6-4 コホモロジー次元による消滅

混合 Chern 類は群のコホモロジーと基礎のコホモロジーの両方に次数をもつ類なので、二つのコホモロジー次元の和を次数が超えると消える。本頁は原論文の小節 5.2 と 5.4 に沿ってこの消滅と、有理係数の次元による捩れ性を示し、そこから表現の定義体の超越次数の下界と、有限生成アーベル群の表現の類の消滅を導く。有理係数の次元が群の拡大と有限指数の部分群で変わらないこともここで証明する。

この頁で示すこと

$(X,G)$ は作用群つきスキーム（$G$ は離散群）、$\ell$ は $X$ の上で可逆な素数、$\mathbb E$ は $(X,G)$ 上の作用つき局所自由加群、$c_i(\mathbb E)(\ell)\in H^{2i}(X,G;T_\ell^{\otimes i})$ はその ℓ 進混合 Chern 類である。$\operatorname{cd}_\ell$ は ℓ コホモロジー次元、$\operatorname{cd}_{\mathbf Q}(G)$ は有理係数の次元、$\operatorname{cd}_{\mathbf Q_\ell}(X)$ は ℓ の冪の捩れを無視した次元である（定義は下）。$P$ は素体、$\operatorname{deg.tr}$ は超越次数を表す。
本頁の主結果は次の七つである。

1. 混合コホモロジーの次元の評価と消滅（原論文 (5.9)(5.10)、印字 pp. 273–274）：$\operatorname{cd}_\ell(X,G)\le\operatorname{cd}_\ell(X)+\operatorname{cd}_\ell(G)$ であり、$2i>\operatorname{cd}_\ell(X)+\operatorname{cd}_\ell(G)$ なら $c_i(\mathbb E)(\ell)=0$ である。$G=\mathbf Z^r$ なら $2i>\operatorname{cd}_\ell(X)+r$ で $0$ である。［条件付き：本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の混合コホモロジーのスペクトル系列による］
2. 有理係数の次元による捩れ性（原論文 (5.11)、印字 p. 274）：$G$ が $X$ に自明に作用し、$H_j(G,\mathbf Z)$（$j\le2i$）が有限生成なら、$2i>\operatorname{cd}_{\mathbf Q_\ell}(X)+\operatorname{cd}_{\mathbf Q}(G)$ のとき $c_i(\mathbb E)(\ell)$ は捩れであり、$\nu$ によらない一つの整数で消える。［条件付き：本書『6-1 作用が自明なときの Künneth 公式と普遍係数』の普遍係数型の完全列による］
3. 有理係数のコホモロジー次元の安定性（原論文 小節 5.2 の注意、印字 pp. 274–275）：群の拡大 $1\to N\to G\to Q\to1$ について $\operatorname{cd}_{\mathbf Q}(G)\le\operatorname{cd}_{\mathbf Q}(N)+\operatorname{cd}_{\mathbf Q}(Q)$、有限指数の部分群 $H$ について $\operatorname{cd}_{\mathbf Q}(H)=\operatorname{cd}_{\mathbf Q}(G)$ である。有限群では $\operatorname{cd}_{\mathbf Q}=0$ だが、位数を割る $\ell$ について $\operatorname{cd}_\ell=+\infty$ である。［条件付き：Hochschild–Serre のスペクトル系列を引用］
4. 素体上有限型の体のコホモロジー次元と ℓ=2 の置き換え（原論文 (5.12)(5.13)、印字 p. 275）：素体 $P$ 上有限生成の体 $k$ について、標数 $p>0$ なら $\operatorname{cd}_\ell(k)=1+\operatorname{deg.tr}k/P$、標数 $0$ で $\ell$ が奇数なら $\operatorname{cd}_\ell(k)=2+\operatorname{deg.tr}k/P$ で、$\ell=2$ でも $\sqrt{-1}\in k$ なら同じ等号が成り立つ。標数 $0$、$\ell=2$ では $\operatorname{cd}_2(k)$ は無限でありうるが、つねに $\operatorname{cd}_{\mathbf Q_2}(\operatorname{Spec}k)\le2+\operatorname{deg.tr}k/P$ である。［条件付き：体のコホモロジー次元の公式を引用］
5. 定義体の超越次数の下界（原論文 (5.14)、印字 pp. 275–276）：$H_j(G,\mathbf Z)$（$j\le2i$）が有限生成で、体 $K$ の上の $G$ の表現 $E$ が部分体 $k$ の上で定義されるとき、$c_i(E)(\ell)$ が捩れでなければ $\operatorname{deg.tr}k/P\ge2i-1-\varepsilon-\operatorname{cd}_{\mathbf Q}(G)$ である（$\varepsilon$ は標数 $0$ で $1$、正標数で $0$）。［条件付き：2・4 と Serre の不等式による］
6. トレース論法（原論文 小節 5.4、印字 pp. 279–280）：$G$ が体のスペクトルに自明に作用するとき、有限次拡大 $k'/k$ について、制限 $H^*(k,G;F)\to H^*(k',G;F)$ の核は $[k':k]$ 倍で消える。したがって体の上の表現の ℓ 進 Chern 類が捩れであるかどうかは、有限次拡大に移しても変わらない。［条件付き：有限エタール射の跡と、純非分離拡大でのコホモロジーの不変性を引用］
7. 有限生成アーベル群の表現の類の消滅（原論文 (5.20)、印字 pp. 279–280）：$G$ を階数 $n$ の有限生成アーベル群、$E$ を体 $k$ の上の表現とすると、$i>n$ で $c_i(E)(\ell)$ は捩れである。$G$ が捩れをもたず、$E$ が $k$ の上で階数 1 の商をもつ $G$ 安定なフィルトレーションをもてば、$i>n$ で $c_i(E)(\ell)=0$ である。［条件付き：6 と Künneth 公式（本書 6-1）による］
   主結果 1・2 はスペクトル系列と普遍係数の完全列の各項を次数で数えるだけで閉じ、主結果 3 は群のコホモロジーの一般論で閉じる。主結果 4 は体のコホモロジー次元の公式を引き、$\ell=2$ の置き換えだけを証明する。主結果 5・7 はそれらを組み合わせる。

