mathbf Z$）とおく。原論文は円分指標を $\varphi$、像を $H_1$、$H_i$ と書く（(4.4)(4.6)(4.7)）が、本書は比較の同型 $\varphi$ とホモロジー $H_i$ との重なりを避けて $\chi$、$\Lambda_i$ と書く。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。出典は主に SGA4、SerGal64、Lan64 で、該当箇所の番号は本頁では確認していない。第 0 章の頁『0-3 エタールコホモロジーと Galois コホモロジー』に要点がある。事実 3 は表現論の標準的な事実で、本書の参考文献表に対応する項目が無く、本書は出典の箇所を確かめていない。
- 分離閉体のエタール景（本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の引用する事実 2）：$k$ が分離閉なら、$F\mapsto F(\operatorname{Spec}k)$ は $\operatorname{Spec}k$ のエタール層の圏と集合の圏の同値で、正の次数のエタールコホモロジーは消える。
- 自己同型の延長と固定体（本書『0-3 エタールコホモロジーと Galois コホモロジー』の定義「円分指標」の (4)。Lan64）：(a) 代数閉体 $k$ の部分体 $k_1$ の $k$ の中での代数閉包の自己同型は、$k$ の自己同型に延びる。したがって (K) の下で、制限 $\Gamma\to\operatorname{Gal}(k_0^{\mathrm s}/k_0)$ は全射である。(b) 標数 0 の代数閉体 $k$ では、$\operatorname{Aut}(k/k_0)$ の固定体は $k_0$ である。(c) 体 $F$ の分離閉包の Galois 群は射有限群で、コンパクトである。有限次分離拡大 $F'/F$ について $\operatorname{Gal}(F^{\mathrm s}/F')$ は開部分群である。
- 有限群の表現（標準的な事実）：(a) 標数 0 の体の上で、有限群の表現は半単純であり（Maschke の定理）、半単純な有限次元表現は（任意の群について）トレースで同型類が決まる。(b) 四元数群 $Q_8=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ の 2 次の既約複素表現は、トレースが $\pm1$ で $\pm2$、他の元で $0$ をとり、実数体の上の表現の係数拡大として書けない（四元数型の表現）。
これで、分離閉体の上の点の混合コホモロジーを群のコホモロジーとして読む準備ができた。
主結果と証明
原論文の 4.1〜4.3 の論証は、三つの段からなる。分離閉体の上の点で理論を群の表現の言葉に言い換える段、体の自己同型を作用群つきスキームの射とみて関手性を当てる段、そして自己同型の係数への作用を円分指標で書く段である。
分離閉体の上の点
$X=\operatorname{Spec}k$ に $G$ が自明に作用するとする。
- $(X_{\text{ét}},G)$ は $G$ 集合のトポスと同値で、$(X,G)$ 上の可換群の層 $F$ について、$F$ について自然な同型 $H^j(X,G;F)\cong H^j(G,F(\operatorname{Spec}k))$ がある。
- $(X,G)$ 上の作用つき局所自由加群 $(\mathbb E,\theta)$ は、$E:=\Gamma(X,\mathbb E)$ に $g\mapsto\theta_{g^{-1}}$ で $G$ を作用させることで、$G$ の $k$ 上の有限次元表現と同じものである。
- $\mu_{\ell^\nu}(k)$ は位数 $\ell^\nu$ の巡回群で、$G$ はそれに自明に作用する。$E$ の $\ell$ 進 Chern 類は
$$c_i(E)\in H^{2i}(G,T_\ell(k)^{\otimes i}):=\varprojlim_\nu H^{2i}(G,\mu_{\ell^\nu}(k)^{\otimes i})$$
にある（原論文 (4.1)。左辺は右辺の射影極限の略記である）。
段 1（トポスとコホモロジー）．1 は本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の例「分離閉体の上の点」そのもので、引用する事実 1 と、本書『1-2 序論の構想と群のトポス』の定理「群の作用する集合のトポスによる群コホモロジーの表示」による。
