4-2 位数の上界と第一 Chern 類での最良性
分離閉体の上の離散群の表現で、表現環での類が基礎体の自己同型で動かないものについて、$\ell$ 進 Chern 類の位数を円分指標の像だけで上から押さえ、その上界の性質を調べる。原論文は第一 Chern 類ですでにこの上界が最良でないと例を挙げるが、その例では類は $0$ にならず、第一 Chern 類では上界がどの基礎体でも巡回群の 1 次元表現でちょうど達成されることを証明する。最後に、上界を与える群が基礎体の極大 $\ell$ 円分部分体だけで決まることを示す。
この頁で示すこと
$k$ は分離閉体、$p=\operatorname{char}k\ge0$、$\ell\ne p$ は素数、$k_0\subset k$ は部分体、$\Gamma=\operatorname{Aut}(k/k_0)$ とする。$G$ は $\operatorname{Spec}k$ に自明に作用する離散群、$E$ は $G$ の $k$ 上の有限次元表現、$R_k(G)$ はその表現の Grothendieck 群で、$E$ の $\ell$ 進 Chern 類を $c_i(E)(\ell)\in H^{2i}(G,T_\ell(k)^{\otimes i})$ と書く（本書『4-1 Galois 不変性と円分指標』）。$\chi\colon\Gamma\to\mathbf Z_\ell^*$ は円分指標、$\Lambda_1=\chi(\Gamma)$、$\alpha(i)=\inf_{\lambda\in\Lambda_1}v_\ell(\lambda^i-1)\in\{0,1,2,\dots,+\infty\}$ である（下の定義）。
本頁の主結果は次の五つである。
- 捩れ性と位数の上界（原論文 (4.8)〜(4.10)、印字 pp. 257–258。小節 0.5、印字 pp. 220–221）：$E$ の $R_k(G)$ での類が $\Gamma$ で不変なら、すべての $\lambda\in\Lambda_1$ で $(\lambda^i-1)\,c_i(E)(\ell)=0$ であり、$\alpha(i)<\infty$ なら $\ell^{\alpha(i)}c_i(E)(\ell)=0$ である。［条件付き：本書『4-1 Galois 不変性と円分指標』の主結果「表現環での類が不変なら Chern 類も不変」（加法性（本書 2-3）を経る）による］
- 上界の性質（原論文 小節 4.5〜4.6、(4.11)〜(4.14)、印字 pp. 258–259）：上界 $\ell^{\alpha(i)}$ は $\Lambda_1$ と $i$ だけで決まる。$\Lambda_1$ が有限なら $\Lambda_1^d=1$ となる最小の $d$ で割り切れない $i$ で類は捩れ、$\Lambda_1$ が無限ならすべての $i\ge1$ で捩れで、$i$ が $(\ell-1)\ell^m$ の倍数なら $\alpha(i)\ge m+1$ となる。$\ell$ が奇数なら、$\Lambda_1$ の $(\mathbf Z/\ell)^*$ での像の位数 $\delta$ で割り切れない $i$ では $c_i(E)(\ell)=0$。実表現の複素化の奇数次の類は $2$ で消える。［条件付き：1 と、$\ell$ 進単数群の構造を引用］
- 第一 Chern 類では上界は常に達成される（原論文 小節 4.6 の第一 Chern 類の主張の訂正形、印字 pp. 259–260）：どの $k_0\subset k$ でも（標準仮定 (K) なしに）、$\alpha(1)=a<\infty$ なら、位数 $\ell^a$ の巡回群の 1 次元表現 $E$ で、同型類が $\Gamma$ で不変で $c_1(E)(\ell)$ の位数がちょうど $\ell^a$ のものがある。したがって主結果 1 の $i=1$ の上界は、$G$ を有限巡回群に限っても最良である。［完結］原論文の形は反例「1 の $\ell$ 乗根を含む体の上の位数 $\ell$ の巡回群の指標」で破れる。
- 極大 ℓ 円分部分体への還元（原論文 小節 4.7、(4.15)〜(4.18)、印字 pp. 260–262）：標準仮定 (K) の下で、$\Lambda_1=\operatorname{Gal}(Z/Z_0)$（$Z$ は素体上 1 の $\ell$ 冪乗根で生成される体、$Z_0=Z\cap k_0$）であり、$\operatorname{Gal}(Z/P)/\Lambda_1\cong\operatorname{Gal}(Z_0/P)$、$\Lambda_1$ が $\mathbf Z_\ell^*$ で有限指数であることと $Z_0$ が素体の有限次拡大であることは同値である。［条件付き：標準仮定 (K) の下の自己同型の延長、自然な無理性、円分多項式の既約性を引用］
- 標準仮定 (K) を外した標数 p の分離閉体の場合（原論文 小節 4.7 の「同型の延長の定理」の段、印字 p. 261）：$k$ が標数 $p$ の分離閉体で、$k_0$ の分離閉包でも代数閉でもないとき、$\Lambda_1=\operatorname{Gal}(Z/Z_0)$ となること。［未完結：原論文が訴える自己同型の延長はこの場合には出ず、本書は包含 $\Lambda_1\subset\operatorname{Gal}(Z/Z_0)$ しか示せない］
主結果 1・2 は、係数への Galois 作用がスカラー倍であることと $\mathbf Z_\ell$ 加群の計算だけで閉じるが、Chern 類の不変性を前頁から引くので条件付きである。主結果 3 は、第一 Chern 類が行列式の Kummer 余境界そのものであることだけを使い、群のコホモロジーの長完全列で閉じる。主結果 4 は体論の標準的な定理を引く。
背景と動機
原論文の小節 0.5（印字 pp. 220–221）は、表現が部分体 $k_0$ の上で定義されるなら $\ell$ 進 Chern 類は $k_0$ 自己同型で不変であり、$k_0$ が素体上有限型なら自己同型の群が 1 の冪根に「大きく作用する」ので、$\ell$ 進 Chern 類はすべて捩れである、と予告した。係数 $T_\ell(k)^{\otimes i}$ の上で $\sigma\in\Gamma$ はスカラー $\chi(\sigma)^i$ として働くので、不変性は $(\chi(\sigma)^i-1)c_i=0$ という零化の関係になる。これが本頁の主結果 1 で、原論文の (4.8)〜(4.10)（印字 pp. 257–258）に当たる。
