8-3 代数性は外せない：注意と反例
複素代数群への準同型について前頁で示した有理特性類の消滅が、どの仮定の下で成り立ち、どこで崩れるかを調べる。整係数では類が捩れとは限らないこと、実半単純群では Riemann 面の一意化から来る平坦束が反例になること、連結な複素 Lie 群というだけでも Serre の例で崩れることを示し、最後に連結簡約群の場合の算術的な別証明を述べる。
前提知識: 平坦束, 分類空間, Euler類, 群の拡大, 一意化定理, 普遍係数定理
この頁で示すこと
$\Gamma$ は離散群、$G$ は Lie 群、$u\colon\Gamma\to G$ は準同型、$B_u\colon B_\Gamma\to B_G$ はそれが誘導する分類空間の写像、$k$ は標数 $0$ の体で、コホモロジーは特異コホモロジーである。主 $G$ 束 $P\to X$ の分類写像を $f_P\colon X\to B_G$ とし、$k$ 係数の特性類を $f_P^*(H^*(B_G,k))$ の元、性質 (M) を本書『8-1 Milnor の定理の一般化：簡約群と可換群』の定義「主束の特性類と性質 (M)」のとおりとする。本書『8-2 構造論による帰着と定理の証明』の定理「複素代数群の場合の Milnor の定理」により、複素代数群の複素点の群は性質 (M) をもつ。
本頁の主結果は次の五つである。
- ホモロジーが有限型なら捩れと有理類の消滅は同値（原論文 Corollaires 7.2・7.3 の直後の注の前半、印字 p. 298）：連続写像 $f\colon X\to Y$ について、$Y$ の整係数ホモロジーが各次数で有限生成なら「整係数の類の引き戻しが正の次数で捩れ」から「$k$ 係数の類の引き戻しが正の次数で 0」が従い、$X$ の整係数ホモロジーが各次数で有限生成ならその逆が従う。［完結］
- 整係数では類は捩れとは限らない（同じ注の後半、印字 p. 298）：1 の $X$ の有限性は外せない。$\Gamma=\mu_{\ell^\infty}(\mathbf C)$ の $\mathbf C^*$ への包含では、$B_u^*$ は $k$ 係数で正の次数で $0$ だが、整係数の第一 Chern 類の引き戻しは捩れでない。［条件付き：本書『1-1 位相的 Chern 類と体の自己同型』の主結果「位相的第一 Chern 類は指標そのもの」と、$\mathbf C^*$ の分類空間を引用］
- 実半単純群では成り立たない（原論文 小節 0.9 と Remarques 7.5 b) 前半、印字 pp. 227、301）：種数 $g\ge2$ のコンパクト Riemann 面の一意化から来る $PSL(2,\mathbf R)$ への準同型と、その $SL(2,\mathbf R)$ への持ち上げについて、平坦束の有理 Euler 類は $0$ でない。したがって連結な実半単純 Lie 群 $PSL(2,\mathbf R)$、$SL(2,\mathbf R)$ は性質 (M) をもたない。［条件付き：一意化と単位接束の Euler 数、Lie 群の分類空間と極大コンパクト部分群、中心拡大と Euler 類を引用］
- 連結複素 Lie 群というだけでは成り立たない（原論文 小節 0.9 の複素 Lie 群についての主張と Remarques 7.5 b) 後半の Serre の例、印字 pp. 227、301–302）：複素 Heisenberg 群をその中心の整数点で割った連結な複素 Lie 群 $G$ と、整数 Heisenberg 群の像 $\Gamma\cong\mathbf Z^2$ について、2 次元トーラスの上の平坦な主 $G$ 束の 2 次の有理特性類は $0$ でない。［条件付き：Lie 群の分類空間、中心拡大と Euler 類を引用］
- 段 a) の算術的な置き換え（原論文 Remarques 7.5 a)、印字 p. 301）：連結な複素簡約 Lie 群が性質 (M) をもつことは、Chern–Weil 理論を使わずに、本書『4-3 総括定理と複素表現の有理 Chern 類』の主結果「複素表現の有理 Chern 類は 0」から従う。［条件付き：その主結果と、表現の Chern 類による分類空間の有理コホモロジーの生成を引用］
証明の性格は次のとおりである。主結果 1 は普遍係数の完全列だけで閉じる。主結果 2〜4 は第 0 章の分類空間・中心拡大・一意化の事実を引いて具体的な群で計算する反例で、主結果 3・4 は原論文の序論 0.9 が Milnor Mil58 を引いて述べる二つの否定的な主張（実の場合と複素の場合）を、どちらも本頁の中で立てる。主結果 5 は第 2〜4 章の算術的な理論に依る。
背景と動機
原論文の序論 0.9（印字 pp. 226–227）は、一般線形群について知られていた平坦束の有理特性類の消滅を述べたあと、この定理は $H$ が「連結な実 Lie 群（半単純でも）や一般の複素 Lie 群」のときには広がらないと書き、Milnor の論文の定理 2 の系を引く。付録 §7 で Théorème 7.1 を示したあと、原論文は Remarques 7.5 でこの否定をもう一度取り上げる（印字 pp. 301–302）。b) の前半は $G=SL(2,\mathbf R)$ の場合で、Milnor の結果により、種数 2 以上の滑らかな射影曲線から来る $X$ について、基本群をその普遍被覆の自己同型群に送る標準的な準同型が反例を与えるとする。後半は、J.-P. Serre に教えられたとして、$G$ が連結な複素 Lie 群というだけでも Théorème 7.1 が成り立たない例を挙げる。
原論文の序論 0.9 は主張を引用で済ませ、例を示さない。本書は、二つの否定的な主張のどちらも、Remarques 7.5 b) の二つの例で立てられることを確かめる。とくに複素 Lie 群の場合については、序論 0.9 の主張の形（有限多面体の上の平坦束の有理特性類）で反例になることを確かめる必要がある。Serre の例は分類空間の整係数の類について述べられているからである。
Remarques 7.5 a) は、Théorème 7.1 の証明の段 a) の位相的・微分幾何的な論法が、算術的に示した Corollaire 4.11 の参照で置き換えられるとし、序論 0.9 の注釈を見よと言う（印字 p. 301）。序論 0.9 は、付録の定理の算術的な証明も同じ不変性の論法でできるはずで、それが代数性の仮定の最も直接の深い理由を与える、という著者の見解を述べていた（印字 pp. 227–228）。本頁の主結果 5 はそのうち段 a) の部分を実行する。
そのほかに、系 7.2・7.3 の直後の短い注（印字 p. 298）がある。$X$ の整係数ホモロジーが各次元で有限型なら、有理特性類の消滅は整係数の特性類が捩れであることと同値で、有限性の仮定を外すとこの結論は崩れうる、と原論文は言い、Remarques 4.12 b) を見よとする。本頁の主結果 1・2 はこの注の二つの文に当たる。
定義と準備