段 2（表現）．$G$ が $X$ に自明に作用するので $g^*=\mathrm{id}$ で、$\theta_g\in GL(E)$ は本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の定義「作用群つきのエタール層」の条件から $\theta_{gh}=\theta_h\circ\theta_g$、$\theta_e=\mathrm{id}$ を満たす。よって $g\mapsto\theta_{g^{-1}}$ は準同型 $G\to GL(E)$ で、逆に表現からこの規則で作用が定まる。局所自由加群は有限次元 $k$ 線形空間 $E$ で決まる（引用する事実 1 の同値は加群の圏の同値を与える）。
段 3（係数）．$\ell\ne p$ なので $T^{\ell^\nu}-1$ はその微分 $\ell^\nu T^{\ell^\nu-1}$ と共通根をもたず、分離的である。$k$ は分離閉なのでこの多項式は $k$ で $\ell^\nu$ 個の相異なる根に分解し、$\mu_{\ell^\nu}(k)$ は $k^*$ の位数 $\ell^\nu$ の部分群で、体の乗法群の有限部分群なので巡回群である。$G$ は $k$ に自明に作用するので $\mu_{\ell^\nu}(k)$ にも自明に作用する。1 と、本書『2-4 係数の変更と ℓ 進 Chern 類』の $\ell$ 進 Chern 類の定義から 3 を得る。
段 3 の「$\ell\ne p$」は原論文の 4.1 には書かれていないが、小節 2.2 の $n$ の条件（$n$ が許容されること）から従う。こうして、分離閉体の上の理論は、群 $G$ の表現に群コホモロジーの類を対応させる理論になった。次に、体 $k$ そのものを動かす。
体の自己同型の作用
$\sigma\in\operatorname{Aut}(k)$ は $k$ 上の射ではないが、スキームの射 $s:=\operatorname{Spec}\sigma\colon\operatorname{Spec}k\to\operatorname{Spec}k$ を与える。$G$ は自明に作用するので $s\circ g=g\circ s$ で、$(s,\mathrm{id}_G)$ は作用群つきスキームの射である（本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の定義「作用群つきスキームの射と順像・逆像」）。
$\sigma\in\operatorname{Aut}(k)$ は、係数の自己同型 $\mu_{\ell^\nu}(k)\to\mu_{\ell^\nu}(k)$、$\zeta\mapsto\sigma(\zeta)$ を通して $H^{2i}(G,\mu_{\ell^\nu}(k)^{\otimes i})$ と $H^{2i}(G,T_\ell(k)^{\otimes i})$ に作用する。この作用を $\sigma(\cdot)$ と書くと、
$$\sigma(c_i(E))=c_i({}^\sigma\!E)\qquad(\text{原論文 }(4.2))$$
であり、mod $\ell^\nu$ の類についても同じである。とくに $E\cong{}^\sigma\!E$ なら $\sigma(c_i(E))=c_i(E)$ で（原論文 (4.3)）、$c_i(E)$ は $E$ の類の固定群で不変である。
段 1（表現の引き戻し）．$E$ を $(\operatorname{Spec}k,G)$ 上の作用つき局所自由加群とみると、$s^*E$ は環準同型 $\sigma\colon k\to k$ による係数拡大 $E\otimes_{k,\sigma}k$ に $s^*\theta$ で作用を入れたもので、上の定理の 2 の対応でこれは ${}^\sigma\!E$ である。
段 2（関手性）．本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』の主結果「逆像との両立と正規化」を射 $(s,\mathrm{id}_G)$ に当てると、$c_i(s^*E)=s^*c_i(E)$ である。ここで $s^*\colon H^{2i}(\operatorname{Spec}k,G;\mu_{\ell^\nu}^{\otimes i})\to H^{2i}(\operatorname{Spec}k,G;s^*\mu_{\ell^\nu}^{\otimes i})$ に標準同型 $s^*\mu_{\ell^\nu}\cong\mu_{\ell^\nu}$ を合成したものを考える。