背景と動機

原論文の §5 は、基礎体が分離閉でない算術的な場合の混合 Chern 類を調べる。小節 5.1 で混合コホモロジーを Künneth 公式と普遍係数の完全列で計算する道具を揃え（本書『6-1 作用が自明なときの Künneth 公式と普遍係数』）、小節 5.2 はその最初の応用として、次数だけから Chern 類の消滅と捩れ性を引き出す。原論文はスペクトル系列から「ただちに」従うと書く（印字 p. 273）。
この議論には二種類の次元が現れる。一つは ℓ コホモロジー次元で、群 $G$ が位数 $\ell$ の元を一つでももてば無限大になるので、原論文自身が「まったく例外的にしか有限でない」と注意する。そこで原論文は、有理係数の次元 $\operatorname{cd}_{\mathbf Q}(G)$ と、基礎の側で ℓ の冪の捩れを無視した次元 $\operatorname{cd}_{\mathbf Q_\ell}(X)$ を導入し、両者の和で Chern 類の捩れ性を述べ直す。原論文は、実際に出会う重要な離散群は有理係数の次元が有限で、この有限性は群の拡大と有限指数の部分群への移行で保たれる、と注意する（印字 pp. 274–275）。前半は範囲の定まらない見立てで本書は判定しないが、後半は主結果 3 として証明する。
基礎体の側には、体のコホモロジー次元の公式（原論文は SGA4 を引く）があり、素体の上で有限型の体では超越次数で次元が決まる。これと組み合わせると、捩れでない Chern 類をもつ表現は超越次数の小さい体の上では定義できない、という結論が出る（(5.14)）。小節 5.4 は、本書『6-3 Kummer 類の積と捩れでない高次の類』の自由アーベル群 $\mathbf Z^n$ の例で、群をより階数の小さい群に替えられないことを (5.20) として示す。その証明の最後で使う「いつものトレース論法」（印字 p. 280）も本頁で書く。