主結果 1 は整係数の類と $k$ 係数の類を比べる。整係数の特性類をまず定める。
主 $G$ 束 $P\to X$ の整係数の特性類とは、分類写像 $f_P$ による引き戻し $f_P^*\colon H^*(B_G,\mathbf Z)\to H^*(X,\mathbf Z)$ の像の元をいう。係数の写像 $\mathbf Z\to k$ はコホモロジーの写像 $y\mapsto y_k$ を与え、$f_P^*(y)_k=f_P^*(y_k)$ である。$P=P_u$（$X=B_\Gamma$）のとき、整係数の特性類は $B_u^*(H^*(B_G,\mathbf Z))\subset H^*(\Gamma,\mathbf Z)$ の元である。
Serre の例に使う群を置く。原論文の「厳密な三角行列」は、対角成分が 1 の上三角行列と読む（次元 3 で中心が 1 次元という原論文の記述と合うのはこの読みである）。
複素数 $x,y,z$ について
$$n(x,y,z):=\begin{pmatrix}1&x&z\\0&1&y\\0&0&1\end{pmatrix}$$
とおく。$G'$ をこの形の行列の群（複素 Heisenberg 群）、$\Gamma'\subset G'$ を $x,y,z\in\mathbf Z$ のものの群（整数 Heisenberg 群）、$Z(G')$ を $G'$ の中心、$\Gamma'_0:=\Gamma'\cap Z(G')$ とする。$G:=G'/\Gamma'_0$、$\Gamma:=\Gamma'/\Gamma'_0$ とおき、$u\colon\Gamma\to G$ を包含が誘導する準同型とする。積と交換子は
$$n(x,y,z)\,n(x',y',z')=n(x+x',\,y+y',\,z+z'+xy'),\qquad [n(x,y,z),n(x',y',z')]=n(0,0,\,xy'-x'y)$$
である。
積の式から、$G'$ は $\mathbf C^3$ の上の正則な群演算をもつ複素 Lie 群で、中心は $Z(G')=\{n(0,0,z)\}\cong\mathbf C$、$\Gamma'_0=\{n(0,0,m):m\in\mathbf Z\}\cong\mathbf Z$ である。交換子が $\Gamma'_0$ に入るので $\Gamma\cong\mathbf Z^2$（$(x,y)$ による）である。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。出典は主に CE56、Mil56I、Mil58 で、該当箇所は本頁では確認していない。要点は本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』にある。1 は初等的なホモロジー代数で、本書の判定では［完結］の根拠に数える。
- 普遍係数の完全列（本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』の定理「普遍係数定理」。空間の特異コホモロジーでも同じ）：アーベル群 $M$ について自然な完全列 $0\to\operatorname{Ext}^1(H_{i-1}(X,\mathbf Z),M)\to H^i(X,M)\to\operatorname{Hom}(H_i(X,\mathbf Z),M)\to0$ があり、係数の写像と連続写像について自然である。有限生成アーベル群 $A$ について $\operatorname{Ext}^1(A,\mathbf Z)$ は有限で、$\mathbf Q$ 線形空間 $V$ について $\operatorname{Ext}^1(A,V)=0$（任意の $A$）である。
- 離散群の分類空間（本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』の定理「離散群の分類空間」「巡回群と自由アーベル群のコホモロジー」）：$H^*(B_\Gamma,M)=H^*(\Gamma,M)$。$B_{\mathbf Z^2}$ は 2 次元トーラス $T^2$ で、$H^2(\mathbf Z^2,\mathbf Z)\cong\mathbf Z$。群のホモロジーは部分群の有向な合併について帰納極限と可換で、有限群のホモロジーは正の次数で捩れ群である。
- 平坦束（本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』の定理「平坦束と基本群の表現」の (2)(3)）：$B_\Gamma$ の上の平坦束 $P_u$ の分類写像は $B_u$ である。$\chi\colon\Gamma\to\mathbf C^*$ について、$B_\chi^*c_1$（$c_1\in H^2(B_{\mathbf C^*},\mathbf Z)$ は普遍な第一 Chern 類）は付随直線束 $L_\chi$ の $c_1$ である。
- 位相的第一 Chern 類と指標（本書『1-1 位相的 Chern 類と体の自己同型』の主結果「位相的第一 Chern 類は指標そのもの」）：約束だけで決まる普遍符号 $\varepsilon=\pm1$ があって $c_1(L_\chi)=\varepsilon\,\delta_{\exp}(\chi)$ である。
- Lie 群の分類空間（本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』の定理「Lie 群の分類空間と極大コンパクト部分群」の (2)(5)(6)）：連結成分が有限個の Lie 群 $G$ について、極大コンパクト部分群 $K$ があって $G$ は位相空間として $K\times\mathbf R^N$ と同相で、$B_K\to B_G$ はホモトピー同値で、$H^q(B_G,\mathbf Z)$ は各次数で有限生成である。$H^*(B_{\mathbf C^*},\mathbf Z)=\mathbf Z[c_1]$。$PSO(2)\subset PSL(2,\mathbf R)$、$SO(2)\subset SL(2,\mathbf R)$ は極大コンパクト部分群で、どちらも円周であり、$H^*(B_{SO(2)},\mathbf Q)=\mathbf Q[e]$（$e$ は Euler 類）、$H^*(B_{SL(2,\mathbf C)},\mathbf Q)=\mathbf Q[c_2]$（$\deg c_2=4$）である。