段 3（係数への作用）．$s$ はスキームの同型なので、$s^*$ はエタール層の圏の自己同値で大域切断と両立する。$\mu_{\ell^\nu}$ の大域切断 $\zeta\in\mu_{\ell^\nu}(k)\subset k$ の $s$ による引き戻しは $s^\sharp(\zeta)=\sigma(\zeta)$ である。したがって上の定理の 1 の同一視のもとで、$s^*$ は係数の写像 $\zeta\mapsto\sigma(\zeta)$ が誘導する $H^{2i}(G,\mu_{\ell^\nu}(k)^{\otimes i})$ の自己同型、すなわち $\sigma(\cdot)$ である。段 1・2 と合わせて $\sigma(c_i^{(\ell^\nu)}(E))=c_i^{(\ell^\nu)}({}^\sigma\!E)$。
段 4（$\ell$ 進の極限と不変性）．$\zeta\mapsto\sigma(\zeta)$ は遷移写像（$\ell$ 乗）と可換なので、極限でも等式が成り立つ。$E\cong{}^\sigma\!E$ なら、Chern 類は同型類だけで決まるので $c_i({}^\sigma\!E)=c_i(E)$ である。
$\sigma$ の作用の向き（$\sigma$ か $\sigma^{-1}$ か）は約束の問題で、上の証明の約束では関数の引き戻しに合わせて $\sigma$ になる。以下で使うのは群 $\Gamma$ 全体についての不変性だけなので、向きは結論に影響しない。階数 1 の場合の直接の検算は、例と反例の節で行う。
表現環の類の不変性
主結果 2 は同型類の不変性を仮定する。これを表現環の類の不変性に弱めるには、Chern 類が短完全列で決まることを使う。
$A:=\prod_{i\ge0}H^{2i}(G,T_\ell(k)^{\otimes i})$ に cup 積で環の構造を入れ、$A^\times_1$ を定数項が $1$ の元のなす乗法群とする。全 Chern 類 $c(E):=\sum_ic_i(E)$ は $A^\times_1$ の元で、$[E]\mapsto c(E)$ は群準同型 $c\colon R_k(G)\to A^\times_1$ に延びる。
段 1（環）．cup 積 $H^{2i}(G,\mu_{\ell^\nu}^{\otimes i})\times H^{2j}(G,\mu_{\ell^\nu}^{\otimes j})\to H^{2i+2j}(G,\mu_{\ell^\nu}^{\otimes(i+j)})$ は遷移写像と両立するので極限に移り、偶数次だけからなる $A$ は可換環である。定数項が $1$ の元 $1+a$ は、逆元を次数ごとに帰納的に解けるので可逆で、$A^\times_1$ は可換群である。
段 2（加法性）．表現の短完全列 $0\to E'\to E\to E''\to0$ は $(\operatorname{Spec}k,G)$ 上の作用つき局所自由加群の短完全列である。本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』の主結果「加法性」により、各 $\nu$ で $c(E)=c(E')c(E'')$ が mod $\ell^\nu$ の類で成り立ち、極限でも成り立つ。
段 3（延長）．$c(E)$ は $E$ の同型類だけで決まるので、同型類の自由アーベル群から $A^\times_1$ への準同型が定まり、段 2 により $R_k(G)$ の関係を $1$ に送る。
すべての $\sigma\in\Gamma$ で $R_k(G)$ の中で $[{}^\sigma\!E]=[E]$ なら、すべての $i$ で $c_i(E)\in H^{2i}(G,T_\ell(k)^{\otimes i})$ は $\Gamma$ で不変である。とくに $E$ の同型類が $\Gamma$ で不変なら（原論文 小節 4.3 の仮定）、$c_i(E)$ は $\Gamma$ で不変である。
上の補題により $c({}^\sigma\!E)=c([{}^\sigma\!E])=c([E])=c(E)$。$\sigma(\cdot)$ は係数の写像から来るので $A$ の各成分に働く環の自己同型で、上の定理（体の自己同型による Chern 類の移送）により $\sigma(c(E))=c({}^\sigma\!E)$。よって $\sigma(c(E))=c(E)$ で、次数ごとに比べて $\sigma(c_i(E))=c_i(E)$ を得る。
この定理は、Chern 類の関手性（主結果 2）と加法性の二つに依る。本書『4-2 位数の上界と第一 Chern 類での最良性』と本書『4-3 総括定理と複素表現の有理 Chern 類』の捩れ定理はすべてこの定理を経由するので、加法性（本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』）に依存する。