零化の関係は捩れであることより多くを言う。$\lambda^i-1$ の $\ell$ 進付値の最小値 $\alpha(i)$ が、位数の上界 $\ell^{\alpha(i)}$ を与える。原論文の小節 4.5〜4.6 はこの上界が $G$ にも $E$ にも依らず基礎体と $i$ と $\ell$ だけで決まること、$i$ が乗法的に大きくなると悪くなることを述べ、続けて「$k_0,i,\ell$ を固定しても上界は一般に最良でなく、$i=1$ ですでにそうである」と主張する（印字 pp. 259–260）。その根拠の例は $k_0=\mathbf Q(\mu_\ell)$ で、原論文は Gauss を引いて $k_0$ の 1 の冪根の群の位数を $\ell-1$ とし、$c_1(E)=0$ を導く。
ところが $\mathbf Q(\mu_\ell)$ は $-1$ と 1 の原始 $\ell$ 乗根を含むので、1 の冪根の群の位数は $\ell$ が奇数なら $2\ell$ で、$\ell-1$ は拡大次数 $[\mathbf Q(\mu_\ell):\mathbf Q]$ である。位数 $\ell$ の巡回群の指標で、この体の上で定義され第一 Chern 類が $0$ でないものがある。本頁はこの例が崩れることを示すだけでなく、第一 Chern 類については上界 $\ell^{\alpha(1)}$ がどの基礎体の上でもちょうど達成されることを証明し、原論文の主張を訂正した形で主結果とする。原論文が最後に出す問題（最良の上界を決めよ）は、第一 Chern 類では本書が答え、二次以上では問いのまま残る。
原論文の小節 4.7 は、$\Lambda_1$ を具体的に求め、それが $k_0$ の極大 $\ell$ 円分部分体 $Z_0$ だけで決まることを示す。これは次頁の総括定理（本書『4-3 総括定理と複素表現の有理 Chern 類』）の入力になる。その証明の中の自己同型の延長には、本書が標準仮定 (K) と呼ぶ仮定が要る。
定義と準備
前頁の円分指標から、位数の上界を与える整数 $\alpha(i)$ を定める。
$k$ を分離閉体、$\ell\ne\operatorname{char}k$ を素数、$k_0\subset k$ を部分体、$\Gamma=\operatorname{Aut}(k/k_0)$ とする。円分指標 $\chi\colon\Gamma\to\mathbf Z_\ell^*$ は、すべての $\nu$ と $\zeta\in\mu_{\ell^\nu}(k)$ で $\sigma(\zeta)=\zeta^{\chi(\sigma)}$ となる準同型である（本書『0-3 エタールコホモロジーと Galois コホモロジー』の定義「円分指標」）。
$$\Lambda_1:=\chi(\Gamma)\subset\mathbf Z_\ell^*,\qquad\Lambda_i:=\{\lambda^i:\lambda\in\Lambda_1\}$$
とおき（原論文 (4.6)(4.7) の $H_1$、$H_i$）、$v_\ell$ を $\mathbf Z_\ell$ の $\ell$ 進付値（$v_\ell(0)=+\infty$）として、$i\ge1$ について
$$\alpha(i):=\inf_{\lambda\in\Lambda_1}v_\ell(\lambda^i-1)=\inf_{\mu\in\Lambda_i}v_\ell(\mu-1)\in\{0,1,2,\dots\}\cup\{+\infty\}$$
と定める（原論文 (4.9)）。$\alpha(i)=+\infty$ は $\Lambda_i=\{1\}$ と同値で、$\alpha(i)<\infty$ なら下限はある $\lambda\in\Lambda_1$ で達成される（非負整数の集合の最小値）。
$\alpha(i)$ は $\Gamma$ そのものでなく像 $\Lambda_1$ だけで決まる。$\Lambda_1$ を計算するための体を置く。
$P$ を $k$ の素体とする。$Z=Z(\ell)\subset k$ を、$P$ 上すべての $\nu$ の $\mu_{\ell^\nu}(k)$ で生成される体とし、$k$ の極大 $\ell$ 円分部分体という（原論文 (4.15)）。$Z_0=Z_0(\ell):=Z\cap k_0$ を $k_0$ の極大 $\ell$ 円分部分体という（原論文 (4.16)）。$Z/P$ は Galois 拡大で、$\tau\in\operatorname{Gal}(Z/P)$ に $\tau(\zeta)=\zeta^{u}$ となる $u\in\mathbf Z_\ell^*$ を対応させる写像は単射準同型である（$Z$ は 1 の $\ell$ 冪乗根で生成されるので）。その像を $\Pi$ と書き、$\operatorname{Gal}(Z/P)$ を $\Pi$ と同一視する（原論文の $\pi$）。
$\chi(\sigma)$ は $\sigma$ の $Z$ への制限だけで決まるので、$\Lambda_1\subset\operatorname{Gal}(Z/Z_0)\subset\Pi$ が常に成り立つ。等号を言うには、$\operatorname{Gal}(Z/Z_0)$ の元が $\Gamma$ の元に延びなければならない。
$k$ が $k_0$ の分離閉包であるか、$k$ が代数閉であるとき、組 $k_0\subset k$ は標準仮定 (K) を満たすという。標数 $0$ では分離閉体は代数閉なので、(K) は常に成り立つ。本書『4-1 Galois 不変性と円分指標』の定義「標準仮定 (K)」と同じものである。原論文は仮定を置かずに自己同型の延長を使うが、本書はこの仮定の下でだけ延長を認める（(K) は「$k$ が $k_0$ 上代数的」には弱められない）。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。出典は主に本書の第 0 章、Ser62、Lan64 で、該当箇所の番号は本頁では確認していない。4 は前頁の主結果である。
- $\ell$ 進単数群の構造（原論文 小節 4.4、印字 p. 258。Ser62 の型）：$\ell$ が奇数なら $\mathbf Z_\ell^*=\mu_{\ell-1}\times(1+\ell\mathbf Z_\ell)$ で、$1+\ell\mathbf Z_\ell\cong\mathbf Z_\ell$（加法群）。$\mathbf Z_2^*=\{\pm1\}\times(1+4\mathbf Z_2)$ で、$1+4\mathbf Z_2\cong\mathbf Z_2$。とくに $\mathbf Z_\ell^*$ の捩れ部分群は有限巡回群（$\mu_{\ell-1}$ または $\{\pm1\}$）で、$\mathbf Z_\ell^*$ の閉部分群は開（有限指数）か有限のどちらかである。$\mu_{\ell-1}\to(\mathbf Z/\ell)^*$ は同型である。