- 中心拡大と Euler 類（同じ頁の定理「中心拡大と Euler 類」の (1)〜(4)）：(a) 離散群の中心拡大 $1\to\mathbf Z\to\Gamma'\to\Gamma\to1$ は類 $e(\Gamma')\in H^2(\Gamma,\mathbf Z)$ を定め、$e(\Gamma')=0$ は $\Gamma'\cong\mathbf Z\times\Gamma$ と同値である。(b) 可縮な Lie 群 $\tilde G$ の中心に含まれる離散部分群 $A\cong\mathbf Z$ について $G=\tilde G/A$ とおくと、$H^*(B_G,\mathbf Z)=\mathbf Z[c]$（$\deg c=2$）で、離散部分群 $\Gamma\subset G$ の $\tilde G$ での逆像を $\Gamma'$ とすると、$B_\Gamma\to B_G$ による $c$ の引き戻しは中心拡大 $1\to A\to\Gamma'\to\Gamma\to1$ の類である。(c) $H^2(\mathbf Z^2,\mathbf Z)$ の生成元に当たる中心拡大は整数 Heisenberg 群である。(d) 同じことが $\mathbf Z/2$ による中心拡大でも成り立ち（類は $H^2(\Gamma,\mathbf Z/2)$ に入り、$0$ なら拡大は分裂する）、$\mathbf Z$ による中心拡大を準同型 $\mathbf Z\to\mathbf Z/2$ で押し出した拡大の類は、係数の写像 $H^2(\Gamma,\mathbf Z)\to H^2(\Gamma,\mathbf Z/2)$ による像である（CE56。(d) は第 0 章には置いていない）。
- 一意化と Euler 数（同じ頁の定理「Riemann 面の一意化と単位接束の Euler 数」の (1)〜(4)）：種数 $g\ge2$ のコンパクト Riemann 面 $X$ の普遍被覆は上半平面 $\mathfrak H$ で、$\pi_1(X)$ は $PSL(2,\mathbf R)=\operatorname{Aut}(\mathfrak H)$ の離散部分群として自由に働き、$X=\pi_1(X)\backslash\mathfrak H$。$PSL(2,\mathbf R)$ は $\mathfrak H$ の単位接束に単純推移的に働き、$X$ の単位接束は $\pi_1(X)\backslash PSL(2,\mathbf R)$ である。その Euler 類は $H^2(X,\mathbf Z)\cong\mathbf Z$ で $\pm(2-2g)$ に当たる。$SL(2,\mathbf R)\to PSL(2,\mathbf R)$ は極大コンパクト部分群の上で円周の 2 乗写像で、Euler 類は引き戻しで 2 倍になる。
- 表現による生成（同じ頁の定理「Lie 群の分類空間と極大コンパクト部分群」の (7)）：連結な複素簡約群 $H$ について、$H^*(B_H,\mathbf Q)$ は $H$ の複素線形表現 $\rho\colon H\to\mathrm{GL}_N(\mathbf C)$ に付随する束の Chern 類 $B_\rho^*c_j$ で環として生成される。原論文の序論 0.9 の脚注はこれを周知とし、本書は文献で確かめていない。
- 複素表現の有理 Chern 類（本書『4-3 総括定理と複素表現の有理 Chern 類』の主結果「複素表現の有理 Chern 類は 0」）：任意の離散群の有限次元複素表現 $E$ について、位相的 Chern 類の有理像 $c_i(E)_{\mathbf Q}$ は $i\ge1$ で $0$ である。
1・2 はホモロジー代数と群のコホモロジー、3〜8 は第 0 章の位相の事実、9 は本書の算術的な部分の結論である。
主結果と証明
まず系 7.2・7.3 の直後の注を扱う。有理係数で消えることと整係数で捩れであることは、どちらの空間の有限性で結ばれるかが向きによって違う。
整係数の類と有理係数の類
$f\colon X\to Y$ を連続写像、$k$ を標数 $0$ の体とする。次の二つの条件を考える。
(T) すべての $i>0$ と $y\in H^i(Y,\mathbf Z)$ について、$f^*y\in H^i(X,\mathbf Z)$ は捩れ元である。
(V) すべての $i>0$ について、$f^*\colon H^i(Y,k)\to H^i(X,k)$ は $0$ である。
(1) $H_i(Y,\mathbf Z)$ がすべての $i>0$ で有限生成なら、(T) から (V) が従う。
(2) $H_{i-1}(X,\mathbf Z)$ がすべての $i>0$ で有限生成なら、(V) から (T) が従う。
とくに $X$ と $Y$ の整係数ホモロジーがともに各次数で有限生成なら、(T) と (V) は同値である。
段 1（捩れ元と係数の拡大）．アーベル群 $A$ について $A\to A\otimes_{\mathbf Z}k$ の核は $A$ の捩れ部分群である。実際、$A\to A\otimes\mathbf Q$ の核は捩れ部分群で、$k$ は $\mathbf Q$ 線形空間として自由なので $A\otimes\mathbf Q\to(A\otimes\mathbf Q)\otimes_{\mathbf Q}k=A\otimes k$ は単射である。また $k$ は捩れを含まないので $\mathbf Z$ 上平坦で、$\mathbf Q$ 線形空間なので $\operatorname{Ext}^1(\cdot,k)=0$ である（引用する事実 1）。
段 2（$Y$ の側：全射性）．引用する事実 1 により $H^i(Y,k)=\operatorname{Hom}(H_i(Y,\mathbf Z),k)$ で、$H^i(Y,\mathbf Z)\to\operatorname{Hom}(H_i(Y,\mathbf Z),\mathbf Z)$ は全射である。$H_i(Y,\mathbf Z)\cong\mathbf Z^s\oplus F$（$F$ は有限）なら、$\operatorname{Hom}(H_i,k)=k^s$ は $\operatorname{Hom}(H_i,\mathbf Z)=\mathbf Z^s$ の元の $k$ 係数の一次結合で尽くされる。よって $H^i(Y,k)$ の元は $\sum_jc_j(y_j)_k$（$c_j\in k$、$y_j\in H^i(Y,\mathbf Z)$）と書ける。
段 3（(1) の証明）．$x=\sum_jc_j(y_j)_k$ とすると $f^*x=\sum_jc_j(f^*y_j)_k$ である。(T) により $f^*y_j$ は捩れ元で、$H^i(X,k)$ は $k$ 線形空間なので $(f^*y_j)_k=0$。よって $f^*x=0$。