不変性の十分条件と必要条件
主結果 3 の仮定がいつ満たされるかを調べる。原論文は、$E$ が $k_0$ の上で定義されれば仮定が成り立つこと、その逆は「よく知られているように」成り立たないこと、標数 0 ではトレースの体が最小の $k_0$ を与えることを述べる（印字 p. 256）。
- $E\cong E_0\otimes_{k_0}k$（$E_0$ は $G$ の $k_0$ 上の表現）なら、すべての $\sigma\in\Gamma$ で ${}^\sigma\!E\cong E$ である。したがって $c_i(E)$ は $\Gamma$ で不変である（原論文 小節 0.5 前半）。
- 1 の逆は成り立たない。$k_0=\mathbf R$、$k=\mathbf C$、$G=Q_8$、$E$ を 2 次の既約表現とすると、${}^\sigma\!E\cong E$（$\sigma\in\Gamma$）だが、$E$ は $\mathbf R$ の上の表現の係数拡大として書けない。
- $k$ の標数が $0$（したがって $k$ は代数閉）で $E$ が半単純なら、「すべての $\sigma\in\Gamma$ で ${}^\sigma\!E\cong E$」は「$\operatorname{Tr}_E(G)\subset k_0$」と同値である。したがって、この性質をもつ部分体 $k_0$ のうち最小のものがあり、それは素体の上で $\operatorname{Tr}_E(G)$ で生成される体である。
- $E$ は 3 の最小の体の上に書けるとは限らない。2 の $E$ はトレースの体が $\mathbf Q$ だが、$\mathbf Q$ の上に書けない。
段 1（十分性）．$\sigma\in\Gamma$ は $k_0$ の上で恒等なので、$e\otimes a\otimes b\mapsto e\otimes\sigma(a)b$ は well-defined な $G$ 同型 $(E_0\otimes_{k_0}k)\otimes_{k,\sigma}k\to E_0\otimes_{k_0}k$ である。後半は上の定理（体の自己同型による Chern 類の移送）による（同型類が不変なので加法性は要らない）。
段 2（四元数群）．$\Gamma=\operatorname{Aut}(\mathbf C/\mathbf R)$ は恒等写像と複素共役 $\sigma$ からなる（$\mathbf R$ を固定する自己同型は $i$ を $\pm i$ に送る）。引用する事実 3 (b) により $\operatorname{Tr}_E$ は実数値なので、$\operatorname{Tr}_{{}^\sigma\!E}=\sigma\circ\operatorname{Tr}_E=\operatorname{Tr}_E$。有限群の複素表現は半単純なので、引用する事実 3 (a) により ${}^\sigma\!E\cong E$。一方、引用する事実 3 (b) により $E$ は $\mathbf R$ の上に書けない。
段 3（トレースによる判定）．${}^\sigma\!E\cong E$ ならトレースが等しく、$\sigma\circ\operatorname{Tr}_E=\operatorname{Tr}_E$ である。これがすべての $\sigma\in\Gamma$ で成り立てば、引用する事実 2 (b) により $\operatorname{Tr}_E(G)$ は $\Gamma$ の固定体 $k_0$ に入る。逆に $\operatorname{Tr}_E(G)\subset k_0$ なら $\operatorname{Tr}_{{}^\sigma\!E}=\operatorname{Tr}_E$ で、${}^\sigma\!E$ も半単純（$\sigma$ による移送は部分表現の対応を保つ）なので、引用する事実 3 (a) により ${}^\sigma\!E\cong E$。よって性質は「$k_0\supset\operatorname{Tr}_E(G)$」と同値で、最小の $k_0$ は素体と $\operatorname{Tr}_E(G)$ で生成される体である。
段 4（最小の体の上に書けない）．2 の $E$ のトレースは $0,\pm2$ なので、トレースの体は $\mathbf Q$ である。$E\cong E_1\otimes_{\mathbf Q}\mathbf C$ なら $E\cong(E_1\otimes_{\mathbf Q}\mathbf R)\otimes_{\mathbf R}\mathbf C$ で、段 2 に反する。
