5-1 有限体上の捩れと特殊化

段 1（同型）．$k$ は代数閉なので $\mu_{\ell^\nu}$ は $X$ 上で値 $\mu_{\ell^\nu}(k)$ の定数層であり、$G$ はそれに自明に作用する（$G$ は $k$ を動かさない）。$\zeta_\nu$ は $\mu_{\ell^\nu}(k)$ の生成元で、$\zeta_{\nu+1}^\ell=\zeta_\nu$ なので、遷移写像（成分ごとの $\ell$ 乗）は $\zeta_{\nu+1}^{\otimes i}$ を $\zeta_\nu^{\otimes i}$ に送る。これが 1 である。
段 2（Chern 類の固定）．$\sigma_X^*\mathbb E=\mathbb E$ は作用つきの同型なので、本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』の定理「逆像との両立と正規化」の 1・2 により、$\sigma_X^*c_i^{(\ell^\nu)}(\mathbb E)=c_i^{(\ell^\nu)}(\sigma_X^*\mathbb E)=c_i^{(\ell^\nu)}(\mathbb E)$ である。ここで左辺の $\sigma_X^*$ は、係数を標準同型 $\sigma_X^*\mu_{\ell^\nu}=\mu_{\ell^\nu}$ で戻した引き戻しである。
段 3（定数の上での Frobenius）．$\mu_{\ell^\nu}$ の切断は $u^{\ell^\nu}=1$ となる単元 $u$ で、標準同型 $\sigma_X^*\mu_{\ell^\nu}\to\mu_{\ell^\nu}$ は $u$ を $\sigma_X^\#(u)$ に送る。$\sigma_X^\#$ は $\mathcal O_{X_0}$ の上で恒等、$k$ の上で $\sigma$ なので、定数 $\zeta_\nu$ は $\zeta_\nu^q$ に移る。よって $x\in H^{2i}(X,G;\mathbf Z/\ell^\nu)$ について、$\sigma_X^*(x\otimes\zeta_\nu^{\otimes i})=\Phi(x)\otimes(\zeta_\nu^q)^{\otimes i}=q^i\,\Phi(x)\otimes\zeta_\nu^{\otimes i}$ である。
段 4（結論）．段 2・3 により $q^i\Phi(y_\nu)=y_\nu$ で、$q$ は $\mathbf Z/\ell^\nu$ で可逆なので $\Phi(y_\nu)=q^{-i}y_\nu$ である。

段 1（格子と特性多項式）．$\Phi$ は $H^t(X,\mathbf Z_\ell)$ の自己同型で、捩れ部分群 $T_t$ を保つので、有限生成自由 $\mathbf Z_\ell$ 加群 $H^t(X,\mathbf Z_\ell)/T_t$ に働く（引用する事実 1）。$H^t(X,\mathbf Q_\ell)=H^t(X,\mathbf Z_\ell)\otimes\mathbf Q_\ell$ なので $P_t$ はこの格子の上の特性多項式で、係数は $\mathbf Z_\ell$ にあり、Cayley–Hamilton の定理により $P_t(\Phi)$ は $H^t(X,\mathbf Z_\ell)/T_t$ を消す。よって $P_t(\Phi)H^t(X,\mathbf Z_\ell)\subset T_t$ で、$\ell^{a_t}P_t(\Phi)$ は $H^t(X,\mathbf Z_\ell)$ を消す。
段 2（有限係数）．引用する事実 1 の完全列 $0\to H^t(X,\mathbf Z_\ell)/\ell^\nu\to H^t(X,\mathbf Z/\ell^\nu)\to H^{t+1}(X,\mathbf Z_\ell)[\ell^\nu]\to0$ は $\sigma_X$ の引き戻しと両立する。右の項は $T_{t+1}$ に含まれるので $\ell^{a_{t+1}}$ で消える。$x\in H^t(X,\mathbf Z/\ell^\nu)$ について $\ell^{a_{t+1}}x$ は左の項に入り、段 1 によりそこで $\ell^{a_t}P_t(\Phi)$ が $0$ になる。$\Phi$ は $\ell$ 倍と可換なので $R_t(\Phi)x=\ell^{a_t}P_t(\Phi)\ell^{a_{t+1}}x=0$ である。これが 1 である。
段 3（固有値の比較）．引用する事実 2 により $\Phi=(\mathrm{Fr}^*)^{-1}$ なので、$P_t(\beta)=\prod_\alpha(\beta-\alpha^{-1})$ である。ここで $\alpha$ は $\mathrm{Fr}^*$ の $H^t(X,\mathbf Q_\ell)$ の上の固有値（重複を込めて）を $\bar{\mathbf Q}_\ell$ の中で走る。Weil 予想により $\alpha$ は代数的数で、そのすべての複素共役の絶対値は $q^{t/2}$ なので、$\alpha^{-1}$ のすべての複素共役の絶対値は $q^{-t/2}$ である。$\beta=q^{-i}$ は有理数で絶対値は $q^{-i}$ であり、$t<2i$ なので $q^{-t/2}\ne q^{-i}$。よって $\alpha^{-1}\ne\beta$ で、$P_t(\beta)\ne0$、したがって $R_t(\beta)\ne0$ である。$R_t$ は $X$ のコホモロジーだけで決まる。