段 4（$X$ の側：単射性）．引用する事実 1 の列に $\otimes k$ を当てると、平坦性により完全列 $0\to\operatorname{Ext}^1(H_{i-1}(X),\mathbf Z)\otimes k\to H^i(X,\mathbf Z)\otimes k\to\operatorname{Hom}(H_i(X),\mathbf Z)\otimes k\to0$ を得る。$H_{i-1}(X)$ が有限生成なら左端は有限群と $k$ のテンソル積で $0$ なので、$H^i(X,\mathbf Z)\otimes k\cong\operatorname{Hom}(H_i(X),\mathbf Z)\otimes k$ である。自然な写像 $\operatorname{Hom}(H_i(X),\mathbf Z)\otimes k\to\operatorname{Hom}(H_i(X),k)=H^i(X,k)$ は単射である：$\operatorname{Hom}(H_i,\mathbf Z)\otimes\mathbf Q\to\operatorname{Hom}(H_i,\mathbf Q)$ は $\phi\otimes\frac1n\mapsto\frac1n\phi$ で単射であり、$k$ の $\mathbf Q$ 上の基底 $(b_\lambda)$ をとると $\sum_\lambda\psi_\lambda\otimes b_\lambda$（$\psi_\lambda\in\operatorname{Hom}(H_i,\mathbf Q)$）の像 $h\mapsto\sum_\lambda\psi_\lambda(h)b_\lambda$ が $0$ ならすべての $\psi_\lambda$ が $0$ だからである。以上から $H^i(X,\mathbf Z)\otimes k\to H^i(X,k)$ は単射である。
段 5（(2) の証明）．$y\in H^i(Y,\mathbf Z)$ について、$f^*y$ の $H^i(X,k)$ での像は $(f^*y)_k=f^*(y_k)$ で、(V) により $0$ である。段 4 の単射性により $f^*y\otimes1=0$ で、段 1 により $f^*y$ は捩れ元である。
原論文の注（印字 p. 298）は、$X$ の整係数ホモロジーが各次元で有限型なら、系 7.2・7.3 の結論は整係数の特性類が正の次元で捩れであることと同値だ、と言う。上の定理を $f=f_P$、$Y=B_G$ に当てるとこの形になる。
原論文の注は $X$ の有限性だけを仮定するが、(T) から (V) を出すには $Y=B_G$ の側の有限性も要る。Théorème 7.1 の $G$ は成分群が有限な Lie 群なので、引用する事実 5 により $H_i(B_G,\mathbf Z)$ は各次数で有限生成で、この仮定は自動的に満たされる。本書はこの有限性を第 0 章から引くので、上の定理そのものは［完結］、それを Théorème 7.1 の $G$ に当てる段は引用する事実 5 に依る。当てはめると、複素代数群の複素点の群 $G$ と、整係数ホモロジーが各次数で有限型の連結な CW 複体 $X$（たとえば有限 CW 複体）について、平坦な主 $G$ 束の整係数の特性類は正の次数で捩れである（本書『8-2 構造論による帰着と定理の証明』の系「平坦主束の有理特性類は消える」と上の定理の (2) による）。
- の $X$ の有限性は飾りではない。原論文は注の最後で、有限性の仮定を外すと結論が崩れうるとして Remarques 4.12 b) を指す。
$\ell$ を素数、$\Gamma=\mu_{\ell^\infty}(\mathbf C)$（1 の $\ell$ 冪乗根全体の群、離散）、$G=\mathbf C^*=\mathrm{GL}_1(\mathbf C)$、$u\colon\Gamma\to G$ を包含とする。$f=B_u\colon B_\Gamma\to B_G$ は上の定理の条件 (V) を満たすが (T) を満たさない。すなわち $B_u^*$ は $k$ 係数で正の次数で $0$ だが、$B_u^*c_1\in H^2(\Gamma,\mathbf Z)$ は捩れ元でない。$H_1(B_\Gamma,\mathbf Z)=\Gamma$ は有限生成でなく、上の定理の (2) の仮定が破れている。
段 1（(V)）．$\Gamma$ は有限巡回群 $\mu_{\ell^n}(\mathbf C)$ の有向な合併なので、引用する事実 2 により $H_i(\Gamma,\mathbf Z)$（$i>0$）は捩れ群である。引用する事実 1 により $H^i(\Gamma,k)=\operatorname{Hom}(H_i(\Gamma,\mathbf Z),k)=0$（$i>0$）で、$B_u^*$ は $0$ である。$G$ は複素代数群の複素点の群なので、これは Théorème 7.1 とも合う。
段 2（整係数の類の計算）．引用する事実 3・4 により $B_u^*c_1=c_1(L_u)=\varepsilon\,\delta_{\exp}(u)$ である。$\psi\colon\Gamma\to\mathbf Q/\mathbf Z$ を $\varphi\circ\psi=u$（$\varphi(q)=\exp(2\pi iq)$）で定めると、係数の完全列の射 $(0\to\mathbf Z\to\mathbf Q\to\mathbf Q/\mathbf Z\to0)\to(0\to\mathbf Z\to\mathbf C\to\mathbf C^*\to0)$（中央は包含、右は $\varphi$）と余境界の自然性により $\delta_{\exp}(u)=\delta_{\mathbf Q/\mathbf Z}(\psi)$ である。
段 3（捩れでないこと）．$\Gamma$ は捩れ群なので $H^1(\Gamma,\mathbf Q)=\operatorname{Hom}(\Gamma,\mathbf Q)=0$、段 1 と同じく $H^2(\Gamma,\mathbf Q)=0$ である。長完全列により $\delta_{\mathbf Q/\mathbf Z}\colon H^1(\Gamma,\mathbf Q/\mathbf Z)=\operatorname{Hom}(\Gamma,\mathbf Q/\mathbf Z)\to H^2(\Gamma,\mathbf Z)$ は同型である。$\operatorname{Hom}(\Gamma,\mathbf Q/\mathbf Z)=\operatorname{Hom}(\mathbf Q_\ell/\mathbf Z_\ell,\mathbf Q/\mathbf Z)\cong\mathbf Z_\ell$ は捩れを含まず、$\psi$ は単射なので $0$ でない。よって $\delta_{\mathbf Q/\mathbf Z}(\psi)$ は捩れ元でなく、$B_u^*c_1=\pm\delta_{\mathbf Q/\mathbf Z}(\psi)$ も捩れ元でない。
同じ計算は本書『4-3 総括定理と複素表現の有理 Chern 類』の例「反例：トレースの体の有限型を外すと整係数の類は捩れとは限らない」にもある。そこではトレースの体の有限性が破れている点を見たが、ここでは底 $B_\Gamma$ のホモロジーの有限性が破れている点を見ている。$B_\Gamma$ は有限 CW 複体ではない。
これで系 7.2・7.3 の注の二つの文が確かめられた。次に、代数性の仮定を外した二つの反例に進む。
実半単純群の反例
