7-4 消滅結果・整数環・Atiyah 類
de Rham 型と Hodge 型の Chern 類は、係数の微分形式が高い次数で消えれば高い次数で消える。本頁は原論文の小節 6.9〜6.11 に沿って、この次元による消滅と作用が自明なときの Künneth 公式を示し、数体の整数環の上では第一 Chern 類だけが生き残り、しかも有限群の表現でも 0 でありうることを円分体で確かめる。最後に、Atiyah 類の冪に特性多項式の係数を施して Chern 類を作る原論文の構成が、$i!$ が可逆な底では前の定義と符号を除いて一致すること、標数 2 の底では成り立たないことを示す。
前提知識: Kähler微分, de Rhamコホモロジー, Hodge–de Rhamスペクトル系列, Atiyah類, 差積, 円分体
この頁で示すこと
$S$ はスキーム、$X$ は $S$ 上のスキーム、$G$ は $X$ に $S$ 自己同型で作用する離散群、$\mathbb E$ は $(X,G)$ 上の階数 $r$ の作用つき局所自由加群である。Chern 類 $c_i(\mathbb E)$ は、de Rham 型 $c_i^{\mathrm{DR}}(\mathbb E)\in H^{2i}_{\mathrm{DR}}(X/S,G)$ と Hodge 型 $c_i^{\mathrm{Hdg}}(\mathbb E)\in H^{i,i}_{\mathrm{Hdg}}(X/S,G)=H^i(X,G;\Omega^i_{X/S})$ で、本書『7-1 定義と Hodge–de Rham スペクトル系列』『7-2 作用群つきの場合と係数環が小さい場合』のとおり、原論文 (6.10) の射影束公式を入力として関係式 $\sum_ic_i\,\xi^{r-i}=0$（本書の射影束の規約）で定めたものである。$\operatorname{At}(\mathbb E)\in H^1(X,\operatorname{End}\mathbb E\otimes\Omega^1_{X/S})$ は Atiyah 類（原論文は $c(\mathbb E)$ と書く）、$\sigma_i(A)$ は $\det(1+TA)=\sum_i\sigma_i(A)T^i$ の係数である。
本頁の主結果は次の六つである。
- 次元による消滅（原論文 (6.21)、印字 p. 294）：$i>n$ で $\Omega^i_{X/S}=0$ なら、Hodge 型の $c_i(\mathbb E)$ は $i>n$ で $0$ である。de Rham 型の $c_i(\mathbb E)$ も、原論文 6.4 の期待（$c_i^{\mathrm{DR}}$ はフィルトレーション $i$ にある）を認めれば $i>n$ で $0$ である。体 $k$ の上の表現が部分体 $k_0$ の上で定義されるなら、$n=\dim_{k_0}\Omega^1_{k_0/P}$ にとれ、$k_0$ が素体 $P$ 上有限生成か標数 $0$ ならこれは超越次数である。［条件付き：射影束公式 (6.10) を入力とする。de Rham 型は 6.4 の期待を前件に置いた含意］
- 作用が自明なときの Künneth 公式（原論文 小節 6.9、印字 p. 294）：$G$ が $X$ に自明に作用し、$H_j(G,\mathbf Z)$ がすべて有限型の自由加群なら、有界下の複体 $K$（de Rham 複体と Hodge 複体を含む）について、cup 積の和 $\bigoplus_{p+q=m}\mathbb H^p(X,K)\otimes H^q(G,\mathbf Z)\to\mathbb H^m(X,G;K)$ は同型である。$K$ が $\mathbf Q$ 上のベクトル空間の層の複体なら、$H_j(G,\mathbf Z)$ が有限型であるだけで $\bigoplus_{p+q=m}\mathbb H^p(X,K)\otimes_{\mathbf Q}H^q(G,\mathbf Q)\cong\mathbb H^m(X,G;K)$ が成り立つ。［条件付き：作用群つきの超コホモロジーの記述を引用］
- 数体の整数環の微分（原論文 (6.22)、印字 p. 295）：$k\ne\mathbf Q$ を数体、$A$ をその整数環とすると、$\Omega^i_{A/\mathbf Z}=0$（$i\ge2$）かつ $\Omega^1_{A/\mathbf Z}\ne0$ である。［条件付き：差積による局所単項生成と Minkowski の定理を引用］
- 円分体の例（原論文 小節 6.10、印字 p. 295）：$k=\mathbf Q(\mu_{p^n})$（$p^n\ge3$）、$A=\mathbf Z[\zeta]$ とすると、$A$ の上の表現の Hodge 型の $c_i$ は $i\ge2$ で $0$ だが、有限群 $G=\mu_{p^n}(A)\cong\mathbf Z/p^n$ の恒等表現の Hodge 型と de Rham 型の $c_1$ はどちらも $0$ でない。［条件付き：主結果 1・3 と、本書『7-1 定義と Hodge–de Rham スペクトル系列』の主結果「de Rham 型の第一 Chern 類はフィルトレーション 1 にあり、Hodge 型に一致する」による］
- 特性多項式の係数を与える線形形式（原論文 (6.25)、印字 p. 296）：$1\le i\le r$ のとき、局所切断 $A$ について $\lambda_i(A^i)=\sigma_i(A)$ を満たす $\mathcal O_X$ 線形写像 $\lambda_i\colon\operatorname{Sym}^i(\operatorname{End}\mathbb E)\to\mathcal O_X$ が存在するのは $i!$ が $\mathcal O_X$ で可逆なときに限り、そのとき $\lambda_i$ はただ一つである。［完結］
- Atiyah 類による構成と前の定義の一致（原論文 小節 6.11、(6.23)〜(6.26) の訂正形、印字 pp. 295–296）：$G$ が単位群で $i!$ が $\mathcal O_S$ で可逆なら、$c_i^{\mathrm{At}}(\mathbb E):=\lambda_i(\operatorname{At}(\mathbb E)^i)\in H^i(X,\Omega^i_{X/S})$ は $\varepsilon_{\mathrm{At}}^{\,i}\,c_i^{\mathrm{Hdg}}(\mathbb E)$ に等しい。$\varepsilon_{\mathrm{At}}=\pm1$ は可逆層で $\operatorname{At}(\mathbb L)=\varepsilon_{\mathrm{At}}D(\eta)$ となる約束の符号である。［条件付き：射影束公式 (6.10) と Chern 類の形式の仮定を入力とし、Atiyah 類の基本と旗束による分裂を引用］原論文の形は反例「標数 2 の底での 2 次の類」で破れる。
主結果 1・4 は、Chern 類が微分形式の外冪に値をとることと Hodge–de Rham スペクトル系列の位置の計算だけで閉じ、Chern 類の定義に要る射影束公式だけを原論文の状態のまま入力に置く。主結果 2 は群の鎖複体の分解で閉じる。主結果 5 は線形代数で閉じる。主結果 6 は、旗束への引き戻しで直線束を商とするフィルトレーションの場合に帰着し、三角行列の特性多項式が対角成分だけで決まることを使う。原論文は主結果 6 の一致を準備中の Giraud の論文に委ねるが、本書は $i!$ が可逆な底で閉じた。