$\nu\ge1$ を固定し、上の補題（Chern 類は Frobenius の固有ベクトル）の $y=y_\nu\in H^{2i}(X,G;\mathbf Z/\ell^\nu)$ を考える。
段 1（スペクトル系列）．引用する事実 6 のスペクトル系列 $E_2^{s,t}=H^s(G,H^t(X,\mathbf Z/\ell^\nu))\Rightarrow H^{s+t}(X,G;\mathbf Z/\ell^\nu)$ に、作用群つきスキームの自己同型 $(\sigma_X,\mathrm{id}_G)$ が働く。$G$ は定数層 $\mathbf Z/\ell^\nu$ に自明に作用し、$\sigma_X$ は $G$ と可換なので、$\Phi$ は $H^t(X,\mathbf Z/\ell^\nu)$ に $G$ 加群の自己準同型として働き、$E_2^{s,t}$ の上の作用はそれが係数を通して誘導するものである。
段 2（$E_2$ 項と $E_\infty$ 項の零化）．上の補題（Frobenius の零化多項式）の 1 により、$R_t(\Phi)$ は係数の $G$ 加群 $H^t(X,\mathbf Z/\ell^\nu)$ の零写像である。$H^s(G,-)$ は加法的関手なので、$E_2^{s,t}$ の上でも $R_t(\Phi)=H^s(G,R_t(\Phi))=0$ である。$E_\infty^{s,t}$ は $E_2^{s,t}$ の $\Phi$ で安定な部分の商なので、そこでも $R_t(\Phi)=0$ である。この段では $G$ の有限性も有限生成性も使っていない。
段 3（フィルトレーション）．$H^{2i}(X,G;\mathbf Z/\ell^\nu)=\mathcal F^0\supset\mathcal F^1\supset\cdots\supset\mathcal F^{2i+1}=0$ を収束先のフィルトレーション、$\mathcal F^s/\mathcal F^{s+1}=E_\infty^{s,2i-s}$ とする。$\Phi$ は各 $\mathcal F^s$ を保つ。$\mathcal F^0\to\mathcal F^0/\mathcal F^1\subset H^{2i}(X,\mathbf Z/\ell^\nu)$ は作用群を忘れる写像であり、本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』の定理「作用群を忘れる写像との両立」により $c_i^{(\ell^\nu)}(\mathbb E)$ を $c_i^{(\ell^\nu)}(\omega\mathbb E)$ に移す。仮定 (a) により $\ell^ec_i^{(\ell^\nu)}(\omega\mathbb E)=0$ なので、$z_1:=\ell^ey\in\mathcal F^1$ である。
段 4（段ごとに押し下げる）．$1\le s\le2i$ について、$z_s\in\mathcal F^s$ が $\Phi(z_s)=\beta z_s$ を満たすとする。段 2 により $R_{2i-s}(\Phi)$ は $\mathcal F^s/\mathcal F^{s+1}=E_\infty^{s,2i-s}$ を消すので $R_{2i-s}(\Phi)z_s\in\mathcal F^{s+1}$ である。$z_s$ は $\Phi$ の固有ベクトルなので $R_{2i-s}(\Phi)z_s=R_{2i-s}(\beta)z_s$ である。$z_{s+1}:=R_{2i-s}(\beta)z_s$ は $\mathcal F^{s+1}$ にあり、再び $\Phi(z_{s+1})=\beta z_{s+1}$ を満たす。上の補題（Chern 類は Frobenius の固有ベクトル）により $z_1$ は固有ベクトルなので、$s=1,\dots,2i$ と繰り返して
$$N\,y=z_{2i+1}\in\mathcal F^{2i+1}=0,\qquad N:=\ell^e\prod_{t=0}^{2i-1}R_t(\beta)\in\mathbf Z_\ell$$
を得る。$t<2i$ なので、仮定 (b) と上の補題（Frobenius の零化多項式）の 2 により $v_\ell(N)=M<\infty$ である。
段 5（ℓ 進類へ）．$N=\ell^Mu$、$u\in\mathbf Z_\ell^*$ と書くと、$u$ は $\mathbf Z/\ell^\nu$ 加群に可逆に働くので $\ell^My_\nu=0$ で、同型を戻して $\ell^Mc_i^{(\ell^\nu)}(\mathbb E)=0$ である。$M$ は $\nu$ によらないので $\ell^Mc_i(\mathbb E)(\ell)=0$ である。