- 単数の冪の付値（Ser62 の型）：$\ell$ が奇数で $u\in1+\ell\mathbf Z_\ell$ なら $v_\ell(u^{m}-1)=v_\ell(u-1)+v_\ell(m)$（$m\ge1$）。$\ell=2$ で $u\in1+4\mathbf Z_2$ なら同じ式が成り立ち、奇数 $u$ について $v_2(u^2-1)\ge3$。
- Galois 理論（本書『0-3 エタールコホモロジーと Galois コホモロジー』の定義「円分指標」の (2)(4)。Lan64）：(a) 円分多項式の既約性により、$\operatorname{Gal}(\mathbf Q(\mu_{\ell^\infty})/\mathbf Q)\to\mathbf Z_\ell^*$ は同型である。(b) 自然な無理性：Galois 拡大 $L/F$ と共通の体の中の拡大 $F'/F$ について、制限は同型 $\operatorname{Gal}(LF'/F')\cong\operatorname{Gal}(L/L\cap F')$ を与える。(c) 標準仮定 (K) の下で、$k_0$ の $k$ の中の分離閉包を $k_0^{\mathrm s}$ とすると、制限 $\Gamma\to\operatorname{Gal}(k_0^{\mathrm s}/k_0)$ は全射である（$k=k_0^{\mathrm s}$ なら定義から。$k$ が代数閉なら、$\operatorname{Gal}(k_0^{\mathrm s}/k_0)$ の元を $k_0$ の $k$ の中の代数閉包へ一意に延ばし、超越基底を固定して $k$ へ延ばす）。
- 表現環での類が不変なら Chern 類も不変（本書『4-1 Galois 不変性と円分指標』）：$\sigma\in\Gamma$ は係数 $\mu_{\ell^\nu}(k)^{\otimes i}$ への作用を通して $H^{2i}(G,T_\ell(k)^{\otimes i})$ に作用し、$E$ の $R_k(G)$ での類が $\Gamma$ で不変（すべての $\sigma$ で $[{}^\sigma\!E]=[E]$、${}^\sigma\!E=E\otimes_{k,\sigma}k$）なら $\sigma(c_i(E)(\ell))=c_i(E)(\ell)$ である。証明は Chern 類の関手性と加法性（本書 2-3）による。
事実 4 に加法性が入るのは、Chern 類が表現の同型類でなく $R_k(G)$ の類だけで決まることを使うからである。これで、不変性を零化の関係に書き直す準備ができた。
主結果と証明
鍵は、$\Gamma$ が係数にスカラーとして作用し、$G$ が係数に自明に作用するので、コホモロジーの上でも同じスカラーとして作用することにある。
捩れ性と位数の上界
記号をこの頁の冒頭のとおりとし、$E$ の $R_k(G)$ での類が $\Gamma$ で不変であるとする。$i\ge1$ について次が成り立つ。
- すべての $\lambda\in\Lambda_1$ で $(\lambda^i-1)\,c_i(E)(\ell)=0$（原論文 (4.8)）。とくに $\Lambda_i\ne\{1\}$ なら $c_i(E)(\ell)$ は捩れ元である。
- $\alpha(i)<\infty$ なら $\ell^{\alpha(i)}c_i(E)(\ell)=0$（原論文 (4.10)）。
この定理は標準仮定 (K) を使わない。
段 1（係数への作用）．$\sigma\in\Gamma$ と $\nu\ge1$ をとる。$\mu_{\ell^\nu}(k)$ は位数 $\ell^\nu$ の巡回群で、$\sigma$ はその上で $\zeta\mapsto\zeta^{\chi(\sigma)}$、すなわち $\mathbf Z/\ell^\nu$ 加群としての $\chi(\sigma)\bmod\ell^\nu$ 倍として働く。テンソル冪 $\mu_{\ell^\nu}(k)^{\otimes i}$ の上では $z_1\otimes\cdots\otimes z_i\mapsto\sigma(z_1)\otimes\cdots\otimes\sigma(z_i)$ なので $\chi(\sigma)^i\bmod\ell^\nu$ 倍である。
段 2（コホモロジーへの作用）．$G$ は係数に自明に作用するので、整数 $m$ 倍 $M\to M$ は $G$ 加群の準同型で、加法的関手 $H^{2i}(G,-)$ はそれを $H^{2i}(G,M)$ の $m$ 倍に移す。段 1 により、$\sigma$ の $H^{2i}(G,\mu_{\ell^\nu}(k)^{\otimes i})$ への作用は $\chi(\sigma)^i\bmod\ell^\nu$ 倍である。
段 3（零化の関係）．引用する事実 4 により $\sigma(c_i(E)(\ell))=c_i(E)(\ell)$ で、成分ごとに書けば、mod $\ell^\nu$ の成分 $c_i^{(\ell^\nu)}$ について $(\chi(\sigma)^i-1)\,c_i^{(\ell^\nu)}=0$ がすべての $\nu$ で成り立つ。射影極限 $H^{2i}(G,T_\ell(k)^{\otimes i})=\varprojlim_\nu H^{2i}(G,\mu_{\ell^\nu}(k)^{\otimes i})$ は、$\mathbf Z_\ell=\varprojlim\mathbf Z/\ell^\nu$ が成分ごとに作用する $\mathbf Z_\ell$ 加群であり、$\lambda=\chi(\sigma)$ について $(\lambda^i-1)c_i(E)(\ell)=0$ を得る。$\Lambda_i\ne\{1\}$ なら $\lambda^i\ne1$ となる $\lambda$ があり、$\lambda^i-1=\ell^au$（$a=v_\ell(\lambda^i-1)<\infty$、$u\in\mathbf Z_\ell^*$）と書ける。
段 4（単数の消去）．$u\in\mathbf Z_\ell^*$ の作用は逆元 $u^{-1}$ の作用を逆にもつので可逆である。段 3 の $\ell^au\,c_i(E)(\ell)=0$ に $u^{-1}$ を当てて $\ell^ac_i(E)(\ell)=0$。$\alpha(i)<\infty$ なら、下限を達成する $\lambda$（上の定義（円分指標の像と位数の指数））について $a=\alpha(i)$ となり、2 を得る。
段 1〜4 は円分指標の像が閉であることも、$\Gamma$ が大きいことも使っていない。前頁で (K) の下で示した像の閉性は、主結果 4 で $\Lambda_1$ を体で書くときに初めて効く。上界は $\Lambda_1$ と $i$ だけで決まるので、次にその性質を $\mathbf Z_\ell^*$ の構造から読む。