背景と動機
原論文 Gro68d の §6 は、ℓ 進コホモロジーの代わりに de Rham コホモロジーと Hodge コホモロジーで離散群の表現の Chern 類を作る（本書『7-1 定義と Hodge–de Rham スペクトル系列』）。ℓ 進の類では、捩れでない類の次数を群のコホモロジー次元と基礎体のコホモロジー次元で抑えた（本書『6-4 コホモロジー次元による消滅』）。小節 6.9（印字 p. 294）は、de Rham 型と Hodge 型では同じ種類の消滅がもっと簡単に得られると言う。Chern 類 $c_i$ は $\Omega^i$ に係数をもつ群に入るので、微分形式が次数 $n$ を超えて消えれば、$n$ を超える次数の類は置き場所がない。この上界は群 $G$ のコホモロジー次元を含まない、と原論文は強調する。
小節 6.10（印字 pp. 294–295）は、係数を体でなく数体の整数環 $A$ にとる。$\Omega^1_{A/\mathbf Z}$ は分岐だけを見る小さな捩れ加群で、その外冪は消えるので、$A$ の上の表現の Chern 類は第一 Chern 類しか残らない。それでも $\Omega^1_{A/\mathbf Z}\ne0$ なので第一 Chern 類は 0 とは限らず、原論文は円分体の 1 の冪根の群の恒等表現で、有限群でも $c_1\ne0$ となることを示す。有理数体の上では $\Omega^1_{\mathbf Q/\mathbf Z}=0$ なので de Rham 型と Hodge 型の理論は空だった（本書『7-2 作用群つきの場合と係数環が小さい場合』）。整数環に移ると理論が生き返るのが要点である。
小節 6.11（印字 pp. 295–296）は、Atiyah Ati57 が複素解析幾何で与えた Hodge 型の Chern 類の構成が「困難なく」一般の場合に移り、射影束の Hodge コホモロジーに頼らない構成を与える、と述べる。その構成は、Atiyah 類 $\operatorname{At}(\mathbb E)$ の $i$ 乗を $\operatorname{Sym}^i(\operatorname{End}\mathbb E)\otimes\Omega^i$ に値をとる類とみて、特性多項式の第 $i$ 係数を与える写像 (6.25) を施すものである。原論文は構成の詳細と前の定義との比較を、準備中の Giraud の論文（原論文の文献 [15]）に委ねる。
この最後の主張には問題がある。特性多項式の係数は行列の成分の多項式だが、それを $\operatorname{Sym}^i$ の上の線形写像として書くには、多項式を多重線形形式に戻す分極が要り、そこで $i!$ で割る。$\mathbf Z$ の上ではこの割り算ができず、標数 $2$ の底では 2 次の類がこの構成で作れない。本頁は、$i!$ が可逆な底に限った構成を主結果とし、そのときは前の定義と一致することを示して、原論文の印字の形が偽であることを反例で示す。
定義と準備
de Rham コホモロジー、Hodge コホモロジー、フィルトレーションの番号づけは本書『0-5 de Rham コホモロジーと Hodge コホモロジー』の定義のとおりで、$\operatorname{Filt}^pH^m_{\mathrm{DR}}$ は愚直な切り落とし $\sigma_{\ge p}\Omega^\bullet_{X/S}$ の超コホモロジーの像である。まず、本頁が入力として置く原論文の二つの主張を確認する。
(a) 射影束公式（原論文 (6.10)）：局所自由加群の射影束 $f\colon P\to X$ について、$1,\xi,\dots,\xi^{r-1}$（$\xi=c_1(\mathcal O_P(1))$）は de Rham コホモロジーと Hodge コホモロジーのそれぞれで $H^*(P/S)$ の $H^*(X/S)$ 上の基底である。作用群つきでも同じ。原論文は証明を準備中の Illusie の論文（原論文の文献 [24]）に委ねる（本書『7-1 定義と Hodge–de Rham スペクトル系列』）。これにより $c_i(\mathbb E)$ が定まり、Hodge 型は $H^{i,i}_{\mathrm{Hdg}}$ に入り、引き戻しと両立する。
(b) Chern 類の形式の仮定（原論文 小節 6.3 が「認める」とするもの）：こうして定めた類が、関手性、正規化 $c_1(\mathbb L)=D(\eta)$（Hodge 型）、完全列についての加法性 $c(\mathbb E)=c(\mathbb E')c(\mathbb E'')$ を満たすこと。
(c) 原論文 6.4 の期待：$c_i^{\mathrm{DR}}(\mathbb E)\in\operatorname{Filt}^iH^{2i}_{\mathrm{DR}}$ であり、その $\operatorname{gr}^i$ での像は $c_i^{\mathrm{Hdg}}(\mathbb E)$ の定める元に等しいこと。本書はこれを主張としては扱わず、使うときは前件に置く。$i=1$ の場合は証明がある（本書『7-1 定義と Hodge–de Rham スペクトル系列』）。
(a)(b) は原論文の §6 全体の前提で、本頁の主結果のうち $c_i$（$i\ge2$）を含むものはすべてこれに依る。(c) は次元による消滅の de Rham 型の部分だけで使う。
次に、Atiyah 類の冪と、原論文 (6.24)(6.25) の構成を定める。
$X\to S$ をスキームの射、$\mathbb E$ を階数 $r$ の局所自由 $\mathcal O_X$ 加群とし、$\operatorname{At}(\mathbb E)\in H^1(X,\operatorname{End}\mathbb E\otimes\Omega^1_{X/S})$ を本書『0-5 de Rham コホモロジーと Hodge コホモロジー』の定義（Atiyah 拡大と Atiyah 類）の類とする。
(1) 冪：層の写像 $(\operatorname{End}\mathbb E\otimes\Omega^1)^{\otimes i}\to\operatorname{Sym}^i(\operatorname{End}\mathbb E)\otimes\Omega^i$、$(A_1\otimes\omega_1)\otimes\cdots\otimes(A_i\otimes\omega_i)\mapsto(A_1\cdots A_i)\otimes(\omega_1\wedge\cdots\wedge\omega_i)$ と cup 積の合成で、$\operatorname{At}(\mathbb E)^i\in H^i(X,\operatorname{Sym}^i(\operatorname{End}\mathbb E)\otimes\Omega^i_{X/S})$ を定める（原論文 (6.24)）。ここで $A_1\cdots A_i$ は対称冪の中の積で、行列の積ではない。