定義と準備

原論文の次元は、群の次元と基礎の次元の二組がある。群の次元は本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』の定義「群のコホモロジー次元と有理係数の次元」で定めた。$\operatorname{cd}_\ell(G)$ は ℓ 準素な捩れ群である $G$ 加群のコホモロジーが消える次数の下限、$\operatorname{cd}_{\mathbf Q}(G)$ は $\mathbf Q[G]$ 加群のコホモロジーが消える次数の下限である。基礎の次元を作用群つきの場合も含めて定める。

原論文（印字 p. 274）と本書『0-3 エタールコホモロジーと Galois コホモロジー』の定理「有限性とコホモロジー次元の上界」の (3) は $\operatorname{cd}_{\mathbf Q_\ell}(X)$ を「ℓ 捩れのエタール層」（各切断が ℓ の冪で消える層と読む）すべてで定める。本頁は ℓ の冪で消える層に限って定めた。ℓ の冪で消える層は ℓ 捩れ層なので、層を限るほど条件は弱く、本頁の $\operatorname{cd}_{\mathbf Q_\ell}(X)$ は 0-3 の量以下で、二つの定義は矛盾しない。この量を仮定に使う主結果（有理係数の次元による捩れ性、定義体の超越次数の下界）は、そのぶん仮定が弱い。一方、この量の上界を結論とする主結果（素体上有限型の体のコホモロジー次元と ℓ=2 の置き換え）は、証明を ℓ 捩れ層すべてについて行うので、0-3 の量についても成り立つ。Chern 類の係数 $\mu_{\ell^\nu}^{\otimes i}$ は ℓ の冪で消えるので、これで足りる。
Chern 類の側では、ℓ 進 Chern 類 $c_i(\mathbb E)(\ell)=(c_i^{(\ell^\nu)}(\mathbb E))_\nu$ の各成分が $H^{2i}(X,G;\mu_{\ell^\nu}^{\otimes i})$ にあること（本書『2-4 係数の変更と ℓ 進 Chern 類』の定義「ℓ 進の係数と ℓ 進 Chern 類」）だけを使う。ℓ 進の類が捩れであるとは、ある整数 $N\ge1$ で $Nc_i(\mathbb E)(\ell)=0$ となること、すなわち $\mathbf Q_\ell$ 係数への像が $0$ であることをいう。

引用する事実

次の事実は証明せずに引用する。出典は主に SerGal64、SGA4、CE56、HS53 で、該当箇所の番号は本頁では確かめていない。要点は本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』『0-3 エタールコホモロジーと Galois コホモロジー』にある。