上界の性質
上の定理（捩れ性と位数の上界）の仮定の下で、次が成り立つ。
- 上界 $\ell^{\alpha(i)}$ は $\Lambda_1$ と $i$ だけで決まり、$G$ にも $E$ にも依らない。
- $\Lambda_1$ が有限なら、それは巡回群で、$\Lambda_1^d=\{1\}$ となる最小の $d>0$ は $\Lambda_1$ の位数に等しい。$d\nmid i$ なら $\alpha(i)<\infty$ で $c_i(E)(\ell)$ は捩れであり、$d\mid i$ なら $\alpha(i)=+\infty$ で上界は何も言わない（原論文 (4.11)(4.12)）。
- $\Lambda_1$ が無限なら、すべての $i\ge1$ で $\alpha(i)<\infty$、したがって $c_i(E)(\ell)$ はすべて捩れで $\ell^{\alpha(i)}$ で消える。
- どの $\Lambda_1$ についても、$i$ が $(\ell-1)\ell^m$ の倍数なら $\alpha(i)\ge m+1$ である。したがって $i$ を整除の順序で大きくする（$(\ell-1)\ell^m$ の倍数をとって $m$ を大きくする）と上界は際限なく悪くなり、この形の上界で $i$ によらないものは得られない。
- $\ell$ が奇数のとき、$\delta:=\#\operatorname{Im}(\Lambda_1\to(\mathbf Z/\ell)^*)$ とすると $\delta\mid\ell-1$ で、$\alpha(i)=0\iff\delta\nmid i$。よって $\delta\nmid i$ なら $c_i(E)(\ell)=0$（原論文 (4.13)(4.14)）。
- $k_0=\mathbf R$、$k=\mathbf C$ とし、$E$ を $G$ の実表現の複素化とする。$i$ が奇数なら、$\ell\ne2$ で $c_i(E)(\ell)=0$、$\ell=2$ で $2c_i(E)(\ell)=0$ である。
段 1（有限な像）．1 は定義から明らか。$\Lambda_1$ が有限なら、それは $\mathbf Z_\ell^*$ の捩れ部分群に含まれ、引用する事実 1 によりその群は有限巡回群なので、$\Lambda_1$ も巡回群である。巡回群の指数は位数に等しいので $d=\#\Lambda_1$。$d\nmid i$ なら生成元 $\lambda$ について $\lambda^i\ne1$ で $\alpha(i)\le v_\ell(\lambda^i-1)<\infty$。$d\mid i$ ならすべての $\lambda^i=1$ で $\alpha(i)=+\infty$。上の定理から 2 を得る。
段 2（無限な像）．$\mathbf Z_\ell^*$ の捩れ部分群は有限なので、無限部分群 $\Lambda_1$ は捩れでない元 $\lambda$ を含む。すべての $i\ge1$ で $\lambda^i\ne1$ だから $\alpha(i)<\infty$。上の定理から 3 を得る。この段は引用する事実 1 の捩れ部分群の有限性だけを使い、$\Lambda_1$ が閉であることを使わない。
段 3（大きな $i$）．$\lambda\in\mathbf Z_\ell^*$ を任意にとる。$\ell$ が奇数なら $\lambda^{\ell-1}\in1+\ell\mathbf Z_\ell$（$\mu_{\ell-1}$ 成分が消える）で、引用する事実 2 により $v_\ell(\lambda^{(\ell-1)\ell^m}-1)=v_\ell(\lambda^{\ell-1}-1)+m\ge m+1$。$\ell=2$ なら $\lambda^2\in1+8\mathbf Z_2$ で、$m\ge1$ のとき $v_2(\lambda^{2^m}-1)=v_2(\lambda^2-1)+m-1\ge m+2$、$m=0$ のとき $\lambda-1$ は偶数。$i$ が $N:=(\ell-1)\ell^m$ の倍数なら $\lambda^i-1$ は $\lambda^N-1$ で割り切れるので、$v_\ell(\lambda^i-1)\ge m+1$。$\lambda$ は任意なので $\alpha(i)\ge m+1$ で、4 を得る。
段 4（$\bmod\ell$ の像）．$\ell$ を奇数とし、$\bar\Lambda_1$ を $\Lambda_1$ の $(\mathbf Z/\ell)^*$ での像とする。$(\mathbf Z/\ell)^*$ は位数 $\ell-1$ の巡回群なので、$\bar\Lambda_1$ は位数 $\delta\mid\ell-1$ の巡回群である。$\alpha(i)=0$ は、ある $\lambda\in\Lambda_1$ で $\lambda^i\not\equiv1\pmod\ell$、すなわち $\bar\Lambda_1$ のある元 $\bar\lambda$ で $\bar\lambda^i\ne1$ となることと同値で、巡回群 $\bar\Lambda_1$ ではこれは $\delta\nmid i$ と同値である。$\alpha(i)=0$ なら上の定理の 2 は $c_i(E)(\ell)=0$ を言う。
段 5（実数体）．$\operatorname{Aut}(\mathbf C/\mathbf R)=\{1,\sigma\}$（$\sigma$ は複素共役）で、$\sigma(\zeta)=\zeta^{-1}$ なので $\chi(\sigma)=-1$、$\Lambda_1=\{\pm1\}$、$d=2$。実表現 $E_0$ の複素化 $E=E_0\otimes_{\mathbf R}\mathbf C$ は ${}^\sigma\!E\cong E$ を満たす（$E_0\otimes\mathbf C\otimes_{\mathbf C,\sigma}\mathbf C\cong E_0\otimes\mathbf C$）ので、類は不変である。$i$ が奇数なら $\alpha(i)=v_\ell((-1)^i-1)=v_\ell(-2)$ で、$\ell\ne2$ なら $0$、$\ell=2$ なら $1$。上の定理から 6 を得る。
原論文は (4.11) で「$d\mid\#\Lambda_1$」とだけ書くが、段 1 のとおり $d$ は位数そのものである。6 の位相的な類似、すなわち任意の空間上の実ベクトル束の複素化 $E$ について $E\cong\bar E$ と $c_i(\bar E)=(-1)^ic_i(E)$ から奇数次の整係数 Chern 類が $2$ で消えることは、原論文も言うとおり位相では古くから知られている（本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』）。上界の粗さが次の問題になる。