(2) 特性多項式の係数：局所切断 $A$ について $\det(1+TA)=\sum_{i=0}^r\sigma_i(A)T^i$ とする。$\det(T-A)=\sum_i(-1)^i\sigma_i(A)T^{r-i}$ なので、特性多項式の第 $i$ 係数は $\sigma_i(A)$ に符号 $(-1)^i$ を除いて等しい。$\sigma_i(A)$ は $A$ の成分の $i$ 次の斉次多項式で、共役で変わらない。
(3) 線形形式：$\mathcal O_X$ 線形写像 $\lambda\colon\operatorname{Sym}^i(\operatorname{End}\mathbb E)\to\mathcal O_X$ が $\sigma_i$ を与えるとは、任意の開集合 $U$ と $A\in\Gamma(U,\operatorname{End}\mathbb E)$ について $\lambda(A^i)=\sigma_i(A)$（$A^i$ は対称冪の中の $i$ 乗）となることをいう。原論文 (6.25) の $c_i$ はこの意味の写像を指すと読む。
(4) Atiyah 型の類：$\sigma_i$ を与える $\lambda_i$ があるとき、$c_i^{\mathrm{At}}(\mathbb E):=(\lambda_i\otimes1)_*\operatorname{At}(\mathbb E)^i\in H^i(X,\Omega^i_{X/S})$ とおき、Atiyah 型の Chern 類と呼ぶ。
- の写像で $\operatorname{End}\mathbb E$ の側を対称冪に、微分形式の側を外冪に送るのは、次数 1 の類の cup 積が微分形式の外積と合わせて可換になるからである。実際、$a,b\in H^1(X,\Omega^1)$ の cup 積はコホモロジーの次数から符号 $-1$、外積の入れ替えから符号 $-1$ を受け、$ab=ba\in H^2(X,\Omega^2)$ となる。
Atiyah 類の符号の約束は文献によって違う。本頁は符号を一つの記号にまとめる。
本書『0-5 de Rham コホモロジーと Hodge コホモロジー』の定義（Atiyah 拡大と Atiyah 類）の (3) により、可逆加群 $\mathbb L$（類 $\eta\in H^1(X,\mathcal O_X^*)$）について $\operatorname{At}(\mathbb L)=\pm D(\eta)$ で、符号は局所的な接続の差でコサイクルを作るときの左右と順序の約束だけで決まり、$X$ と $\mathbb L$ に依らない。この符号を $\varepsilon_{\mathrm{At}}\in\{\pm1\}$ と書く。原論文の主束の余接層による形 (6.26) と主部分による形は、同じ約束の下で符号を除いて一致する（同じ定義の (4)）。本頁の主張は、どちらの形で読んでも $\varepsilon_{\mathrm{At}}$ を取り替えるだけで成り立つ。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。出典は主に Ser62 第 III 章、Lan64、Ati57、EGA4 第 16 章で、該当箇所は本頁では確認していない。要点は本書『0-5 de Rham コホモロジーと Hodge コホモロジー』にある。
- Kähler 微分の基本（本書『0-5 de Rham コホモロジーと Hodge コホモロジー』の定理「Kähler 微分の基本」）：第一基本完全列、局所化との可換性、標数 $0$ の体では超越基底の微分が基底であること、標数 $p$ の体では $p$ 基底の微分が基底であること。素体上有限生成の体 $K$ では $\dim_K\Omega^1_{K/P}=\operatorname{deg.tr}(K/P)$。
- 数体の整数環の Kähler 微分（同じ頁の定理「数体の整数環の Kähler 微分」）：$\Omega^1_{A/\mathbf Z}$ は有限な捩れ $A$ 加群で、素イデアルでの完備化の上で単項生成、$\Omega^1_{A/\mathbf Z}=0$ は $A$ が $\mathbf Z$ 上不分岐であることと同値、$k\ne\mathbf Q$ なら分岐する素数がある（Minkowski）。原論文は Ser62 第 III 章の命題 14 と Lan64 を引く。
- 円分体の整数環：$\mathbf Q(\mu_{p^n})$ の整数環は $\mathbf Z[\zeta]$（$\zeta$ は 1 の原始 $p^n$ 乗根）で、$\zeta$ の最小多項式は円分多項式 $\Phi_{p^n}$ である（Lan64 の型）。原論文は「知られている」とだけ書く。
- 作用群つきの超コホモロジー（本書『0-5 de Rham コホモロジーと Hodge コホモロジー』の定義「複体の超コホモロジー」の (4)）：$G$ が $X$ に自明に作用するとき $R\Gamma(X,G;K)\cong R\Gamma(G,R\Gamma(X,K))$ で、$X$ がアフィンで各項が準連接なら群の超コホモロジー $R\Gamma(G,\Gamma(X,K))$ である。Hodge–de Rham スペクトル系列も作用群つきで同じ形をとる。
- Atiyah 類の基本（同じ頁の定義「Atiyah 拡大と Atiyah 類」の (2)〜(4)）：$\operatorname{At}(\mathbb E)$ は、$\mathbb E$ が自由になる開被覆 $(U_\alpha)$ の上の局所的な接続 $\nabla_\alpha$ の差 $\nabla_\alpha-\nabla_\beta$ のなす Čech コサイクルで代表される（Ati57、EGA4 16）。可逆加群では $\operatorname{At}(\mathbb L)=\varepsilon_{\mathrm{At}}D(\eta)$。
- 旗束と分裂（本書『0-5 de Rham コホモロジーと Hodge コホモロジー』の定理「射影空間の Hodge コホモロジーと Künneth 公式」の (1)〜(3)、参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『1-2 旗多様体と完全分裂』）：$\mathbb E$ の完全旗束 $f\colon F\to X$ の上で $f^*\mathbb E$ は直線束を商とするフィルトレーションをもつ。準コンパクトで分離的な体上のスキームの積の Hodge コホモロジーは Künneth 公式を満たし、$H^q(\mathbf P^1_k,\Omega^p)$ は $p=q\in\{0,1\}$ のときだけ $k$ で、$H^1(\mathbf P^1_k,\Omega^1)$ は $h=D(\eta_{\mathcal O(1)})$ で生成される。
旗束 $f\colon F\to X$ の引き戻し $f^*$ がコホモロジーで単射であることは、上の定義（本頁が入力とする原論文の主張）の (a) を射影束の塔に繰り返して当てると得られる。これで道具がそろった。
主結果と証明
まず、微分形式が消える次数では Chern 類も消えることを示す。
次元による消滅
上の定義（本頁が入力とする原論文の主張）の (a) の下で、次が成り立つ。
(1) $i>n$ で $\Omega^i_{X/S}=0$ なら、Hodge 型の $c_i(\mathbb E)$ は $i>n$ で $0$ である。同じ定義の (c) を認めれば、de Rham 型の $c_i(\mathbb E)$ も $i>n$ で $0$ である。