$X$ を種数 $g\ge2$ のコンパクト Riemann 面、$\pi:=\pi_1(X)$、$\rho\colon\pi\to PSL(2,\mathbf R)$ を一意化による標準的な準同型（$\pi$ を普遍被覆 $\mathfrak H$ の被覆変換の群として $\operatorname{Aut}(\mathfrak H)$ に送るもの）とする。
(1) $e\in H^2(B_{PSL(2,\mathbf R)},\mathbf Q)$ を極大コンパクト部分群 $PSO(2)$ の Euler 類から来る生成元とすると、平坦束 $P_\rho$ の $e(P_\rho)\in H^2(X,\mathbf Q)$ は $0$ でない。
(2) $\rho$ は準同型 $\tilde\rho\colon\pi\to SL(2,\mathbf R)$ に持ち上がり、$SL(2,\mathbf R)$ の極大コンパクト部分群 $SO(2)$ の Euler 類から来る $e'\in H^2(B_{SL(2,\mathbf R)},\mathbf Q)$ について $e'(P_{\tilde\rho})\ne0$ である。
(3) したがって連結な実半単純 Lie 群 $PSL(2,\mathbf R)$ と $SL(2,\mathbf R)$ は性質 (M) をもたない。
段 1（分類空間）．引用する事実 5 により $B_{PSO(2)}\to B_{PSL(2,\mathbf R)}$ はホモトピー同値で、$H^*(B_{PSL(2,\mathbf R)},\mathbf Q)=\mathbf Q[e]$ である。主 $PSL(2,\mathbf R)$ 束 $P$ の構造群を $PSO(2)$ に簡約した円周束を $Q$ とすると、$f_P^*e$ は $Q$ の Euler 類である。
段 2（簡約の具体形）．$P_\rho=\mathfrak H\times_\pi PSL(2,\mathbf R)$ で、$\pi$ は $\mathfrak H$ に被覆変換として、$PSL(2,\mathbf R)$ に $\rho$ を通して左から働く。$K:=PSO(2)$ を点 $\sqrt{-1}\in\mathfrak H$ の固定群とし、$Q:=\{[z,h]\in P_\rho:h\cdot\sqrt{-1}=z\}$ とおく。$[\gamma z,\rho(\gamma)h]$ も同じ条件を満たすので $Q$ は矛盾なく定まり、右からの $K$ の作用で保たれ、$K$ 束の簡約になる。写像 $Q\to\rho(\pi)\backslash PSL(2,\mathbf R)$、$[z,h]\mapsto\rho(\pi)h$ は全単射で（逆は $h\mapsto[h\cdot\sqrt{-1},h]$）、$K$ の右作用と両立する。引用する事実 7 により右辺は $X$ の単位接束で、$K$ はそのファイバーの回転として働く。
段 3（Euler 数）．引用する事実 7 により $X$ の単位接束の Euler 類は $H^2(X,\mathbf Z)\cong\mathbf Z$ で $\pm(2-2g)$ で、$g\ge2$ なので $0$ でない。$H^2(X,\mathbf Z)\cong\mathbf Z$ は捩れを含まないので、有理係数でも $e(P_\rho)\ne0$ である。これが (1) である。
段 4（持ち上げ）．$PSL(2,\mathbf R)$ は位相空間として円周と $\mathbf R^2$ の積なので（引用する事実 5）、その普遍被覆 $\widetilde{PSL}$ は可縮で、被覆の核 $A\cong\mathbf Z$ は中心に含まれる離散部分群である。$\rho$ は単射で $\rho(\pi)$ は離散部分群なので、引用する事実 6 (b) により $\rho(\pi)$ の $\widetilde{PSL}$ での逆像 $\tilde\pi$ の中心拡大の類は $B_\rho^*c$（$c$ は $H^2(B_{PSL(2,\mathbf R)},\mathbf Z)\cong\mathbf Z$ の生成元）で、段 3 により $\pm(2-2g)$ に当たる。ここで $X=\pi\backslash\mathfrak H$ は可縮な $\mathfrak H$ の商なので $B_\pi\simeq X$ で、$H^2(\pi,\mathbf Z)=H^2(X,\mathbf Z)$ と見た。$SL(2,\mathbf R)$ は $\widetilde{PSL}/2A$ で、$\rho(\pi)$ の $SL(2,\mathbf R)$ での逆像は $\tilde\pi$ を $A\to A/2A=\mathbf Z/2$ で押し出した中心拡大である。引用する事実 6 (d) によりその類は $\pm(2-2g)$ の $\bmod 2$ の像で、$2-2g$ は偶数なので $0$ である。よってこの拡大は分裂し、分裂が持ち上げ $\tilde\rho$ を与える。
段 5（持ち上げた束）．射影 $q\colon SL(2,\mathbf R)\to PSL(2,\mathbf R)$ について $q\circ\tilde\rho=\rho$ なので、$B_\rho^*e=B_{\tilde\rho}^*B_q^*e$ である。引用する事実 7 により $B_q^*e=2e'$ なので、$B_{\tilde\rho}^*e'=\frac12B_\rho^*e\ne0$ である。これが (2) である。
段 6（性質 (M) の否定）．$\Gamma=\pi$、$u=\rho$（または $\tilde\rho$）とすると $B_\Gamma\simeq X$ で、(1)(2) は $B_u^*$ が $H^2$ で $0$ でないことを言う。$PSL(2,\mathbf R)$、$SL(2,\mathbf R)$ は連結な実半単純 Lie 群である。
段 5 から、持ち上げた束の Euler 数は $\pm(1-g)$ である。原論文は $G=SL(2,\mathbf R)$ と書きながら、準同型の値域を「$G$ をその中心 $\pm1$ で割った群」とする。上の定理はどちらの群でも反例になることを示す。
$\tilde\rho$ を $SL(2,\mathbf R)\subset SL(2,\mathbf C)$ に合成すると、複素代数群 $SL_2$ の複素点の群への準同型になり、本書『8-2 構造論による帰着と定理の証明』の定理「複素代数群の場合の Milnor の定理」によりその有理特性類は正の次数で $0$ である。実際、引用する事実 5 により $H^*(B_{SL(2,\mathbf C)},\mathbf Q)=\mathbf Q[c_2]$ は 2 次の元をもたず、$e'$ は $SL(2,\mathbf C)$ の分類空間から来ない。矛盾はない。また $SL(2,\mathbf R)$ は $\mathbf R$ 上の代数群 $SL_2$ の実点の群である。Remarques 7.5 b) の「代数性の仮定を外すと」は、複素代数群の複素点の群であるという仮定を外すと、の意味に読む。実代数群の実点の群では Théorème 7.1 は成り立たない。