第一 Chern 類での最良性
上界が最良かどうかを調べるには、位数を正確に計算できる類が要る。第一 Chern 類は射影束公式を使わずに Kummer 列の余境界として定まるので、1 次元表現では位数が群のコホモロジーの長完全列だけで決まる。
$k$ を分離閉体、$\ell\ne\operatorname{char}k$、$\psi\colon G\to k^*$ を準同型、$E_\psi$ を対応する 1 次元表現とする。
- 符号 $\pm$（$G$ 線形化の約束だけで決まり、$\psi$ に依らない）があって、$c_1^{(\ell^\nu)}(E_\psi)=\pm\,\partial(\psi)\in H^2(G,\mu_{\ell^\nu}(k))$ である。ここで $\partial$ は Kummer 列 $1\to\mu_{\ell^\nu}(k)\to k^*\xrightarrow{x\mapsto x^{\ell^\nu}}k^*\to1$ の余境界で、$c_1^{(\ell^\nu)}(E_\psi)=0$ は $\psi$ がある準同型 $G\to k^*$ の $\ell^\nu$ 乗であることと同値である。
- $G=\mathbf Z/\ell^a$（$a\ge0$）で $\psi(1)=\zeta$ が 1 の原始 $\ell^a$ 乗根なら、$c_1(E_\psi)(\ell)$ の位数はちょうど $\ell^a$ である。
- $G=\mu_{\ell^\infty}(k)$（1 の $\ell$ 冪乗根全体の群）で $\psi$ が包含なら、$c_1^{(\ell^\nu)}(E_\psi)$ の位数はちょうど $\ell^\nu$ で、$c_1(E_\psi)(\ell)$ は捩れ元でない。
段 1（混合コホモロジーは群のコホモロジー）．$k$ が分離閉なので、エタール $k$ 代数は $k$ の有限個の直積で、$\operatorname{Spec}k$ のエタール被覆はすべて分裂する。よってエタール層は大域切断で決まり、$(\operatorname{Spec}k,G)$ 上の可換群の層は $G$ 加群、大域切断の $G$ 不変部分をとる関手は $M\mapsto M^G$ になるので、その導来関手である混合コホモロジーは定義から群のコホモロジーである。ここまでは定義と、分離閉体の有限次分離拡大が自明であることだけを使う（本書『4-1 Galois 不変性と円分指標』の定理「分離閉体の上の作用つきベクトル束は群の表現」の 1 と同じ内容を、ここで要る範囲で直接確かめた）。$\mathbf G_m$ は $G$ が自明に作用する $k^*$ に、$\mu_{\ell^\nu}$ は $\mu_{\ell^\nu}(k)$ になる。
段 2（類の表示）．階数 1 の Chern 類は射影束公式を使わず $c_1=\partial\,cl$ で定まる（本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』の主結果「逆像との両立と正規化」の後半。定義そのもの）。$E_\psi$ の $G$ 線形化は各 $g$ に $\psi(g)$ 倍を対応させる。$cl(E_\psi)$ は $k^*$ トルソー $\operatorname{Isom}(k,E_\psi)$（$E_\psi$ の基底の集合）に $G$ が作用したものの類で、基底 $v$ を一つ選ぶと $g\mapsto(gv)/v=\psi(g)^{\pm1}$ がその 1 コサイクルである。$G$ は $k^*$ に自明に作用するので $H^1(G,k^*)=\operatorname{Hom}(G,k^*)$ で、$cl(E_\psi)=\psi^{\pm1}$ である（符号は線形化の向きの約束）。$k$ は分離閉で $\ell\ne\operatorname{char}k$ なので、$x^{\ell^\nu}-b$（$b\ne0$）は分離的で根をもち、Kummer 列は $G$ 加群の完全列である。その長完全列の一部
$$\operatorname{Hom}(G,k^*)\xrightarrow{\ \psi\mapsto\psi^{\ell^\nu}\ }\operatorname{Hom}(G,k^*)\xrightarrow{\ \partial\ }H^2(G,\mu_{\ell^\nu}(k))$$
から 1 を得る。
段 3（巡回群）．$G=\mathbf Z/\ell^a$ なら $\operatorname{Hom}(G,k^*)=\mu_{\ell^a}(k)$（$\psi\mapsto\psi(1)$）は位数 $\ell^a$ の巡回群で、$\nu\ge a$ ならその $\ell^\nu$ 乗は自明である。1 により、$\nu\ge a$ で $\partial$ は $\operatorname{Hom}(G,k^*)$ 上で単射で、$m\,c_1^{(\ell^\nu)}(E_\psi)=\pm\partial(\psi^m)$ は $\ell^a\mid m$ のときに限り $0$ である。よって $\ell^ac_1(E_\psi)(\ell)=0$（$\nu< a$ の成分も $\ell^a$ で消える。$H^2(G,\mu_{\ell^\nu})$ は $\ell^\nu$ で消えるので）、そして $\ell^{a-1}c_1(E_\psi)(\ell)$ は $\nu=a$ の成分が $0$ でない。2 を得る。
段 4（1 の $\ell$ 冪乗根全体の群）．$G=\mu_{\ell^\infty}(k)$ なら、$\operatorname{Hom}(G,k^*)=\operatorname{End}(\mu_{\ell^\infty}(k))\cong\mathbf Z_\ell$ で、包含 $\psi$ は $1$ に対応し、$\ell^\nu$ 乗の像は $\ell^\nu\mathbf Z_\ell$ である。1 により $c_1^{(\ell^\nu)}(E_\psi)$ の位数は $\mathbf Z_\ell/\ell^\nu$ での $1$ の位数 $\ell^\nu$ である。$\ell^sc_1(E_\psi)(\ell)=0$ となる $s$ があれば $\nu>s$ の成分が $\ell^s$ で消えることになり、矛盾する。
3 は本書『4-3 総括定理と複素表現の有理 Chern 類』で、群の有限生成性が外せないことの証明に使う。2 から最良性が直ちに出る。