3 の半単純性は原論文の脚注（印字 p. 256）の仮定で、外せない。例と反例の節で、トレースが恒等的に $2$ なのに同型類が $\Gamma$ で動く表現を見る。その表現でも $R_k(G)$ での類は不変なので、主結果 3 は適用できる。こうして主結果 3 の仮定は、$k_0$ の上で定義されることより真に弱く、それでもなお Chern 類に強い制約を課す。その制約を具体的に書くのが円分指標である。
円分指標
- 各 $\sigma\in\Gamma$ について、すべての $\nu$ と $\zeta\in\mu_{\ell^\nu}(k)$ で $\sigma(\zeta)=\zeta^{\chi(\sigma)}$ となる $\chi(\sigma)\in\mathbf Z_\ell^*$ がただ一つあり、$\chi\colon\Gamma\to\mathbf Z_\ell^*$ は準同型である（原論文 (4.4)）。
- $i\in\mathbf Z$ について、$\sigma$ は $T_\ell(k)^{\otimes i}$ に $\chi(\sigma)^i$ 倍で作用する（原論文 (4.5)）。したがって上の定理（体の自己同型による Chern 類の移送）の $\sigma(\cdot)$ は、$H^j(G,T_\ell(k)^{\otimes i})$ の上で $\mathbf Z_\ell$ 加群としての $\chi(\sigma)^i$ 倍である。
- $\Lambda_i=\chi^i(\Gamma)$ は $\mathbf Z_\ell^*$ の部分群である。標準仮定 (K) の下で、$\Lambda_1$ は射有限群 $\operatorname{Gal}(k_0^{\mathrm s}/k_0)$ の連続準同型による像に等しく、$\Lambda_1$ と $\Lambda_i$ は $\mathbf Z_\ell^*$ の閉部分群である（原論文 (4.6)(4.7)）。
段 1（指標の存在）．上の定理（分離閉体の上の作用つきベクトル束は群の表現）の 3 により $\mu_{\ell^\nu}(k)$ は位数 $\ell^\nu$ の巡回群なので、その自己同型 $\sigma|_{\mu_{\ell^\nu}}$ はただ一つの $u_\nu\in(\mathbf Z/\ell^\nu)^*$ による $\zeta\mapsto\zeta^{u_\nu}$ である。$\ell$ 乗 $\mu_{\ell^{\nu+1}}(k)\to\mu_{\ell^\nu}(k)$ は全射で $\sigma$ と可換なので $u_{\nu+1}\equiv u_\nu\pmod{\ell^\nu}$ で、$\chi(\sigma):=(u_\nu)_\nu\in\varprojlim_\nu(\mathbf Z/\ell^\nu)^*=\mathbf Z_\ell^*$。$\sigma\tau(\zeta)=\sigma(\zeta^{\chi(\tau)})=\zeta^{\chi(\sigma)\chi(\tau)}$ なので準同型である。
段 2（テンソル冪と群コホモロジーへの作用）．$i\ge0$ なら $\sigma(\zeta_1\otimes\cdots\otimes\zeta_i)=\zeta_1^{\chi(\sigma)}\otimes\cdots\otimes\zeta_i^{\chi(\sigma)}=\chi(\sigma)^i(\zeta_1\otimes\cdots\otimes\zeta_i)$。$i<0$ では $\mu_{\ell^\nu}^{\otimes i}=\operatorname{Hom}(\mu_{\ell^\nu}^{\otimes(-i)},\mathbf Z/\ell^\nu)$ への作用 $f\mapsto f\circ\sigma^{-1}$ が $\chi(\sigma)^{i}$ 倍になる。$G$ はこの係数に自明に作用するので、係数の $a$ 倍は $H^j(G,-)$ の上に $a$ 倍を誘導する（加法的関手）。$\nu$ について両立するので、極限の上で $\chi(\sigma)^i$ 倍である。