実の群では極大コンパクト部分群の類が複素化の側から見えないことが反例を許した。複素 Lie 群でも、代数的でなければ同じことが起こる。
複素 Lie 群の反例
$G'$、$\Gamma'$、$\Gamma'_0$、$G=G'/\Gamma'_0$、$\Gamma=\Gamma'/\Gamma'_0\cong\mathbf Z^2$、$u\colon\Gamma\to G$ を上の定義（Serre の例の群）のとおりとする。
(1) $G$ は連結な複素 Lie 群で、$H^*(B_G,\mathbf Z)=\mathbf Z[c]$（$\deg c=2$）である。
(2) $B_u^*c\in H^2(\Gamma,\mathbf Z)\cong\mathbf Z$ は捩れ元でなく（実際、生成元の $\pm1$ 倍である）、$B_u^*\colon H^2(B_G,\mathbf Q)\to H^2(B_\Gamma,\mathbf Q)$ は $0$ でない。
(3) したがって $G$ は性質 (M) をもたない。さらに、2 次元トーラス $T^2=B_{\mathbf Z^2}$（有限多面体）の上の平坦な主 $G$ 束 $P_u$ について、2 次の有理特性類 $c_{\mathbf Q}(P_u)\in H^2(T^2,\mathbf Q)$ は $0$ でない。
(4) $G$ は $\mathbf C$ 上の代数群の複素点の群と、複素 Lie 群として同型でない。
段 1（群の構造）．上の定義の積の式により、座標 $(x,y,z)$ は $G'$ と $\mathbf C^3$ の同相を与え、$G'$ は可縮な複素 Lie 群である。$\Gamma'_0=\{n(0,0,m)\}$ は中心 $Z(G')$ に含まれる離散部分群で $\mathbf Z$ と同型なので、$G=G'/\Gamma'_0$ は連結な複素 Lie 群である。$\Gamma'$ は $G'$ の閉じた離散部分群で $\Gamma'_0$ を含むので、その像 $\Gamma$ は $G$ の離散部分群で、$\Gamma$ の $G'$ での逆像は $\Gamma'$ そのものである。
段 2（分類空間）．引用する事実 6 (b) を $\tilde G=G'$、$A=\Gamma'_0$ に当てると $H^*(B_G,\mathbf Z)=\mathbf Z[c]$ で、これが (1) である。
段 3（引き戻しは拡大の類）．同じ事実により、$B_u^*c$ は中心拡大 $1\to\Gamma'_0\to\Gamma'\to\Gamma\to1$ の類 $e(\Gamma')\in H^2(\Gamma,\mathbf Z)$ である。
段 4（拡大は分裂しない）．交換子の式により $[n(1,0,0),n(0,1,0)]=n(0,0,1)\ne1$ で、$\Gamma'$ は可換でない。引用する事実 6 (a) により $e(\Gamma')=0$ なら $\Gamma'\cong\mathbf Z\times\mathbf Z^2$ は可換になるので、$e(\Gamma')\ne0$ である。引用する事実 2 により $H^2(\mathbf Z^2,\mathbf Z)\cong\mathbf Z$ は捩れを含まないので、$B_u^*c$ は捩れ元でない。$\Gamma'$ は $x,y$ の生成元 $n(1,0,0)$、$n(0,1,0)$ の交換子が中心の生成元 $n(0,0,1)$ になる整数 Heisenberg 群そのものなので、引用する事実 6 (c) により $e(\Gamma')$ は生成元の $\pm1$ 倍である。
段 5（有理係数へ）．$H_1(\mathbf Z^2,\mathbf Z)=\mathbf Z^2$ は有限生成なので、引用する事実 1 により $H^2(\mathbf Z^2,\mathbf Z)\otimes\mathbf Q\to H^2(\mathbf Z^2,\mathbf Q)$ は単射で（上の定理（ホモロジーが有限型なら捩れと有理類の消滅は同値）の証明の段 4）、$B_u^*(c_{\mathbf Q})=(B_u^*c)_{\mathbf Q}\ne0$ である。これで (2) が示された。
段 6（トーラスの上の平坦束）．引用する事実 2・3 により $B_{\mathbf Z^2}=T^2$ で、その上の平坦束 $P_u$ の分類写像は $B_u$ なので、$c_{\mathbf Q}(P_u)=B_u^*(c_{\mathbf Q})\ne0$ である。$T^2$ は有限多面体である。(2) と合わせて (3) が示された。
段 7（代数的でないこと）．$G$ が $\mathbf C$ 上の代数群 $H$ の複素点の群 $H(\mathbf C)$ と複素 Lie 群として同型なら、同型は分類空間のホモトピー同値を誘導し、本書『8-2 構造論による帰着と定理の証明』の定理「複素代数群の場合の Milnor の定理」により $G$ は性質 (M) をもつ。これは (3) に反する。
原論文は、$G$ の極大コンパクト部分群が円周 $\mathbf R/\mathbf Z$ であることから整係数の分類コホモロジーが次数 2 の類 $c$ で生成されるとし、$c$ を拡大 $G'$ の分裂の障害と解釈し（Giraud Gir71 の『Cohomologie non abélienne』の最終章を見よとする）、$B_\Gamma$ への引き戻しは $\Gamma'$ の拡大の類で、それが捩れでないことは「容易に確かめられる」と書く（印字 p. 302）。上の段 2〜4 がその中身である。極大コンパクト部分群の記述は、$G$ が中心 $Z(G')/\Gamma'_0\cong\mathbf C/\mathbf Z\cong\mathbf C^*$ と可縮な商 $G/(\mathbf C/\mathbf Z)\cong\mathbf C^2$ をもつことから、段 2 と合う。
序論 0.9 は、平坦束の有理特性類の消滅 (0.19) が「一般の複素 Lie 群」には広がらないと述べる（印字 p. 227）。(0.19) は位相空間（望むなら有限多面体）$X$ の上の平坦束についての主張で、上の定理の (3) は、有限多面体 $X=T^2$ と連結な複素 Lie 群 $G$ について、平坦束の 2 次の有理特性類が $0$ でないことを与える。したがって序論 0.9 の否定的な主張は、複素の場合も Serre の例で立つ。整係数の類 $B_u^*c$ が捩れでないことだけでなく、$H^2(T^2,\mathbf Z)$ が捩れを含まないことから有理類が $0$ でないことまで確かめたのは、序論が有理係数で述べているからである。原論文は序論で Milnor Mil58 の定理 2 の系を引くが、その系が複素の場合を含むかどうかを本書は確かめていない。原論文は付録で「$\Gamma'$、したがって $G'$ が可換になってしまう」と理由を書くが、上の証明の段 4 のとおり $\Gamma'$ が可換でないことだけで足りる。原論文の「$B$ の上への逆像」の $B$ は $B_\Gamma$ と読む。