(2) $k_0\subset k$ を体、$P$ を素体、$G$ を離散群とし、$G$ の $k$ 上の表現 $E$ が $k_0$ 上の表現 $E_0$ から $E=E_0\otimes_{k_0}k$ として得られるとする。$n:=\dim_{k_0}\Omega^1_{k_0/P}$ が有限なら、$H^*(k/P,G)$ に値をとる $E$ の Hodge 型の $c_i(E)$ は $i>n$ で $0$ で、(c) を認めれば de Rham 型も同じである。$k_0$ が $P$ 上有限生成であるか標数が $0$ なら、$n=\operatorname{deg.tr}(k_0/P)$ である。
段 1（Hodge 型）．Hodge 型の $c_i(\mathbb E)$ は $H^i(X,G;\Omega^i_{X/S})$ の元で、$i>n$ なら係数の層が $0$ なので群そのものが $0$ である。
段 2（de Rham 型）．(c) により $c_i^{\mathrm{DR}}(\mathbb E)\in\operatorname{Filt}^iH^{2i}_{\mathrm{DR}}(X/S,G)$ で、これは $\mathbb H^{2i}(X,G;\sigma_{\ge i}\Omega^\bullet_{X/S})$ の像である。$i>n$ なら $j\ge i$ で $\Omega^j_{X/S}=0$ なので $\sigma_{\ge i}\Omega^\bullet_{X/S}=0$ で、像は $0$ である。
段 3（基礎体の縮小）．$G$ は $\operatorname{Spec}k$ と $\operatorname{Spec}k_0$ に自明に作用し、$\operatorname{Spec}k\to\operatorname{Spec}k_0$ は $\operatorname{Spec}P$ の上の作用群つきの射で、$E$ はその引き戻しである。(a) による類は引き戻しと両立するので、$c_i(E)$ は $c_i(E_0)\in H^*(k_0/P,G)$ の像である。$\Omega^i_{k_0/P}=\bigwedge^i\Omega^1_{k_0/P}$ は $i>n$ で $0$ なので、段 1・2 を $X=\operatorname{Spec}k_0$、$S=\operatorname{Spec}P$ に当てる。$n$ の値は引用する事実 1 による。標数 $0$ では超越基底 $(t_\alpha)$ の $dt_\alpha$ が基底なので $n=\operatorname{deg.tr}(k_0/P)$ で、素体上有限生成なら標数によらずそうである。
de Rham 型の消滅に 6.4 の期待が要るのは、無条件に分かるのが $c_i^{\mathrm{DR}}\in\operatorname{Filt}^1$ までだからである（本書『7-1 定義と Hodge–de Rham スペクトル系列』）。$n=0$ なら $\operatorname{Filt}^1=0$ なので期待は要らず、これが本書『7-2 作用群つきの場合と係数環が小さい場合』の定理「微分形式が消える係数環では理論が空になる」である。
原論文（印字 p. 294）は (6.21) を「de Rham コホモロジーのフィルトレーションを考え 6.4 を使えば容易」と述べる。上の証明の段 2 がその中身で、6.4 は原論文でも期待として置かれている。原論文はさらに、この上界が群 $G$ のコホモロジー次元を含まない点で小節 5.2 の上界（本書『6-4 コホモロジー次元による消滅』）より簡単だと言う。上の定理の (2) は $G$ について何も仮定しないので、この評価は正しい。原論文は $n$ を $k_0$ の超越次数にとってよいと書く。本書が確かめたのは $k_0$ が素体上有限生成の場合と標数 $0$ の場合で、標数 $p$ の一般の体では $\dim\Omega^1_{k_0/\mathbf F_p}$（$p$ 基底の濃度）を使う形で述べた。
この上界が最良であることは、例と反例の節で本書『7-3 係数環が大きい場合と ℓ 進との食い違い』の例を引いて確かめる。次に、作用が自明なときに混合コホモロジーを分けることを示す。
作用が自明なときの Künneth 公式
$G$ が $X$ に自明に作用し、$K$ を $X$ の上の（$G$ が自明に作用する）層の有界下の複体とする。
(1) $H_j(G,\mathbf Z)$ がすべて有限型の自由加群なら、cup 積の和
$$\bigoplus_{p+q=m}\mathbb H^p(X,K)\otimes_{\mathbf Z}H^q(G,\mathbf Z)\longrightarrow\mathbb H^m(X,G;K)$$
はすべての $m$ で同型である。
(2) $K$ が $\mathbf Q$ 上のベクトル空間の層の複体で、$H_j(G,\mathbf Z)$ がすべて有限型なら、$\bigoplus_{p+q=m}\mathbb H^p(X,K)\otimes_{\mathbf Q}H^q(G,\mathbf Q)\to\mathbb H^m(X,G;K)$ は同型である。
とくに $K$ が de Rham 複体 $\Omega^\bullet_{X/S}$、または $\Omega^p_{X/S}$ を次数 $p$ に置いた複体のとき、混合 de Rham コホモロジーと混合 Hodge コホモロジーがこの形に分かれる。
段 1（群の鎖複体への移行）．$P_\bullet$ を $\mathbf Z$ の自由 $\mathbf Z[G]$ 分解、$C_\bullet:=\mathbf Z\otimes_{\mathbf Z[G]}P_\bullet$ とする。引用する事実 4 により、$M:=R\Gamma(X,K)$（$G$ は自明に作用する）について $R\Gamma(X,G;K)\cong R\Gamma(G,M)=R\operatorname{Hom}_{\mathbf Z[G]}(P_\bullet,M)=R\operatorname{Hom}_{\mathbf Z}(C_\bullet,M)$ である。$M$ は有界下で、最低次数を $m_0$ とする。
段 2（鎖複体の分解）．本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』の普遍係数定理の (1) により、$H_j(C)=H_j(G,\mathbf Z)$ が有限型自由なら $C_\bullet$ は $\bigoplus_jH_j(G,\mathbf Z)[j]$ と擬同型である。したがって $R\operatorname{Hom}(C_\bullet,M)\cong\prod_jR\operatorname{Hom}(H_j[j],M)=\prod_j\operatorname{Hom}(H_j,\mathbf Z)\otimes M[-j]$ で、$\operatorname{Hom}(H_j(G,\mathbf Z),\mathbf Z)=H^j(G,\mathbf Z)$（$H_{j-1}$ が自由なので Ext の項が消える）である。次数 $m$ のコホモロジーには $0\le j\le m-m_0$ の有限個の $j$ しか寄与しないので、積は直和になり、$H^m\cong\bigoplus_{j}H^j(G,\mathbf Z)\otimes H^{m-j}(M)$ を得る。