段 3（像の閉性）．$\mu_{\ell^\infty}(k)$ の元は分離多項式 $T^{\ell^\nu}-1$ の根なので $k_0^{\mathrm s}$ に入る。$\sigma\in\Gamma$ は $k_0^{\mathrm s}$ を自分自身に移すので、$\chi$ は制限 $\Gamma\to\operatorname{Gal}(k_0^{\mathrm s}/k_0)$ と、同じ式で定まる $\bar\chi\colon\operatorname{Gal}(k_0^{\mathrm s}/k_0)\to\mathbf Z_\ell^*$ の合成である。$\bar\chi$ で $1+\ell^\nu\mathbf Z_\ell$ に入る元の全体は $\operatorname{Gal}(k_0^{\mathrm s}/k_0(\mu_{\ell^\nu}))$ を含み、これは開部分群なので（引用する事実 2 (c)）、$\bar\chi$ は連続である。(K) の下で制限は全射なので（引用する事実 2 (a)）、$\Lambda_1=\bar\chi(\operatorname{Gal}(k_0^{\mathrm s}/k_0))$ はコンパクト群の連続像で、Hausdorff 空間 $\mathbf Z_\ell^*$ の中で閉である。$\Lambda_i$ はその連続写像 $\lambda\mapsto\lambda^i$ による像なので同じく閉である。
2 により、主結果 3 の結論「$c_i(E)$ は $\Gamma$ で不変」は、$\Lambda_1$ のすべての元 $\lambda$ について $c_i(E)$ が $\lambda^i$ 倍で自分自身に移ることと言い換えられる。この言い換えから捩れ性と位数の上界を引き出すのが本書『4-2 位数の上界と第一 Chern 類での最良性』である。そこでは閉性は使わず、閉性は像の構造を調べる段（本書『4-3 総括定理と複素表現の有理 Chern 類』の総括定理）で使う。最後に、標準仮定 (K) の役割を記録しておく。
原論文は $\Lambda_1$ を $\operatorname{Gal}(k_0^{\mathrm s}/k_0)$ の像とするが、そのためには制限 $\Gamma\to\operatorname{Gal}(k_0^{\mathrm s}/k_0)$ の全射性が要る。(K) を「$k$ が $k_0$ 上代数的」に弱めると、この全射性は崩れる。要点のみ述べる。$p$ を奇素数、$k_0=\mathbf F_p(s,t)$、$r_1,r_2$ を $X^2-sX-t$ の二根、$k:=k_0^{\mathrm s}(r_1^{1/p})$ とする。$k$ は分離閉体の純非分離拡大なので分離閉で、$k_0$ 上代数的である。$r_1$ と $r_2$ を入れ替える $\tau\in\operatorname{Gal}(k_0^{\mathrm s}/k_0)$ が $k$ の自己同型に延びたとすると、$r_2^{1/p}\in k$ で、$s^{1/p}=r_1^{1/p}+r_2^{1/p}\in k$。$k$ は $k_0^{\mathrm s}$ 上 $p$ 次なので $k=k_0^{\mathrm s}(s^{1/p})$ となり、$r_1\in(k_0^{\mathrm s})^p(s)$、したがって $t=r_1^2-sr_1\in(k_0^{\mathrm s})^p(s)$ である。しかし $\{s,t\}$ は $k_0$ の $p$ 基底で、分離代数拡大 $k_0^{\mathrm s}$ でも $p$ 基底のままなので（$p$ 基底についての標準的な事実）、これは起こらない。よって $\tau$ は延びない。この例は円分部分での全射性まで崩れることは示さない。(K) を外した標数 $p$ の場合の扱いは本書『4-2 位数の上界と第一 Chern 類での最良性』で未完結として記録する。なお、$k_0$ 上定義される表現については、$k$ の代数閉包 $K$ に移っても $\mu_{\ell^\nu}(k)=\mu_{\ell^\nu}(K)$ で Chern 類は変わらない（関手性）ので、(K) の場合に帰着できる。
例と反例
まず階数 1 で主結果 2 と主結果 5 の 2 を直接確かめ、次に円分指標の像をいくつかの基礎体で計算する。最後の二つの反例は、主結果 4 の半単純性と主結果 1 の分離閉性が外せないことを示す。