$i=1$ では上の定理の仮定 (b) は $j=0,1$ についてだけ要る。$j=0$ は上の補題の後で見たとおり常に成り立ち、$j=1$ は本書『0-3 エタールコホモロジーと Galois コホモロジー』の定理「一次のコホモロジーでの Weil の定理」により成り立つ。$X$ が連結でなければ、$H^1(X,\mathbf Q_\ell)$ は連結成分ごとの直和で、$\mathrm{Fr}$ は成分を置換する。長さ $m$ の軌道の上の $\mathrm{Fr}$ の固有値は、その成分を保つ $\mathrm{Fr}^m$（有限体 $\mathbf F_{q^m}$ 上の成分の幾何的 Frobenius）の固有値の $m$ 乗根で、後者の絶対値は $(q^m)^{1/2}$ なので、前者は代数的数で絶対値は $q^{1/2}$ である。よって上の定理から従う。

段 1（降下）．生成元 $g_1,\dots,g_r$ をとる。引用する事実 4 により、$X$、$\mathbb E$ と $2r$ 個の作用つき自己同型 $g_m^{\pm1}$ は、$A_0$ を大きく取れば射影的・滑らか・局所自由を保って $A_0$ 上に降り、$g_mg_m^{-1}=\mathrm{id}$ も降下の上で成り立つ。
段 2（関係式）．階数 $r$ の自由群 $\Pi_r$ は降下した自己同型で $(X_0,\mathbb E_0)$ に作用する。$w\in\Pi_r$ が $G$ で $1$ になるとき、$w$ の作用は底変換すると恒等写像である。$X_0$ は整な $S_0$ 上平坦で $A_0\to k$ は単射なので、$\mathcal O_{X_0}\to\mathcal O_{X_0}\otimes_{A_0}k$ は単射で、$X\to X_0$ はスキーム的に稠密である。$X_0$ は分離的なので、$X$ の上で一致する二つの $S_0$ 射は一致する。$\mathbb E_0$ も平坦なので $\mathbb E_0\to\mathbb E_0\otimes k$ は単射である。よって $w$ は $(X_0,\mathbb E_0)$ に恒等的に働き、作用は $G$ を経由する。$G$ が有限表示でなくてもよい。