$k$ を分離閉体、$\ell\ne\operatorname{char}k$、$k_0\subset k$ を任意の部分体（標準仮定 (K) を仮定しない）とし、$a:=\alpha(1)<\infty$ とする。$G=\mathbf Z/\ell^a$、$\zeta$ を 1 の原始 $\ell^a$ 乗根、$E=E_\psi$（$\psi(1)=\zeta$）とすると、すべての $\sigma\in\Gamma$ で ${}^\sigma\!E\cong E$ であり、$c_1(E)(\ell)$ の位数はちょうど $\ell^a$ である。とくに、上の定理（捩れ性と位数の上界）の $i=1$ の上界 $\ell^{\alpha(1)}$ は、$k_0$ と $\ell$ を固定して $G$（有限巡回群に限ってよい）と $E$ を動かすとき、最良である。
段 1（$\Gamma$ は $\mu_{\ell^a}$ を固定する）．$\alpha(1)=a$ なので、すべての $\sigma\in\Gamma$ で $v_\ell(\chi(\sigma)-1)\ge a$、すなわち $\chi(\sigma)\equiv1\pmod{\ell^a}$ で、$\sigma(\zeta)=\zeta^{\chi(\sigma)}=\zeta$ である。
段 2（不変性）．${}^\sigma\!E=E\otimes_{k,\sigma}k$ は、基底ベクトルを保つ同一視のもとで、$E$ の行列の成分に $\sigma$ を当てた表現である。1 次元では ${}^\sigma\!E_\psi=E_{\sigma\circ\psi}$ で、段 1 により $\sigma\circ\psi=\psi$。よって ${}^\sigma\!E\cong E$ で、とくに $R_k(G)$ での類も不変である。
段 3（位数）．上の補題（1 次元表現の第一 Chern 類の位数）の 2 により、$c_1(E)(\ell)$ の位数は $\ell^a$ である。$a=0$ なら $G$ は単位群で、上界は $c_1=0$ を言い、それで最良である。上の定理により、類が不変なすべての $E$ で $\ell^ac_1(E)(\ell)=0$ が成り立つ。一方、ここで作った $E$ の $c_1(E)(\ell)$ は $\ell^{a-1}$ では消えないので（$a\ge1$ のとき）、$\ell^a$ より小さい上界は成り立たない。
段 1〜3 は $\Gamma$ が大きいことも、自己同型の延長も使わない。したがって原論文の第一 Chern 類の主張は、$\alpha(1)<\infty$ となるどの基礎体の上でも成り立たない（$\alpha(1)=+\infty$ なら上界は何も言わず、最良かどうかは問題にならない）。
原論文の小節 4.6（印字 pp. 259–260）は、上界 (4.10) は $k_0,i,\ell$ を固定しても一般に最良でなく、$i=1$ ですでにそうだと述べる。例として $k_0=\mathbf Q(\mu_\ell)$ をとり、まず $G$ を有限生成と仮定して、$E$ の類が $k_0$ 上有理なら $\det E$ の像 $M\subset k_0^*$ は有限型で、その捩れ部分群は $k_0$ の 1 の冪根の群に含まれ、その群は Gauss により位数 $\ell-1$ で $\ell$ と素だから、$M\to k^*$ は $\ell^\nu$ 乗の写像を通して持ち上がり $c_1(E)=0$ となる、と論じる。そして極限の議論で任意の $G$ に広げる。この主張は偽である。
反例（1 の $\ell$ 乗根を含む体の上の位数 $\ell$ の巡回群の指標）：$\ell$ を奇数、$k=\bar{\mathbf Q}$（または $\mathbf C$）、$k_0=\mathbf Q(\mu_\ell)$、$G=\mathbf Z/\ell$、$E=E_\psi$（$\psi(1)=\zeta_\ell\in k_0$）とする。$E$ は $k_0$ 上定義されるので原論文の仮定を満たすが、上の補題の 2 により $c_1(E)(\ell)$ の位数は $\ell$ で、$0$ でない。$\ell=2$ でも、$k_0=\mathbf Q(\mu_2)=\mathbf Q$、$G=\mathbf Z/2$、符号指標で $c_1(E)(2)$ の位数は $2$ である。
誤りの所在：$k_0=\mathbf Q(\mu_\ell)$ の 1 の冪根の群は $\zeta_\ell$ を含むので位数が $\ell$ で割り切れる（$\ell$ 奇なら $-1$ も含み、位数は $2\ell$ である）。$\ell-1$ は拡大次数 $[\mathbf Q(\mu_\ell):\mathbf Q]$ である。捩れ部分群が $\ell$ と素でないので、$M\to k^*$ は $\ell^\nu$ 乗を通して持ち上がらない。原論文が同じ段で計算する $\Lambda_1=1+\ell\mathbf Z_\ell$、$\alpha(1)=1$（$\ell$ 奇）は正しく、(4.10) の $\ell c_1(E)=0$ は上の定理のとおりちょうど最良である。
原論文が求めた性格の制限、すなわち $G$ を有限巡回群に、$E$ を $k_0$ 上定義可能なものに限っても、結論は変わらない。後者には (K) が要る。
標準仮定 (K) の下では、上の定理の $E$ は $k_0$ 上定義されるものに取れる。$\zeta$ は $k_0$ の $k$ の中の分離閉包 $k_0^{\mathrm s}$ に入り、段 1 により $\Gamma$ で固定される。引用する事実 3 (c) により制限 $\Gamma\to\operatorname{Gal}(k_0^{\mathrm s}/k_0)$ は全射なので、$\zeta$ は $\operatorname{Gal}(k_0^{\mathrm s}/k_0)$ で固定され、$\zeta\in k_0$。よって $E_\psi$ は $k_0$ 上の表現 $\mathbf Z/\ell^a\to k_0^*$ から来る。この段は (K) と自己同型の延長を引くので条件付きである。
原論文は小節 4.6 の末（印字 p. 260）で、$k_0,\ell,i$ を与えたとき、$G$ と $E$ を動かして（$G$ が有限、有限巡回、$E$ が $k_0$ 上定義可能などの制限をつけてもよい）$c_i(E)(\ell)$ の位数の最良の上界を決めよ、と問う。原論文の状態は問いである。$i=1$ については上の定理が答え、最良の上界は $\ell^{\alpha(1)}$ そのものである。$i\ge2$ については、本書は最良かどうかを判定していない。1 次元表現では $c_i=0$（$i\ge2$）なので、上の定理の方法は $i\ge2$ に直接は延びない。
最良性の問いが $\Lambda_1$ だけに依ることは主結果 1 から分かっていた。最後に、その $\Lambda_1$ を体の言葉で求める。
極大 ℓ 円分部分体
組 $k_0\subset k$ が標準仮定 (K) を満たすとし、$P$、$Z$、$Z_0$、$\Pi$ を上の定義（極大 ℓ 円分部分体）のとおりとする。