段 3（cup 積との一致）．$a\in H^j(G,\mathbf Z)$ を $C_j\to\mathbf Z$ の余輪体で代表し、$b\in\mathbb H^{m-j}(X,K)=H^{m-j}(M)$ を $M$ の輪体で代表すると、cup 積 $b\cup a$ は $\operatorname{Hom}(C_\bullet,M)$ の元 $c\mapsto a(c)b$ で代表される。段 2 の分解はこの元を $(a\bmod\text{境界})\otimes b$ に送るので、段 2 の同型は cup 積の和である。
段 4（有理係数）．$K$ が $\mathbf Q$ 上のベクトル空間の層なら $M$ も $\mathbf Q$ 上の複体で、$R\operatorname{Hom}_{\mathbf Z}(C_\bullet,M)=R\operatorname{Hom}_{\mathbf Q}(C_\bullet\otimes\mathbf Q,M)$ である。$\mathbf Q$ 上の複体 $C_\bullet\otimes\mathbf Q$ はそのホモロジー $\bigoplus_j(H_j\otimes\mathbf Q)[j]$ とホモトピー同値で（同じ定理の (4)）、$H_j\otimes\mathbf Q$ は有限次元なので $\operatorname{Hom}_{\mathbf Q}(H_j\otimes\mathbf Q,-)=H^j(G,\mathbf Q)\otimes_{\mathbf Q}-$ である。あとは段 2・3 と同じである。
原論文（印字 p. 294）は、この公式が小節 5.1 と同じく、ただし「極限移行の技術的な困難なしに」得られると述べ、細部を読者に任せる。ℓ 進の場合（本書『6-1 作用が自明なときの Künneth 公式と普遍係数』）は $\varprojlim_\nu$ を経るので射影極限の扱いが要ったが、ここでは係数が一つの複体なのでその段がない。
原論文は続けて、この公式により小節 5.5・5.6 の結果（本書『6-4 コホモロジー次元による消滅』）を de Rham 型と Hodge 型でも定式化できると述べ、細部を読者に任せる。原論文はその主張の形を書いていないので、本書は主結果にせず、判定もしない。上の定理と主結果 1 を組み合わせれば、Hodge 型の類について、群の側の次数と微分形式の側の次数の両方から上界を得る型の主張が立つことだけを注意しておく。
次に係数を数体の整数環にとる。そこでは微分形式が 1 次でしか生き残らない。
数体の整数環
$k$ を $\mathbf Q$ と異なる数体、$A$ をその整数環とすると、$\Omega^i_{A/\mathbf Z}=0$（$i\ge2$）で、$\Omega^1_{A/\mathbf Z}\ne0$ である。
段 1（外冪の消滅）．引用する事実 2 により $\Omega^1_{A/\mathbf Z}$ は有限な捩れ加群で、有限個の素イデアル $\mathfrak p$ の上にだけ台をもつ。有限の長さの加群では $\mathfrak p$ での局所化と完備化は変わらないので、$(\Omega^1_{A/\mathbf Z})_{\mathfrak p}\cong\Omega^1_{A/\mathbf Z}\otimes\widehat A_{\mathfrak p}$ は単項生成である。一つの元 $w$ で生成される加群の 2 次の外冪は $w\wedge w=0$ で生成されるので $0$ である。外冪は局所化と可換なので、$\Omega^i_{A/\mathbf Z}=\bigwedge^i\Omega^1_{A/\mathbf Z}$ はすべての局所化で $0$、したがって $0$ である（$i\ge2$）。
段 2（$\Omega^1\ne0$）．$k\ne\mathbf Q$ なので Minkowski の定理により分岐する素数があり、引用する事実 2 により $\Omega^1_{A/\mathbf Z}\ne0$ である。
原論文は第一の関係を「$\Omega^1_{A/\mathbf Z}$ が局所単項生成であること」と言い換え、第二を Minkowski の定理の言い換えとする（印字 p. 295）。上の証明はその二つの言い換えを書き下したものである。主結果 1 を $n=1$ で当てると、$A$ の上の表現の Hodge 型の類は $c_1$ だけが残る。$c_1$ が本当に残ることを円分体で確かめる。
円分体の例
$p$ を素数、$p^n\ge3$ とし、$k=\mathbf Q(\mu_{p^n})$、$\zeta$ を 1 の原始 $p^n$ 乗根、$A=\mathbf Z[\zeta]$ を $k$ の整数環とする。
(1) $\Omega^1_{A/\mathbf Z}=A\,d\zeta\cong A/(\Phi_{p^n}'(\zeta))$ で、$d\zeta\ne0$ である。
(2) 離散群 $G$ が $\operatorname{Spec}A$ に自明に作用するとき、$A$ の上の作用つき局所自由加群（$G$ の $A$ 上の表現）の Hodge 型の $c_i$ は $i\ge2$ で $0$ で、上の定義（本頁が入力とする原論文の主張）の (c) を認めれば de Rham 型も同じである。
(3) $G:=\mu_{p^n}(A)\cong\mathbf Z/p^n$ の恒等表現 $G\hookrightarrow A^*$ が定める階数 1 の表現 $L$ について、Hodge 型の $c_1(L)\in H^1(G,\Omega^1_{A/\mathbf Z})=\operatorname{Hom}(G,\Omega^1_{A/\mathbf Z})$ は $\zeta\mapsto d\zeta/\zeta$ で、$0$ でない。de Rham 型の $c_1(L)\in H^2_{\mathrm{DR}}(A/\mathbf Z,G)$ も $0$ でない。
段 1（微分の計算）．引用する事実 3 により $A=\mathbf Z[x]/(\Phi_{p^n}(x))$ なので、Kähler 微分の定義から $\Omega^1_{A/\mathbf Z}=A\,dx/(\Phi_{p^n}'(\zeta)\,dx)$ で、$d\zeta$ が生成元である。$p^n\ge3$ なら $[k:\mathbf Q]=p^{n-1}(p-1)\ge2$ で $k\ne\mathbf Q$ なので、上の定理（数体の整数環の微分）により $\Omega^1_{A/\mathbf Z}\ne0$、よって生成元 $d\zeta$ は $0$ でない。
段 2（高次の類）．上の定理（数体の整数環の微分）により $i\ge2$ で $\Omega^i_{A/\mathbf Z}=0$ なので、上の定理（次元による消滅）の (1) を $n=1$ で当てる。