段 1（二つのファイバー）．$\bar s$ を $s$ の上の幾何的な点、$S'$ を $\bar s$ での狭義 Hensel 化、$X':=X_0\times_{S_0}S'$ とする。$S'\to S_0$ は平坦なので $S_0$ の生成点の上に $S'$ の点があり、その上の幾何的な点を $\bar\eta'$ とする。$X_{\bar s}\to X'\leftarrow X_{\bar\eta'}$ は $G$ と両立する。$\mu_{\ell^\nu}$ は $S'$ 上で定数なので、どちらの制限も係数 $\mu_{\ell^\nu}^{\otimes i}$ を係数 $\mu_{\ell^\nu}^{\otimes i}$ に移し、引用する事実 3 により通常のコホモロジーで同型である。
段 2（体の取り替え）．$k$ と $\kappa(\bar\eta')$ はともに $\operatorname{Frac}A_0$ の分離閉な拡大である。$k\otimes_{\operatorname{Frac}A_0}\kappa(\bar\eta')$ の極大イデアルでの剰余体の分離閉包を $\Omega$ とすると、$X\leftarrow X_\Omega\rightarrow X_{\bar\eta'}$ は $G$ と両立し、引用する事実 3 により通常のコホモロジーで同型である。
段 3（混合コホモロジーと類）．段 1・2 の四つの引き戻しは、引用する事実 6 によりスペクトル系列の射を与え、$E_2^{s,t}=H^s(G,H^t)$ で同型なので、混合コホモロジー $H^*(\cdot,G;\mu_{\ell^\nu}^{\otimes i})$ でも同型である。本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』の定理「逆像との両立と正規化」により、どの引き戻しも混合 Chern 類を混合 Chern 類に、通常の類を通常の類に移す。$\nu$ について極限をとれば、$\mathbf Z_\ell$ 加群の同型の列で $c_i(\mathbb E)(\ell)$ は $X_{\bar s}$ の上の $c_i(\mathbb E_{\bar s})(\ell)$ に、通常の類は通常の類に対応する。
段 4（有限体へ）．$k(s)$ は有限体で（引用する事実 5）、$\bar s$ の剰余体はその代数閉包、$X_{\bar s}=X_{0,s}\otimes_{k(s)}\overline{k(s)}$ で、$G$ は $(X_{0,s},\mathbb E_{0,s})$ に $k(s)$ 上の自己同型で作用する。段 3 により $X_{\bar s}$ の上の通常の類は捩れなので、上の定理（有限体上で Weil 予想の下に混合類は捩れ）により $c_i(\mathbb E_{\bar s})(\ell)$ は捩れであり、段 3 の同型で $X$ に戻る。

段 1（共通の開集合）．模型 0 で開集合 $U$ 上の閉点で条件が成り立つとし、模型 1 を $(A_1,X_1)$ とする。引用する事実 4 により、$A_0A_1$ を含む $\mathbf Z$ 上有限型の $A_3\subset k$ と $\operatorname{Spec}A_3$ の空でない開集合 $V$ があって、$X_0\times V\cong X_1\times V$ となる。$\operatorname{Spec}A_3\to S_0$ は支配的なので $U$ の逆像は空でなく、$W:=V\cap(U\text{ の逆像})\cap\operatorname{Spec}A_3[1/\ell]$ は空でない開集合である。その $S_1$ での像は構成可能で生成点を含むので、空でない開集合 $U_1\subset S_1[1/\ell]$ を含む（引用する事実 5）。
段 2（閉点での比較）．$t\in U_1$ を閉点とし、$W$ の $t$ 上のファイバーの閉点 $u$ をとる。$k(u)$ は $k(t)$ の有限次拡大なので有限体で、$u$ は閉点、その $S_0$ での像 $s$ は $U$ の閉点である（引用する事実 5）。$X_{1,t}\otimes_{k(t)}k(u)\cong X_{0,s}\otimes_{k(s)}k(u)$ である。
段 3（体の拡大と固有値）．有限体の $m$ 次拡大に移ると幾何的 Frobenius は $m$ 乗になり、固有値は $m$ 乗になる。$\alpha$ が代数的数ですべての複素共役の絶対値が $q^{j/2}$ なら、$\alpha^m$ は $q^{mj/2}$ である。逆に $\alpha^m$ が代数的数でそうなら、$\alpha$ は $x^m-\alpha^m$ の根なので代数的数で、その複素共役 $\iota(\alpha)$ は $\iota(\alpha)^m=\iota(\alpha^m)$ を満たし、絶対値は $q^{j/2}$ である。よって条件は拡大の前後で同値で、$s$ での条件から $u$ での、したがって $t$ での条件が従う。模型 1 は $U_1$ の上で条件を満たす。
段 4（体の拡大）．$k$ 上の模型は $X_{k'}$ の模型でもあるので、$k$ での条件から $k'$ での条件が従う。逆は、$k'$ での条件と段 1〜3 を $k'$ 上で使って、$k$ 上の模型も $k'$ 上で条件を満たすことから従う。