$\psi\colon G\to k^*$ を指標とする。${}^\sigma\!E_\psi$ は $1\times1$ 行列 $\psi(g)$ に $\sigma$ を当てたものなので ${}^\sigma\!E_\psi=E_{\sigma\circ\psi}$ である。本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の例「体の上の作用つき可逆層の類」により $c_1(E_\psi)=\pm\partial(\psi)\in H^2(G,\mu_{\ell^\nu}(k))$（$\partial$ は Kummer 列 $1\to\mu_{\ell^\nu}(k)\to k^*\to k^*\to1$ の余境界、符号は約束だけで決まる）で、$\sigma$ は Kummer 列の自己同型を与えるので、余境界の自然性から $\sigma(\partial(\psi))=\partial(\sigma\circ\psi)$。これは主結果 2 の $i=1$ の場合である（本書『1-2 序論の構想と群のトポス』の例「mod n の類は体の同型で係数ごと移る」と同じ計算）。さらに $G=\mathbf Z/\ell^a$、$\psi(1)=\zeta$ が 1 の原始 $\ell^a$ 乗根なら $\sigma\circ\psi=\psi^{\chi(\sigma)}$（値ごとの冪、$\chi(\sigma)$ は mod $\ell^a$ で読む）で、$\partial$ は準同型なので $c_1(E_{\sigma\circ\psi})=\chi(\sigma)\,c_1(E_\psi)$。これは主結果 5 の 2 の $i=1$ の場合と一致する。
(i) $k_0=\mathbf F_q$、$k=\overline{\mathbf F}_q$（$q$ は $\ell$ と素）：$\Gamma=\operatorname{Gal}(\overline{\mathbf F}_q/\mathbf F_q)$ は $x\mapsto x^q$ で位相的に生成され、その円分指標の値は $q$ なので、$\Lambda_1$ は $q$ で生成される部分群の $\mathbf Z_\ell^*$ での閉包である（本書『0-3 エタールコホモロジーと Galois コホモロジー』の定義「円分指標」の (1)）。(ii) $k_0=\mathbf Q$、$k=\overline{\mathbf Q}$ または $\mathbf C$：円分多項式の既約性により $\Lambda_1=\mathbf Z_\ell^*$（同じ定義の (2)、本書『1-1 位相的 Chern 類と体の自己同型』の定理「円分指標の全射性」）。(iii) $k_0=\mathbf R$、$k=\mathbf C$：$\Gamma=\{1,\sigma\}$ で $\chi(\sigma)=-1$、$\Lambda_1=\{\pm1\}$。(iv) $k_0=\mathbf Q(\mu_{\ell^\infty})$：$\Gamma$ は $\mu_{\ell^\infty}$ を固定するので $\Lambda_1=\{1\}$。(v) $\ell$ 奇、$k_0=\mathbf Q(\mu_\ell)$、$k=\overline{\mathbf Q}$：$\operatorname{Gal}(\mathbf Q(\mu_{\ell^\infty})/\mathbf Q)\cong\mathbf Z_\ell^*$ のうち $\mu_\ell$ を固定する部分群なので $\Lambda_1=1+\ell\mathbf Z_\ell$。(iii) と (iv) では $\Lambda_1$ は有限、(i)(ii)(v) では無限で、この違いが次頁の捩れ定理の形を分ける。
外す条件は、主結果 4 の 3 の $E$ が半単純であることである。$k$ を標数 0 の代数閉体、$k_0\subsetneq k$、$t\in k\setminus k_0$、$G=\mathbf Z^2$ とし、$E_t\colon(m,n)\mapsto\begin{pmatrix}1&m+nt\\0&1\end{pmatrix}$ とする。上三角の冪単行列の積は右上の成分の和なので、これは表現である。トレースは恒等的に $2\in k_0$ である。$E_t\cong E_{t'}$ なら、同型を与える行列 $A$ はただ一つの不変な直線 $ke_1$ を保つので上三角で、$A=\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}$ による共役は右上の成分を $a/d$ 倍するだけだから、$(m,n)=(1,0)$ から $a/d=1$、$(0,1)$ から $t'=t$ を得る。$t\notin k_0$ なので、引用する事実 2 (b) により $\sigma(t)\ne t$ となる $\sigma\in\Gamma$ があり、${}^\sigma\!E_t=E_{\sigma(t)}\not\cong E_t$。したがって主結果 4 の 3 の同値は破れる。一方 $0\to\mathbf 1\to E_t\to\mathbf 1\to0$ は完全なので $[E_t]=2[\mathbf 1]$ は $R_k(G)$ で $\Gamma$ 不変で、主結果 3 が適用でき、実際に加法性から $c(E_t)=c(\mathbf 1)^2=1$、すなわち $c_i(E_t)=0$（$i\ge1$）である。同型類の不変性より表現環の類の不変性を仮定に採る理由がここにある。