段 3（Hodge 型の $c_1$）．$\operatorname{Spec}A$ はアフィンで $\Omega^1_{A/\mathbf Z}$ は準連接なので、引用する事実 4 により $H^1(\operatorname{Spec}A,G;\Omega^1)=H^1(G,\Omega^1_{A/\mathbf Z})=\operatorname{Hom}(G,\Omega^1_{A/\mathbf Z})$ である。$L$ は自明な可逆層 $\mathcal O$ に $G$ が $\chi\colon G\hookrightarrow A^*$ で作用するものである。層 $\mathcal O^*$ の混合コホモロジーのスペクトル系列の $E_2^{1,0}=H^1(G,A^*)=\operatorname{Hom}(G,A^*)$ は $H^1(\operatorname{Spec}A,G;\mathcal O^*)$ に単射に入り、$L$ の類は $\chi$ の像である（本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の例「体の上の作用つき可逆層の類」と同じ計算を Zariski 位相で行う）。対数微分 $D\colon\mathcal O^*\to\Omega^1$ は $G$ と両立する層の準同型なので、スペクトル系列の射を誘導し、$E_2^{1,0}$ の上では $\chi\mapsto D\circ\chi$ である。したがって $c_1^{\mathrm{Hdg}}(L)(\zeta)=d\zeta/\zeta$ で、$\zeta$ は単元なので段 1 により $0$ でない。
段 4（de Rham 型の $c_1$）．$G$ の自明に作用する複体 $\Omega^\bullet_{A/\mathbf Z}$ の群の超コホモロジーに、愚直な切り落としのスペクトル系列 $E_1^{a,b}=H^b(G,\Omega^a_{A/\mathbf Z})\Rightarrow H^{a+b}_{\mathrm{DR}}(A/\mathbf Z,G)$ がある。本書『7-1 定義と Hodge–de Rham スペクトル系列』の定理「de Rham 型の第一 Chern 類はフィルトレーション 1 にあり、Hodge 型に一致する」の (3)（作用群つきの形）により、$c_1^{\mathrm{DR}}(L)\in\operatorname{Filt}^1$ で、その $\operatorname{gr}^1=E_\infty^{1,1}$ での像は段 3 の元 $u:=c_1^{\mathrm{Hdg}}(L)$ の類である。$E^{1,1}$ に入る微分は $d_1\colon E_1^{0,1}=\operatorname{Hom}(G,A)\to E_1^{1,1}$ だけで（$r\ge2$ の $d_r$ の始点は $a<0$ にある）、$A$ は捩れを持たないので $\operatorname{Hom}(\mathbf Z/p^n,A)=0$ である。$E^{1,1}$ から出る微分の行き先は $H^*(G,\Omega^{a}_{A/\mathbf Z})$（$a\ge2$）で $0$ である。よって $E_\infty^{1,1}=E_1^{1,1}$ で、$u\ne0$ なので $c_1^{\mathrm{DR}}(L)\ne0$ である。
原論文（印字 p. 295）は $c_1\ne0$ を「(6.19) により」とするが、(6.19) は体の上で述べた式（本書『7-3 係数環が大きい場合と ℓ 進との食い違い』）で、$A$ の上へ移すことは紙面で明示されない。上の段 3 がその読み替えで、係数が体でなく環でも同じ計算が通る。de Rham 型の非消滅も、原論文は述べるだけで、段 4 は本書が足した。
原論文は小節 6.10 の冒頭で $k\ne\mathbf Q$ を仮定し、円分体の例では $p^n$ に条件を書かない。$p^n=2$ なら $k=\mathbf Q$ で文脈の仮定に反し、結論も成り立たない（例と反例の節の反例）。本書は文脈の仮定を $p^n\ge3$ と明示した。
最後に、原論文 6.11 の Atiyah 類による構成に移る。構成の要は写像 (6.25) で、まずそれがいつ存在するかを決める。
Atiyah 類による構成
$\mathbb E$ を階数 $r$ の局所自由 $\mathcal O_X$ 加群（$X\ne\emptyset$）、$1\le i\le r$ とする。$\sigma_i$ を与える $\mathcal O_X$ 線形写像 $\lambda_i\colon\operatorname{Sym}^i(\operatorname{End}\mathbb E)\to\mathcal O_X$ が存在するのは、$i!$ が $\Gamma(X,\mathcal O_X)$ で可逆なときに限る。$i!$ が可逆なら $\lambda_i$ はただ一つ存在する。
段 1（存在すれば $i!$ は可逆）．$\mathbb E$ が自由になる空でない開集合 $U$ の上で基底をとり、$e_1,\dots,e_i$ を最初の $i$ 個の座標への射影（対角な冪等元）とする。$T\subset\{1,\dots,i\}$ について $e_T:=\sum_{j\in T}e_j$ とおくと、$\sigma_i(e_T)$ は $|T|< i$ なら $0$、$T=\{1,\dots,i\}$ なら $1$ である。対称冪の中で $e_T^{\,i}=\sum_\alpha\frac{i!}{\alpha!}e^\alpha$（$\alpha$ は台が $T$ に入る多重指数、$e^\alpha=\prod_je_j^{\alpha_j}$）なので、包除
$$\sum_{T\subset\{1,\dots,i\}}(-1)^{i-|T|}\lambda_i(e_T^{\,i})$$
をとると、台がちょうど $\{1,\dots,i\}$ の $\alpha=(1,\dots,1)$ だけが残り、左辺は $i!\,\lambda_i(e_1\cdots e_i)$、右辺は $\sum_T(-1)^{i-|T|}\sigma_i(e_T)=1$ である。よって $i!$ は $U$ の上で可逆で、$U$ は任意なので $X$ の上で可逆である。
段 2（一意性）．$i!$ が可逆なら、分極の恒等式 $\sum_{T\subset\{1,\dots,i\}}(-1)^{i-|T|}\bigl(\sum_{s\in T}v_s\bigr)^i=i!\,v_1\cdots v_i$ により、$\operatorname{Sym}^i(\operatorname{End}\mathbb E)$ は局所切断の $i$ 乗で生成される。したがって $\lambda_i$ は値 $\lambda_i(A^i)=\sigma_i(A)$ で決まる。
段 3（存在）．$i!$ が可逆なら、自由になる開集合の上で $\lambda(v_1\cdots v_i):=\frac1{i!}\sum_T(-1)^{i-|T|}\sigma_i\bigl(\sum_{s\in T}v_s\bigr)$ と定める。$i$ 次斉次多項式の完全な分極は対称な多重線形形式なので、これは $\operatorname{Sym}^i$ の上の線形形式で、$v_s=A$ とおくと段 2 の恒等式から $\lambda(A^i)=\sigma_i(A)$ である。$\sigma_i$ は共役で不変なので基底の取り方に依らず、段 2 の一意性で貼り合う。