1. Hochschild–Serre のスペクトル系列（本書 0-2 の定理「合成関手のスペクトル系列と Hochschild–Serre のスペクトル系列」）：正規部分群 $N\subset G$ と $G$ 加群 $M$ について、収束する第一象限のスペクトル系列 $E_2^{a,b}=H^a(G/N,H^b(N,M))\Rightarrow H^{a+b}(G,M)$ がある。
2. 制限と転送（本書 0-2 の定理「制限と転送、Shapiro の補題」）：部分群の余誘導加群について Shapiro の補題が成り立ち、有限指数の部分群 $H$ と $\mathbf Q[G]$ 加群 $V$ について $\operatorname{res}\colon H^*(G,V)\to H^*(H,V)$ は単射である。有限群の正の次数のコホモロジーは位数倍で消える。
3. 体のコホモロジー次元（本書 0-3 の定理「体のコホモロジー次元」）：有限体の $\operatorname{cd}_\ell$ は $1$。Serre の不等式：任意の体の拡大 $k_2/k_1$ について $\operatorname{cd}_\ell(k_2)\le\operatorname{cd}_\ell(k_1)+\operatorname{deg.tr}k_2/k_1$ で、$k_2/k_1$ が有限生成かつ $\operatorname{cd}_\ell(k_1)<\infty$ なら等号が成り立つ。$\ell$ が奇数なら $\operatorname{cd}_\ell(\mathbf Q)=2$、$\mathbf R$ に埋め込める体の $\operatorname{cd}_2$ は $+\infty$、$\operatorname{cd}_2(\mathbf Q(\sqrt{-1}))=2$。
4. 体の Galois コホモロジー（本書 0-3 の定理「体のエタール景と Galois コホモロジー」）：純非分離な拡大 $k'/k$ について $\operatorname{Spec}k'\to\operatorname{Spec}k$ はエタールトポスの同値を与える。有限次分離拡大 $k'/k$ について $\operatorname{cor}\circ\operatorname{res}=[k':k]$ である。
5. 有限エタール射の跡（SGA4 XVII の型）：$\pi\colon Y\to X$ が次数 $d$ の有限エタール射なら、$\pi_*$ はエタール層の完全関手で、可換群の層 $F$ について自然な跡の射 $\operatorname{Tr}\colon\pi_*\pi^*F\to F$ があり、随伴の単位 $\eta\colon F\to\pi_*\pi^*F$ との合成 $\operatorname{Tr}\circ\eta$ は $d$ 倍である。
6. 普遍係数と有限生成アーベル群（本書 0-2 の定理「普遍係数定理」「巡回群と自由アーベル群のコホモロジー」）：$H^p(G,\mathbf Q)=\operatorname{Hom}(H_p(G,\mathbf Z),\mathbf Q)$。$H^*(\mathbf Z^r,\mathbf Z)=\bigwedge^*\operatorname{Hom}(\mathbf Z^r,\mathbf Z)$ は次数 $r$ を超えて消え、有限生成アーベル群 $G$ の $H^*(G,\mathbf Q)=\bigwedge^*\operatorname{Hom}(G,\mathbf Q)$ は $G$ の階数を超えて消える。有限生成アーベル群は型 FP 無限大で、$H_j(G,\mathbf Z)$ はすべて有限生成である。
7. 同時三角化（線形代数）：体の上の有限次元空間の可換な自己同型の有限族は、その固有値をすべて含む有限次拡大の上で同時に上三角化できる。
   本書の他の頁からは、混合コホモロジーのスペクトル系列と作用を忘れる関手の補題（本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』）、Chern 類の逆像との両立・加法性・作用群を忘れる写像との両立（本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』）、Künneth 公式・通常の類が $0$ なら混合類は正次数の成分に入ること・普遍係数型の完全列・有理化した Künneth 公式（本書『6-1 作用が自明なときの Künneth 公式と普遍係数』）を使う。

主結果と証明

最初の二つの主結果は、混合コホモロジーの次数を二つの次元で数える。前者は群の ℓ 次元を、後者は有理係数の次元を使う。

混合コホモロジーの次元

原論文は $G=\mathbf Z^r$ の場合を $\mathbf Z^r$ の分類空間がトーラスであることから読む。消滅は Chern 類の定義を使わず、係数の群そのものが消えることから出ている。この評価は $G$ が有限群を含むと役に立たない。位数 $\ell$ の元があれば $\operatorname{cd}_\ell(G)=+\infty$ だからである（下の定理（有理係数のコホモロジー次元の安定性）の 3）。そこで有理係数に移る。

有理係数の次元

原論文の書き方は、有理化した Künneth 公式 (5.7) を経由すると読める。上の証明は有限係数の段で一様な整数による零化を示すので、ℓ 進の整数形 (5.6) の一般の場合の問題（本書 6-1 で未完結とした主結果「ℓ 進の整数形の一般の場合」）には触れない。有理係数の次元がどの群で有限かを確かめるのに、次の安定性が役に立つ。

3 の後半は本書 0-2 が有限群について述べたことを、有限とは限らない群に広げたものである。したがって有限群を含む群の表現には上の定理（混合コホモロジーの次元の評価と消滅）が使えないが、有限指数の部分群が小さい分類空間をもてば、上の定理（有理係数の次元による捩れ性）が使える。原論文の「重要な離散群では有理係数の次元が有限」という見立てがどの範囲の群を指すかは、本書は判定しない（算術群については「その後の発展」に記す）。