連結な可換複素 Lie 群では、代数的でなくても（たとえば代数的でない複素トーラスでも）本書『8-1 Milnor の定理の一般化：簡約群と可換群』の定理「連結可換群の場合」により性質 (M) が成り立つ。したがって複素 Lie 群の反例は可換でない群に求める必要があり、Serre の例は次元 3 の冪零群をその中心の整数点で割ったものである。
段 a) の算術的な置き換え
最後に Remarques 7.5 a) を扱う。Théorème 7.1 の証明で Chern–Weil 理論を使うのは段 a) だけで、そこを算術的な結果で置き換える。
$G$ を連結な複素簡約 Lie 群（本書『8-1 Milnor の定理の一般化：簡約群と可換群』の定義「連結な複素簡約 Lie 群」）とする。任意の離散群 $\Gamma$、準同型 $u\colon\Gamma\to G$、標数 $0$ の体 $k$ について $B_u^*\colon H^i(B_G,k)\to H^i(B_\Gamma,k)$ は $i>0$ で $0$ である。この証明は Chern–Weil 理論を使わず、本書『4-3 総括定理と複素表現の有理 Chern 類』の主結果「複素表現の有理 Chern 類は 0」から従う。
段 1（生成元の像）．引用する事実 8 により $H^*(B_G,\mathbf Q)$ は $B_\rho^*c_j$（$\rho\colon G\to\mathrm{GL}_N(\mathbf C)$ は複素線形表現、$c_j\in H^{2j}(B_{\mathrm{GL}_N(\mathbf C)},\mathbf Q)$）で環として生成される。$B_u^*B_\rho^*c_j=B_{\rho\circ u}^*c_j$ で、引用する事実 3 によりこれは離散群 $\Gamma$ の表現 $\rho\circ u$ の位相的 Chern 類の有理像 $c_j(\rho\circ u)_{\mathbf Q}$ である。引用する事実 9 により $j\ge1$ で $0$ である。
段 2（環準同型）．$B_u^*$ は環準同型なので、正の次数の生成元がすべて $0$ に行けば正の次数の全体が $0$ に行く。よって $k=\mathbf Q$ で主張が成り立つ。
段 3（係数の拡大）．引用する事実 5 により $H_i(B_G,\mathbf Z)$ は有限生成なので、上の定理（ホモロジーが有限型なら捩れと有理類の消滅は同値）の証明の段 2 と同じく $H^i(B_G,k)$ は $H^i(B_G,\mathbf Q)$ の元の $k$ 係数の一次結合で尽くされる。係数の写像は $B_u^*$ と可換なので、$k$ 係数でも $0$ である。
原論文は Remarques 7.5 a) で、段 a) を 4.11 の参照で置き換えられるとだけ書く（印字 p. 301）。本書『8-1 Milnor の定理の一般化：簡約群と可換群』の主結果「序論の二つの言い方の同値と一般線形群の場合」の算術的な経路は、上の証明の $G=\mathrm{GL}_n(\mathbf C)$ の場合で、そこでは生成の事実は $H^*(B_{\mathrm{GL}_n(\mathbf C)},\mathbf Q)=\mathbf Q[c_1,\dots,c_n]$ に置き換わる。同じ頁の注意「原論文の経路と表現による生成」は、序論 0.9 が連結な複素簡約群の場合を同じ生成の事実から出す経路を記録している（同じ頁の主結果「簡約群・コンパクト群への拡張」そのものは、生成の事実を使わずに段 a) から示されている）。
段 b) は $\mathbf C^*$ の場合に戻して段 a) を使うので、上の定理で段 a) を置き換えれば段 b) も Chern–Weil 理論を使わなくなる。一方、段 c)・d)（本書『8-2 構造論による帰着と定理の証明』）の転送、ファイブレーション、可縮な単冪部分群を割る段は分類空間の位相の議論で、置き換わらない。原論文の序論 0.9 が述べる、Théorème 7.1 全体の算術的な証明（代数群の分類コホモロジーの代数的な理論による）と、それが代数性の仮定の最も直接の深い理由を与えるという見解は、原論文の著者の見解として記録する。本書はその証明を与えていない。算術的な経路は引用する事実 8 の生成の事実に依り、その事実は原論文でも本書でも証明されていない。
こうして、代数性の仮定がどこで効くかが三通りに見えた。整係数に移ると底の有限性が要り、実の群と代数的でない複素群では極大コンパクト部分群から来る類が平坦束に残る。複素代数群は構造論で可換群と簡約群に戻り、簡約群では表現の Chern 類が分類空間の有理コホモロジーを生成するので、類は残らない。
例と反例
上の主結果を、底や群を取り替えた場合と比べる。最初の二つは整係数の類について、残りは Serre の例の周辺についての例である。
$n\ge2$、$m\ge1$ とし、$\mu_n=\mu_n(\mathbf C)$ を $S^{2m+1}\subset\mathbf C^{m+1}$ にスカラー倍で働かせたレンズ空間 $L:=S^{2m+1}/\mu_n$ を考える。$L$ は有限 CW 複体で、$\pi_1(L)=\mu_n$、包含 $\mu_n\subset\mathbf C^*$ の定める平坦直線束 $L_\chi$ がある。$L$ は無限次元レンズ空間 $B_{\mu_n}=S^\infty/\mu_n$ の $(2m+1)$ 骨格なので、$H^2(B_{\mu_n},\mathbf Z)\to H^2(L,\mathbf Z)$ は同型（標準的な計算）で、本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』の例「平坦直線束の例」の (a) により $c_1(L_\chi)$ は $H^2(L,\mathbf Z)\cong\mathbf Z/n$ の生成元である。整係数の類は $0$ でない捩れ元で、有理類は $0$ である。上の定理（ホモロジーが有限型なら捩れと有理類の消滅は同値）の (2) が言う「捩れ」は、$0$ に強められない。
上の定理（整係数では類は捩れとは限らない）と同じ現象は、$\Gamma=\mathbf Q$（加法群）でも起こる。本書『3-3 ℓ 進類から整係数類へ』の例「有理数の加法群の平坦直線束」のとおり、指標 $\chi\colon\mathbf Q\to\mathbf C^*$ で $c_1(L_\chi)\in H^2(\mathbf Q,\mathbf Z)$ が捩れでないものがあり、有理類は $H^2(\mathbf Q,\mathbf Q)=0$ の中で $0$ である。ここでも $H_1(B_{\mathbf Q},\mathbf Z)=\mathbf Q$ は有限生成でなく、$B_{\mathbf Q}$ は有限 CW 複体でない。
次の二つは、Serre の例の群のどこが反例を生むかを見る。