$i=1$ なら $\lambda_1$ はトレースで、どの底でも存在する。$i\ge2$ では、底に $i$ 以下の剰余標数の点があると (6.25) は存在しない。とくに $\mathbf Z$ の上や標数 2 の底では 2 次の写像がない。$i!$ が可逆なら構成は意味をもち、しかも前の定義と一致する。
$G$ を単位群とし、$i\ge1$、$i!\in\Gamma(S,\mathcal O_S)^*$ とする（$i>r$ なら $\lambda_i=0$ とおく）。上の定義（本頁が入力とする原論文の主張）の (a)(b) の下で、$X$ 上の任意の局所自由加群 $\mathbb E$ について
$$c_i^{\mathrm{At}}(\mathbb E)=\lambda_i(\operatorname{At}(\mathbb E)^i)=\varepsilon_{\mathrm{At}}^{\,i}\,c_i^{\mathrm{Hdg}}(\mathbb E)\in H^i(X,\Omega^i_{X/S})$$
である。
段 1（直線束を商とするフィルトレーションの場合）．$0=\mathbb E_0\subset\cdots\subset\mathbb E_r=\mathbb E$ を局所自由な部分加群の列で $\mathbb L_j:=\mathbb E_j/\mathbb E_{j-1}$ が可逆なものとする。各商が局所自由なので列は局所的に分裂し、$X$ を、$\mathbb E$ がフィルトレーションに沿う基底をもつ開集合 $U_\alpha$ で覆える。$\nabla_\alpha$ をその基底での自明な接続とする。$\nabla_\alpha$ はフィルトレーションを保つので、差 $\nabla_\alpha-\nabla_\beta$ はフィルトレーションを保つ自己準同型の層 $\mathcal B\subset\operatorname{End}\mathbb E$ に係数をもつ。引用する事実 5 により、そのコサイクルは $\operatorname{At}(\mathbb E)$ の持ち上げ $\operatorname{At}_{\mathcal B}\in H^1(X,\mathcal B\otimes\Omega^1)$ を与え、各商への写像 $\mathcal B\to\bigoplus_j\operatorname{End}\mathbb L_j=\mathcal O_X^r$ による像は、誘導された接続の差、すなわち $(\operatorname{At}(\mathbb L_j))_j=(\varepsilon_{\mathrm{At}}a_j)_j$（$a_j:=c_1^{\mathrm{Hdg}}(\mathbb L_j)$）である。
段 2（三角行列）．$\mathcal B$ の局所切断は上三角行列で、$\sigma_i(B)=e_i(b_{11},\dots,b_{rr})$（基本対称式）である。$\mathcal O_X^r$ の標準基底を $e_1,\dots,e_r$ とし、$\mu\colon\operatorname{Sym}^i(\mathcal O_X^r)\to\mathcal O_X$ を、$e^\alpha$ を $\alpha$ が $0$ と $1$ だけからなれば $1/i!$、そうでなければ $0$ に送る写像とする。$D=\sum t_je_j$ について $D^i=\sum_\alpha\frac{i!}{\alpha!}t^\alpha e^\alpha$ なので $\mu(D^i)=e_i(t)$ である。$\lambda_i|_{\operatorname{Sym}^i\mathcal B}$ と、対角成分への写像の $\operatorname{Sym}^i$ に $\mu$ を合成したものは、どちらも $B^i$ を $e_i(b_{11},\dots,b_{rr})$ に送るので、上の命題の段 2 と同じ分極の論法で一致する。
段 3（フィルトレーションの場合の計算）．cup 積の冪は層の写像と可換なので、段 1・2 から $c_i^{\mathrm{At}}(\mathbb E)=\mu\bigl((\textstyle\sum_je_j\otimes\varepsilon_{\mathrm{At}}a_j)^i\bigr)$ である。次数 $(1,1)$ の類 $a_j$ は互いに可換なので、$(\sum_je_j\otimes a_j)^i=\sum_\alpha\frac{i!}{\alpha!}e^\alpha\otimes a^\alpha$ で、$\mu$ を施すと $e_i(a_1,\dots,a_r)$ が残る。(b) の加法性と正規化により $c^{\mathrm{Hdg}}(\mathbb E)=\prod_j(1+a_j)$ なので、$c_i^{\mathrm{At}}(\mathbb E)=\varepsilon_{\mathrm{At}}^{\,i}c_i^{\mathrm{Hdg}}(\mathbb E)$ である。
段 4（旗束による帰着）．一般の $\mathbb E$ について、引用する事実 6 の完全旗束 $f\colon F\to X$ をとる。局所的な接続は引き戻せるので $\operatorname{At}(f^*\mathbb E)$ は $f^*\operatorname{At}(\mathbb E)$ の $\Omega^1_{F/S}$ への像で、したがって $f^*c_i^{\mathrm{At}}(\mathbb E)=c_i^{\mathrm{At}}(f^*\mathbb E)$ である。$c_i^{\mathrm{Hdg}}$ も引き戻しと両立する。段 3 を $f^*\mathbb E$ に当て、$f^*\colon H^i(X,\Omega^i_{X/S})\to H^i(F,\Omega^i_{F/S})$ が単射であること（(a) の帰結）で $X$ に戻す。
$i=1$ では $i!=1$ なので、どの底でも $\operatorname{tr}\operatorname{At}(\mathbb E)=\varepsilon_{\mathrm{At}}c_1^{\mathrm{Hdg}}(\mathbb E)$ である。原論文の「困難なく移る」は $i=1$ と、$i!$ が可逆な底では正しい。困難が現れるのは、上の命題の段 1 の $i!$ である。
原論文（印字 pp. 295–296）は、Atiyah の構成が本節の一般の場合（任意の底 $S$）へ困難なく移り、冪 (6.24) に (6.25) を施して Hodge 型の Chern 類を与えると書く。この形は偽である。反例は標数 2 の底での 2 次の類である。$S=\operatorname{Spec}\mathbf F_2$、$X=\mathbf P^1\times\mathbf P^1$、$\mathbb E=\mathbb L_1\oplus\mathbb L_2$、$\mathbb L_1=\mathcal O(1,0)$、$\mathbb L_2=\mathcal O(0,1)$、$h_j:=c_1^{\mathrm{Hdg}}(\mathbb L_j)$ とする。引用する事実 6 の Künneth 公式により $H^2(X,\Omega^2)\cong H^1(\mathbf P^1,\Omega^1)^{\otimes2}\cong\mathbf F_2$ は $h_1h_2$ で生成され、$h_j^2$ は $H^2(\mathbf P^1,\Omega^2)=0$ からの引き戻しなので $0$ である。(b) により $c_2^{\mathrm{Hdg}}(\mathbb E)=h_1h_2\ne0$ である。一方、段 1 と同じく $\operatorname{At}(\mathbb E)=e_1\otimes\varepsilon_{\mathrm{At}}h_1+e_2\otimes\varepsilon_{\mathrm{At}}h_2$（$e_j$ は射影）で、