体のコホモロジー次元と定義体

基礎が体のスペクトルのとき、$\operatorname{cd}_{\mathbf Q_\ell}$ は体の Galois コホモロジーの次元で上から抑えられる。素体の上で有限型の体については、次元が超越次数で決まる。

原論文の (5.13) は、標数 $0$、$\ell=2$ で等号が成り立つ条件を「$k$ の中の $P$ の代数閉包 $k_0$ が純虚である」（実の埋め込みをもたない）ことで述べ、そうでなければ $\operatorname{cd}_2(k)$ は無限でありうると書く（印字 p. 275）。上の定理の 2 の後半が等号を主張するのは $\sqrt{-1}\in k$ の場合（このとき $k_0\ni\sqrt{-1}$ は純虚）だけである。$k_0$ が純虚だが $\sqrt{-1}$ を含まない場合（たとえば $k_0=\mathbf Q(\sqrt{-2})$）の等号は、純虚な数体の $\operatorname{cd}_2$ が $2$ であるという、本書が引用する事実に含めていない結果に依るので、本書は主張しない。

体のコホモロジー次元は超越次数で増えるので、捩れでない Chern 類があれば、表現を定義する体の超越次数が下から抑えられる。

有限生成アーベル群の表現

本書『6-3 Kummer 類の積と捩れでない高次の類』は、階数 $n$ の自由アーベル群の表現で第 $n$ Chern 類が捩れでない例を作った。原論文の小節 5.4 は、群の階数をそれより小さくするとこれができないことを示す。その証明は、有限次拡大に移って表現を三角化し、トレース論法で戻る。

原論文はこの論法を「いつものトレース論法」と呼ぶだけで証明を書かない（印字 p. 280）。有限次拡大では捩れの有無しか戻らず、類が $0$ であることは戻らない。これが下の定理で、一般の場合の結論が「捩れ」にとどまる理由である。

本書 6-3 の定理「自由アーベル群の上の捩れでない高次の類」は、$G=\mathbf Z^n$、$i=n$ で $c_n$ が捩れでない例を与えるので、1 の限界 $i>n$ はこれ以上下げられない。原論文が小節 5.4 の冒頭で、5.3.2 の例の $\mathbf Z^n$ を階数の小さい群に替えられないと言うのは、この意味である。2 の結論は、$c_i(E)(\ell)\neq0$（$i>n$）なら $E$ は三角化できず、表現環でも階数 1 の類の和に書けない、という判定条件としても読める。原論文はこれを必要条件として述べるだけで、十分性には触れない。

例と反例

最初の例は、ℓ 次元が無限の群でも有理係数の次元で捩れが言えることを示す。

次の反例は、主結果 7 の 2 の「捩れをもたない」という仮定が外せないことを示す。同じ例は、主結果 1 で $\operatorname{cd}_\ell(G)$ の有限性が要ることも示している。

その後の発展

以下は原論文の主張ではなく、後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書が文献を開いて確かめていないものはそう書く）。

• 仮想コホモロジー次元：有限指数の捩れのない部分群をもつ群について、その部分群のコホモロジー次元は部分群の取り方によらない（Serre SerGD71、1971 年）。これを仮想コホモロジー次元といい、上の定理（有理係数のコホモロジー次元の安定性）により有理係数の次元以上である。算術群については Borel–Serre BorSer73（1973 年）が境界つきの商を作って仮想コホモロジー次元を計算した。本書は確かめていない。
• 体のコホモロジー次元：素体の上で有限生成の体の公式と Serre の不等式は、Serre の講義録 SerGal64 の第 II 章に体系的に書かれ、エタールコホモロジーの側では SGA4（1972–73 年）の第 X 講に整えられた。本書は該当箇所を確かめていない。
• 捩れでない類の存在範囲：上の定理（定義体の超越次数の下界）の下界がどこまで最良かは、原論文は問わない。本書 6-3 の例との差は定数 $2$ 程度で、最良性は本書では判定しない。

原論文との対応表

本頁が対応する原論文は Classes de Chern et représentations linéaires des groupes discrets Gro68d の小節 5.2 と 5.4 である。