- $\Pi$ は $\mathbf Z_\ell^*$ の開部分群であり、$P=\mathbf Q$ なら $\Pi=\mathbf Z_\ell^*$ である。
- $\Lambda_1=\operatorname{Gal}(Z/Z_0)$（$\Pi$ の部分群として。原論文 (4.17)）。とくに $\Lambda_1$、したがって $\alpha(i)$ は $Z_0$ だけで決まる。
- $\Pi/\Lambda_1\cong\operatorname{Gal}(Z_0/P)$（原論文 (4.18)）。$\Lambda_1$ が $\mathbf Z_\ell^*$ で有限指数であることと、$Z_0$ が $P$ の有限次拡大であることは同値である。
段 1（$\Pi$）．$Z/P$ は 1 の $\ell$ 冪乗根で生成されるので Galois 拡大で、上の定義のとおり $\operatorname{Gal}(Z/P)\to\mathbf Z_\ell^*$ は単射である。$\operatorname{Gal}(Z/P)$ はコンパクトで、この写像は連続なので $\Pi$ は閉部分群である。$P=\mathbf Q$ なら $Z=\mathbf Q(\mu_{\ell^\infty})$ で、引用する事実 3 (a) により $\Pi=\mathbf Z_\ell^*$。$P=\mathbf F_p$ なら $x\mapsto x^p$ が $\operatorname{Gal}(Z/\mathbf F_p)$ の元を与え、その像は $p\in\mathbf Z_\ell^*$ である。$p>1$ の冪は $1$ にならないので $\Pi$ は無限な閉部分群で、引用する事実 1 により開である。
段 2（自然な無理性）．$k_0^{\mathrm s}$ を $k_0$ の $k$ の中の分離閉包とする。$Z\subset k_0^{\mathrm s}$ で（1 の $\ell$ 冪乗根は分離的）、$k_0Z/k_0$ は Galois 拡大である。引用する事実 3 (b) により、制限は同型 $\operatorname{Gal}(k_0Z/k_0)\cong\operatorname{Gal}(Z/Z\cap k_0)=\operatorname{Gal}(Z/Z_0)$ を与える。
段 3（$\Gamma$ からの全射）．(K) の下で、引用する事実 3 (c) により $\Gamma\to\operatorname{Gal}(k_0^{\mathrm s}/k_0)$ は全射で、Galois 理論により $\operatorname{Gal}(k_0^{\mathrm s}/k_0)\to\operatorname{Gal}(k_0Z/k_0)$ も全射である。$\chi(\sigma)$ は $\sigma$ の $Z$ への制限だけで決まるので、$\chi$ は $\Gamma\to\operatorname{Gal}(k_0Z/k_0)\cong\operatorname{Gal}(Z/Z_0)\hookrightarrow\Pi\subset\mathbf Z_\ell^*$ の合成で、像は $\operatorname{Gal}(Z/Z_0)$ 全体である。2 を得る。
段 4（商）．$\Pi$ は可換なので $\operatorname{Gal}(Z/Z_0)$ は正規部分群で、Galois 対応により $\Pi/\operatorname{Gal}(Z/Z_0)\cong\operatorname{Gal}(Z_0/P)$。段 1 により $\Pi$ は $\mathbf Z_\ell^*$ で有限指数なので、$\Lambda_1$ が $\mathbf Z_\ell^*$ で有限指数であることは $\Pi$ で有限指数であること、すなわち $\operatorname{Gal}(Z_0/P)$ が有限であることと同値である。3 を得る。
段 3 だけが (K) を使う。原論文は小節 4.7 で、$k$ を一般の分離閉体としたまま「同型の延長の定理により」制限が全射だと書く（印字 p. 261）。(K) の外では、この段が何を与えるかが分からない。
$k$ が標数 $p>0$ の分離閉体で、$k_0$ の分離閉包でも代数閉でもないとする。このとき制限 $\Gamma\to\operatorname{Gal}(k_0^{\mathrm s}/k_0)$ は全射とは限らない（本書『4-1 Galois 不変性と円分指標』の注意「標準仮定 (K) は代数性に弱められない」）。それでも $\chi(\Gamma)\subset\operatorname{Gal}(Z/Z_0)$ は常に成り立ち、上の定理（捩れ性と位数の上界）と上の定理（第一 Chern 類では上界は常に達成される）は $\Lambda_1=\chi(\Gamma)$ のまま成り立つ。しかし、原論文の等号 $\Lambda_1=\operatorname{Gal}(Z/Z_0)$ と、$\Lambda_1$ が閉であることは、本書では示せていない。その注意の例は分離閉包全体への全射性が崩れることを示すだけで、$Z$ の上の全射性が崩れるかどうかは判定していない。［未完結］表現が $k_0$ 上定義される場合は、$k$ の代数閉包 $K$ に移れば $\mu_{\ell^\nu}(k)=\mu_{\ell^\nu}(K)$ で類は変わらず、$K$ は (K) を満たすので、この留保は本書『4-3 総括定理と複素表現の有理 Chern 類』の有限生成群の主結果には及ばない。
例と反例
上界を具体的な基礎体で計算し、第一 Chern 類でそれが達成される様子と、像が小さいと上界が消える様子を見る。
$k_0=\mathbf F_q$、$k=\bar{\mathbf F}_q$、$\ell\nmid q$ とする。$\Gamma=\operatorname{Gal}(k/k_0)$ は $x\mapsto x^q$ で位相的に生成され、$\chi$ の像 $\Lambda_1$ は $q$ で位相的に生成される閉部分群である（本書『0-3 エタールコホモロジーと Galois コホモロジー』の定義「円分指標」の (1)）。$q^n$（$n\ge1$）について $q^{ni}-1$ は $q^i-1$ で割り切れるので $v_\ell(q^{ni}-1)\ge v_\ell(q^i-1)$ で、$v_\ell$ は $\mathbf Z_\ell^*$ の上の極限でもこの下界を保つ（$\{\lambda:v_\ell(\lambda^i-1)\ge a\}$ は閉）。よって
$$\alpha(i)=v_\ell(q^i-1).$$