割る前の複素 Heisenberg 群 $G'$ は、$\mathbf C$ 上の単冪代数群の複素点の群で、位相空間として $\mathbf C^3$ と同相で可縮である。したがって $B_{G'}$ は可縮で、任意の $u\colon\Gamma\to G'$ について $B_u^*$ は正の次数で自明に $0$ である（本書『8-2 構造論による帰着と定理の証明』の補題「代数群の構造の補題」では $U=G'$、$H_1=H_2=1$ に当たる）。反例を生むのは、中心の離散部分群 $\Gamma'_0\cong\mathbf Z$ で割ったことで、これにより $G$ の基本群が $\mathbf Z$ になり、分類空間に次数 2 の類 $c$ が生まれる。同じ中心の $\mathbf C$ 全体で割った群 $G'/Z(G')\cong\mathbf C^2$ は可換で可縮である。
同じ底 $T^2=B_{\mathbf Z^2}$ の上で比べる。可換な複素代数群 $\mathbf C^*$ に値をとる平坦直線束は、本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』の例「平坦直線束の例」の (b) により、整係数の $c_1$ まで $0$ で、位相的に自明である。一方、上の定理（連結複素 Lie 群というだけでは成り立たない）の平坦な主 $G$ 束 $P_u$ は、$B_G\simeq\mathbf{CP}^\infty$ なので主 $G$ 束の同型類が $H^2(T^2,\mathbf Z)\cong\mathbf Z$ で分類され、$P_u$ はその $\pm1$ に当たる。とくに $P_u$ は位相的に自明でない。基本群 $\mathbf Z^2$ は同じでも、値をとる群が可換な代数群か、可換でない代数的でない群かで結果が分かれる。
その後の発展
以下は原論文の主張ではなく、後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書が文献を開いて確かめていないものはそう書く）。
- 有限 CW 複体の上の平坦束（Deligne–Sullivan DelSul75、1975 年）：有限 CW 複体の上の、離散構造群をもつ複素ベクトル束は、有限被覆に引き戻すと位相的に自明になり、とくに整係数 Chern 類は捩れである、とされる。この結果は底が有限 CW 複体の場合に限り、底が有限でないと整係数の類が捩れでない例がある（上の定理（整係数では類は捩れとは限らない）、上の例（有理数の加法群の平坦直線束））。原論文の側は、底が有限 CW 複体であることの代わりに、底 $B_\Gamma$ の奇数次の整係数ホモロジー $H_{2i-1}$ の（捩れを法とした）有限生成性とトレースの体の有限型を仮定して、整係数の類 $c_i$ が捩れであるという同じ型の結論を出す（本書『4-3 総括定理と複素表現の有理 Chern 類』の主結果「整係数の類が捩れになる条件」。平坦束の特性類については、上の注意（原論文の注の読み方）のとおり Théorème 7.1 と上の定理の (2) からも出る）。本書は論文の証明を確かめていない。
- Milnor–Wood 不等式：Milnor Mil58（1958 年）は種数 $g$ の閉曲面の上の平坦な $SL(2,\mathbf R)$ 束の Euler 数の絶対値が $g$ 未満であることを示し、Wood Woo71（1971 年）は向きを保つ円周の同相群を構造群とする平坦な円周束の Euler 数の絶対値を $2g-2$ 以下と抑えた、とされる。上の定理（実半単純群では成り立たない）の $PSL(2,\mathbf R)$ の束の Euler 数 $\pm(2-2g)$ は後者の限界に、$SL(2,\mathbf R)$ への持ち上げの $\pm(1-g)$ は前者の限界の内側の最大値に当たる。本書は論文の証明を確かめていない。
- 非コンパクトな群の Chern–Weil 理論：一般の Lie 群 $G$ と極大コンパクト部分群 $K$ について、$H^*(B_G,\mathbf R)$ は $K$ の不変多項式の環と同型で、そのうち $G$ の Lie 環の不変多項式の制限から来る部分だけが平坦束の特性類として消える、という見方が知られている（Kamber–Tondeur の平坦束の特性類の理論など）。本書は文献を確かめていない。この見方では、$SL(2,\mathbf R)$ の Euler 類が $\mathfrak{sl}(2,\mathbf R)$ の不変多項式（行列式で生成される）から来ないこと、Serre の例の $c$ が Heisenberg 環の不変多項式から来ないこと（随伴作用の軌道が中心の方向に平行移動を含むので、不変多項式は中心の上で定数になる）が、上の二つの反例の理由である。複素簡約群では複素化により二つの環が一致し、何も残らない。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Classes de Chern et représentations linéaires des groupes discrets Gro68d の序論 0.9 の否定的な主張、付録 §7 の系 7.2・7.3 の直後の注、Remarques 7.5 である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 定義（整係数の特性類） | 系 7.2・7.3 の直後の注の「classes caractéristiques entières」 | 298 |
| 定理（ホモロジーが有限型なら捩れと有理類の消滅は同値）、注意（原論文の注の読み方） | 系 7.2・7.3 の直後の注の前半 | 298 |
| 定理（整係数では類は捩れとは限らない） | 同じ注の後半（Remarques 4.12 b) を引く） | 298、264 |
| 定理（実半単純群では成り立たない）、注意（複素化との整合） | 小節 0.9 の実 Lie 群についての主張、Remarques 7.5 b) 前半 | 227、301 |
| 定義（Serre の例の群）、定理（連結複素 Lie 群というだけでは成り立たない）、注意（序論 0.9 の複素 Lie 群についての主張） | 小節 0.9 の複素 Lie 群についての主張、Remarques 7.5 b) 後半（Serre の例） | 227、301–302 |
| 定理（段 a) の算術的な置き換え）、注意（置き換えの届く範囲） | Remarques 7.5 a)、小節 0.9 の算術的な証明の見通しと脚注 | 301、227–228 |
| 例（有限 CW 複体の上の捩れた Chern 類）、例（有理数の加法群の平坦直線束）、例（代数的な Heisenberg 群では消える）、例（トーラスの上の二つの平坦束） | 原論文になし（本書が足した例） | — |
参考文献
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