Borel 構成の特異ホモロジーは超ホモロジー $H_*(G;C_*(Y))$ で、棒複体で計算すると群の有向和と可換なので、$H_n(Y_G;\mathbf Z)=\varinjlim_\alpha H_n(Y_{G_\alpha};\mathbf Z)$ である（GroT57 V、Bor53 の型。本書『3-3 ℓ 進類から整係数類へ』の引用する事実 4 (d) の空間つきの形。$Y$ が一点なら本書『4-3 総括定理と複素表現の有理 Chern 類』の補題「有理類は有限生成の部分群で決まる」と同じ議論である）。$\mathbf Q$ は体なので $H^n(Y_G;\mathbf Q)=\operatorname{Hom}(H_n(Y_G;\mathbf Z),\mathbf Q)=\varprojlim_\alpha\operatorname{Hom}(H_n(Y_{G_\alpha};\mathbf Z),\mathbf Q)$ で、主張が従う。

段 1（有限生成への帰着）．本書『3-3 ℓ 進類から整係数類へ』の引用する事実 3 により $H^{2i}(X^{\mathrm{an}},G;\mathbf Q)=H^{2i}(X^{\mathrm{an}}_G;\mathbf Q)$ である。超越的 Chern 類は Borel 構成の上の通常の Chern 類なので、部分群 $G_\alpha\subset G$ への制限と両立する（本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』の定理「複素ベクトル束の Chern 類」の自然性）。上の補題により、$G$ を有限生成としてよい。
段 2（模型と閉点）．上の補題（有限生成群の作用の模型）で模型 $(A_0,X_0,\mathbb E_0)$ をとり、$A_0$ を $A_0[1/\ell]$ にする。上の命題により、この模型の空でない開集合 $U$ のすべての閉点で $j<2i$ の Weil 予想が成り立ち、$U$ は閉点 $s$ をもつ（引用する事実 5）。
段 3（通常の類）．$X$ は有限型かつ分離的で、$H^{2i}(X^{\mathrm{an}},\mathbf Z)$ は有限型である（本書『0-3 エタールコホモロジーと Galois コホモロジー』の定理「Artin の比較定理」）。有理像が $0$ なので通常の整係数類は捩れで、本書『3-3 ℓ 進類から整係数類へ』の定理「整係数類の捩れと ℓ 進類の捩れの同値」（作用群を単位群として）により $c_i(\omega\mathbb E)(\ell)$ は捩れである。
段 4（混合 ℓ 進類）．上の定理（模型の閉点への特殊化）により、ある $M$ で $\ell^Mc_i(\mathbb E)(\ell)=0$ である。
段 5（有理類へ）．$c:=c_i(\mathbb E^{\mathrm{an}})\in H^{2i}(X^{\mathrm{an}},G;\mathbf Z)$ とする。本書『3-3 ℓ 進類から整係数類へ』の系「ℓ 進類は整係数類の像」により、$\ell^Mc$ の $H^{2i}(X^{\mathrm{an}},G;\mathbf Z_\ell)$ での像は $0$ で、したがってすべての $H^{2i}(X^{\mathrm{an}},G;\mathbf Z/\ell^\nu)$ での像が $0$、同頁の補題「Bockstein の列の射影系」により $\ell^Mc$ は無限に $\ell$ で割れる。同頁の定理「自由鎖複体での二つの読みの一致」の同一視のもとで、定理「無限に ℓ で割れる元の特定」の 3 により $\ell^Mc$ の有理像は $0$ で、$c_{\mathbf Q}=0$ である。