$\mathbf F_q$ 上定義される $G$ の表現 $E$ について $\ell^{v_\ell(q^i-1)}c_i(E)(\ell)=0$ である。$i=1$ では $a=v_\ell(q-1)$ で、$\mu_{\ell^a}\subset\mathbf F_q^*$ だから、上の定理の $E_\psi$（$G=\mathbf Z/\ell^a$）は $\mathbf F_q$ 上定義され、上界をちょうど達成する。たとえば $q=7$、$\ell=3$ なら $\alpha(1)=1$、$\alpha(2)=v_3(48)=1$、$\alpha(3)=v_3(342)=2$ である。
$k_0=\mathbf Q$、$k=\mathbf C$（または $\bar{\mathbf Q}$）とする。上の定理（極大 ℓ 円分部分体への還元）により $\Lambda_1=\mathbf Z_\ell^*$ である。$\ell$ が奇数なら、$\lambda=\omega u$（$\omega\in\mu_{\ell-1}$、$u\in1+\ell\mathbf Z_\ell$）と書くと $\lambda^i\equiv\omega^i\pmod\ell$ で、$(\ell-1)\nmid i$ なら $\omega$ を生成元にとって $\alpha(i)=0$、$(\ell-1)\mid i$ なら $\lambda^i=u^i$ で引用する事実 2 により $v_\ell(u^i-1)=v_\ell(u-1)+v_\ell(i)$、最小値は $v_\ell(u-1)=1$ でとられるので
$$\alpha(i)=\begin{cases}0&(\ell-1)\nmid i\\1+v_\ell(i)&(\ell-1)\mid i\end{cases}\qquad(\ell\text{ 奇}).$$
$\ell=2$ なら、$i$ 奇数で $\lambda=-1$ をとって $\alpha(i)=1$、$i$ 偶数で $\alpha(i)=2+v_2(i)$（$\lambda=3$ で $v_2(3^i-1)=2+v_2(i)$、どの奇数 $\lambda$ でも $v_2(\lambda^i-1)\ge2+v_2(i)$）。とくに $i=1$ では $\ell$ 奇で $\alpha(1)=0$、$\ell=2$ で $\alpha(1)=1$ で、有理数体上定義される表現の第一 Chern 類は $\ell$ 奇で $0$、$\ell=2$ で $2$ で消える。$\det E$ の値が $\mathbf Q^*$ に入り、その捩れが $\pm1$ だけであることと整合する。上の定理の例は $\ell=2$ の符号指標である。
外す条件は、$\Lambda_i\ne\{1\}$（$\alpha(i)<\infty$）である。$k_0$ がすべての 1 の $\ell$ 冪乗根を含む（たとえば $k_0=\mathbf Q(\mu_{\ell^\infty})$）とすると $\Lambda_1=\{1\}$、$\alpha(i)=+\infty$ で、上の定理（捩れ性と位数の上界）は何も言わない。実際、$G=\mathbf Z/\ell^m$ と $\psi(1)=\zeta_{\ell^m}\in k_0$ の $E_\psi$ は $k_0$ 上定義され、上の補題の 2 により $c_1(E_\psi)(\ell)$ の位数は $\ell^m$ で、$m$ についての一様な上界は無い。$G=\mu_{\ell^\infty}(k)$ の包含 $\psi$ は $k_0$ 上定義され、補題の 3 により $c_1(E_\psi)(\ell)$ は捩れでもない。
その後の発展
以下は原論文の主張ではなく、後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書が文献を開いて確かめていないものはそう書く）。
- $\ell$ 進 Chern 類の一般化（Soulé Sou79、1979 年）：代数的 K 理論から $\ell$ 進エタールコホモロジーへの Chern 類が構成され、数体の整数環の K 群の研究に使われた、とされ、係数 $\mathbf Z_\ell(i)$ への Galois 作用が円分指標の $i$ 乗であることを使う点で本頁と同じ型の議論が現れる、とされる。本書は確かめていない。
- 最良の上界：上の注意（最良の上界の問い）のとおり、$i=1$ は本頁で決まる。$i\ge2$ については後代の研究があるとされるが、本書は文献を特定しておらず、結論を記さない。
- 上の例（有理数体の上の上界）の $\prod_\ell\ell^{\alpha(i)}$ は、$i$ 偶数で $2\cdot\prod_{(\ell-1)\mid i}\ell^{1+v_\ell(i)}$（$\ell$ はすべての素数をわたる）で、$i=2$ なら $24$ である。これは Bernoulli 数 $B_i$ を $i$ で割った数の分母の $2$ 倍と同じ形をしている、とされる。本書はこの一致とその意味を確かめていない。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Classes de Chern et représentations linéaires des groupes discrets Gro68d の小節 0.5 と 4.3 末〜4.7 である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 定義（円分指標の像と位数の指数） | (4.4)〜(4.7)、(4.9) | 257–258 |
| 定義（極大 ℓ 円分部分体） | (4.15)(4.16) | 260–261 |
| 定義（標準仮定 (K)） | 原論文になし（本書の仮定） | — |
| 定理（捩れ性と位数の上界） | (4.8)〜(4.10)、小節 0.5 | 257–258、220–221 |
| 引用する事実 1・2 | 小節 4.4 | 258 |
| 定理（上界の性質） | 小節 4.5〜4.6、(4.11)〜(4.14) | 258–259 |
| 補題（1 次元表現の第一 Chern 類の位数） | 原論文になし（本書が足した計算） | — |
| 定理（第一 Chern 類では上界は常に達成される）、注意（原論文の 4.6 の例は誤り）、注意（原論文の制限の下での最良性） | 小節 4.6 の $i=1$ の主張 | 259–260 |
| 注意（最良の上界の問い） | 小節 4.6 末 | 260 |
| 定理（極大 ℓ 円分部分体への還元）、注意（標準仮定 (K) を外した標数 p の分離閉体の場合） | 小節 4.7、(4.17)(4.18) | 260–262 |
| 例（有限体の上の上界）、例（有理数体の上の上界）、例（反例：円分指標の像が自明なら上界は無い） | 原論文になし（本書が足した例） | — |
参考文献
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