外す条件は、主結果 1 の $k$ が分離閉であることである。$k=\mathbf R$、$G=\{e\}$、$\ell=2$ とすると、混合コホモロジーは $\operatorname{Spec}\mathbf R$ のエタールコホモロジーで、Kummer 列と Hilbert 90 により $H^1(\operatorname{Spec}\mathbf R,\mu_2)\cong\mathbf R^*/\mathbf R^{*2}\cong\mathbf Z/2$ である（本書『0-3 エタールコホモロジーと Galois コホモロジー』の定理「Kummer 列と Kummer 理論」）。一方 $H^1(\{e\},\mu_2(\mathbf R))=0$ なので、主結果 1 の 1 の同型は成り立たない。分離閉でない基礎体では、混合コホモロジーに体の Galois コホモロジーが混ざる。これは本書『6-1 作用が自明なときの Künneth 公式と普遍係数』以降の算術的な場合の主題である。
その後の発展
以下は原論文の主張ではなく、後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書が文献を開いて確かめていないものはそう書く）。
- 表現の有理性と Schur 指数（古典）：主結果 4 の 2・4 の現象、すなわちトレースの体の上に表現が書けないことは、Schur 指数の理論が測る。本書は参考文献表に対応する文献を持たず、確かめていない。
- 有限群の表現の Chern 類（Atiyah Ati61、1961 年。Evens Evens65、1965 年）：表現環から分類空間の $K$ 群とコホモロジーへの写像として有限群の表現の Chern 類が調べられた。本頁の補題（全 Chern 類は表現環から定まる）の位相版にあたる。本書は該当箇所を確かめていない。
- 数体の整数環の $K$ 群の $\ell$ 進 Chern 類（Soulé Sou79、1979 年）：Galois 作用のある Tate 捩れ係数のコホモロジーに値をとる Chern 類が、原論文の算術的な類の延長として構成された、とされる。本書は確かめていない。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Classes de Chern et représentations linéaires des groupes discrets Gro68d の小節 0.5 前半と 4.1〜4.3 である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 背景と動機（コホモロジー的な必要条件） | 小節 0.5 前半 | 220 |
| 定理（分離閉体の上の作用つきベクトル束は群の表現） | 小節 4.1、(4.1) | 255 |
| 定義（体の自己同型で移した表現と表現環）、定理（体の自己同型による Chern 類の移送） | 小節 4.2、(4.2)(4.3) | 255–256 |
| 補題（全 Chern 類は表現環から定まる）、定理（表現環での類が不変なら Chern 類も不変） | 小節 4.3 前半、定理 4.8 の脚注（安定な類） | 256 |
| 定理（不変性は十分だが必要でない） | 小節 4.3 とその脚注（半単純性） | 256 |
| 定義（標準仮定 (K)）、定義（円分指標とその像）、定理（円分指標とその像の閉性） | (4.4)〜(4.7) | 256–257 |
| 注意（標準仮定 (K) は代数性に弱められない） | (4.6) の直後（$\operatorname{Gal}(\bar k_0/k_0)$ の像とする箇所） | 257 |
| 例（階数 1 の表現での検算）、例（円分指標の像）、例（反例：半単純性を外すとトレースは同型類を決めない）、例（反例：分離閉でない体では群のコホモロジーにならない） | 原論文になし（本書が足した例） | — |
原論文の 4.2 は群 $\operatorname{Aut}(k)$ を $\pi$ と書き、類の固定群を $\pi_E$ と書く。本頁ではそれぞれ $\operatorname{Aut}(k)$、「$E$ の類の固定群」と言葉で書いた。
参考文献
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