$$\operatorname{At}(\mathbb E)^2=e_1^2\otimes h_1^2+e_2^2\otimes h_2^2+e_1e_2\otimes(h_1h_2+h_2h_1)=2\,e_1e_2\otimes h_1h_2=0$$
である（$\varepsilon_{\mathrm{At}}^2=1$）。したがって $\operatorname{Sym}^2(\operatorname{End}\mathbb E)\to\mathcal O_X$ のどんな線形写像を施しても $0$ で、$c_2^{\mathrm{Hdg}}(\mathbb E)$ は得られない。この反例は原論文自身の枠組み（(a)(b)）の中のもので、Atiyah 類を主束の余接層の形と主部分の形のどちらで読んでも変わらない。同じ計算で、標数 $p$ の底では $X=(\mathbf P^1)^p$ の上で $i=p$ の反例ができる（係数 $p!$ が消える）。正しい形は上の定理（Atiyah 類による構成と前の定義の一致）である。
原論文の脚注（印字 p. 296）は、$\mathbb E$ を完全複体に広げる一般化と補足を準備中の Illusie の論文（原論文の文献 [24]）に送る。脚注の直前の本文は、作用群を書かないのは記号を簡単にするためで、一般の局所環付きトポスで考えれば不要だ、とも言う。本書はこれらを判定しない。
例と反例
まず、円分体の例を最小の場合で計算する。
$p^n=4$、$A=\mathbf Z[i]$ とする。$\Phi_4(x)=x^2+1$ なので $\Omega^1_{A/\mathbf Z}=A\,di/(2i\,di)\cong A/(2)$ で、$2=-i(1+i)^2$ だから位数 4 の加群 $A/(1+i)^2$ である。$G=\mu_4=\langle i\rangle$ の恒等表現の Hodge 型の $c_1$ は $i\mapsto di/i$ で $0$ でないが、$\Omega^1_{A/\mathbf Z}$ は $2$ で消えるので $2c_1=0$ である。体 $\mathbf Q(i)$ の上では同じ表現の類は $0$ である（$\mathbf Q(i)/\mathbf Q$ は分離代数的なので $\Omega^1_{\mathbf Q(i)/\mathbf Z}=0$）。係数を体から整数環に移すと第一 Chern 類が現れる。
次の例は、主結果 1 の上界が最良であることを示す。
$k_0=\mathbf Q(t_1,\dots,t_n)$、$G=\mathbf Z^n$、$E=L_1\oplus\cdots\oplus L_n$（$L_j$ は $j$ 番目の生成元を $t_j$ に送る指標）とすると、$\dim\Omega^1_{k_0/\mathbf Q}=n$ で、主結果 1 により $i>n$ の類は $0$ である。一方、本書『7-3 係数環が大きい場合と ℓ 進との食い違い』の任意次数の例により、$c_n(E)$ は Hodge 型・de Rham 型とも $0$ でない。したがって上界 $n$ は下げられない。
外す条件は $p^n\ge3$（すなわち $k\ne\mathbf Q$）である。$p^n=2$ なら $k=\mathbf Q$、$A=\mathbf Z$、$\zeta=-1$ で、$\Omega^1_{\mathbf Z/\mathbf Z}=0$ なので $G=\{\pm1\}$ の恒等表現の Hodge 型の $c_1$ は $\operatorname{Hom}(G,0)=0$ に入り、$0$ である。de Rham 型も $\operatorname{Filt}^1=0$ なので $0$ である。円分体の例の結論 (1)(3) はどちらも破れる。
その後の発展
以下は原論文の主張ではなく、後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書が文献を開いて確かめていないものはそう書く）。
- 射影束公式と Chern 類の形式：本頁が入力とした (6.10) と小節 6.3 の仮定は、Illusie の余接複体の理論 IllCC（1971〜72 年）や SGA 6 SGA6（1971 年）で一般の底について整備されたとされる。本書は所在を確かめていない。
- Atiyah 類の一般化：Illusie IllCC は Atiyah 類を余接複体を使って完全複体へ広げた。原論文の脚注の予告はこの系譜にあたるとみられる。本書は確かめていない。
- 正標数の Atiyah 類：標数 $0$ では Chern 指標を $\operatorname{tr}(\operatorname{At}^i)/i!$ の形で書くのが標準だが、正標数ではこの割り算ができない。本頁の反例はこの事情の最小の例である。後代の文献でこの問題がどう扱われたかは、本書は確かめていない。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Classes de Chern et représentations linéaires des groupes discrets Gro68d の小節 6.9〜6.11 である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 定義（本頁が入力とする原論文の主張） | (6.10)、小節 6.3 の仮定、小節 6.4 の期待 | 286–288 |
| 定理（次元による消滅）、注意（原論文の評価と超越次数） | 小節 6.9、(6.21) | 294 |
| 定理（作用が自明なときの Künneth 公式）、注意（小節 5.5・5.6 の類似） | 小節 6.9 の後半 | 294 |
| 定理（数体の整数環の微分） | 小節 6.10、(6.22) | 295 |
| 定理（円分体の例）、注意（原論文の仮定 k ≠ Q と p^n ≥ 3） | 小節 6.10 の後半 | 295 |
| 定義（Atiyah 類の冪と特性多項式の係数）、定義（Atiyah 類の符号） | 小節 6.11、(6.23)〜(6.26) | 295–296 |
| 命題（特性多項式の係数を与える線形形式） | (6.25) | 296 |
| 定理（Atiyah 類による構成と前の定義の一致）、注意（原論文の印字の形は標数 2 で破れる） | 小節 6.11（比較は文献 [15] に委ねる） | 295–296 |
原論文は Atiyah 類を $c(\mathbb E)$ と書くが、全 Chern 類と同じ文字になるので本頁は $\operatorname{At}(\mathbb E)$ と書いた。原論文の (6.22) の第二式の添字「$A/Z$」は $A/\mathbf Z$ の字形の揺れである。
参考文献
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