4-4 原始元定理

$n=[L:K]$ とします。分離性により、相異なる $K$ 上の埋め込み
$$ \sigma_1,\ldots,\sigma_n:L\to\overline K $$
がちょうど $n$ 個あります。
$i\ne j$ に対し
$$ \sigma_i(\alpha+c\beta)=\sigma_j(\alpha+c\beta) $$
となる条件は
$$ \sigma_i(\alpha)-\sigma_j(\alpha) =c\bigl(\sigma_j(\beta)-\sigma_i(\beta)\bigr) $$
です。$\sigma_i(\beta)\ne\sigma_j(\beta)$ なら、これを満たす $c$ は高々一つです。$\sigma_i(\beta)=\sigma_j(\beta)$ なら、$\sigma_i\ne\sigma_j$ かつ $L=K(\alpha,\beta)$ なので $\sigma_i(\alpha)\ne\sigma_j(\alpha)$ となり、等式を満たす $c$ はありません。
組 $(i,j)$ は有限個なので、埋め込みの値が衝突する悪い $c$ は有限個しかありません。$K$ は無限体だから、それらを避ける $c\in K$ を選べます。$\theta=\alpha+c\beta$ とおけば
$$ \sigma_1(\theta),\ldots,\sigma_n(\theta) $$
はすべて相異なります。従って $\theta$ の最小多項式は少なくとも $n$ 個の相異なる根をもち、次数は少なくとも $n$ です。一方
$$ [K(\theta):K]\le[L:K]=n $$
なので次数はちょうど $n$。$K(\theta)\subseteq L$ と次元が等しいため $K(\theta)=L$ です。□

$|G|=N$ とし、$G$ の元の位数の最小公倍数を $m$ とします。すべての $g\in G$ が $g^m=1$ を満たすため、$G$ の全 $N$ 元は多項式 $x^m-1$ の根です。体上の次数 $m$ の多項式は高々 $m$ 個の根しかもたないので
$$ N\le m. $$
一方、Lagrangeの定理から各元の位数は $N$ を割るので $m\mid N$、特に $m\le N$。従って $m=N$ です。
最後に位数が $m$ の元が存在することを示します。$m=\prod_q q^{e_q}$ と素因数分解します。最小公倍数の定義から、各素数 $q$ について位数が $q^{e_q}$ で割り切れる元 $g_q\in G$ が存在します。$g_q$ の適当な冪を取れば位数がちょうど $q^{e_q}$ の元 $h_q$ を得ます。$G$ は体の乗法群の部分群なので可換です。互いに素な位数をもつ可換な元の積の位数は位数の積だから
$$ h=\prod_qh_q $$
の位数は $\prod_q q^{e_q}=m=N$ です。従って $G=\langle h\rangle$ は巡回群です。□

$L$ は有限集合であり、補題から $L^\times$ はある $\theta$ で生成される巡回群です。すると $L$ の任意の非零元は $\theta$ の冪なので $K(\theta)$ に属し、零も属します。従って $L=K(\theta)$ です。□

$K$ が有限体なら、直前の命題により $L/K$ は単純です。
$K$ が無限体なら、有限次拡大 $L$ は有限個の元で生成され
$$ L=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_r) $$
と書けます。$r=1$ なら終わりです。$r\ge2$ なら二生成元の補題を $K(\alpha_1,\alpha_2)/K$ に適用し、これを $K(\theta_2)$ と一つにまとめます。次に $K(\theta_2,\alpha_3)$ を $K(\theta_3)$ とまとめます。有限分離拡大の中間拡大も分離的なので、各段で補題を適用できます。有限回繰り返して
$$ L=K(\theta_r) $$
を得ます。□

原始元なので $n=[L:K]=[K(\theta):K]$。分離性により $\theta$ の最小多項式は相異なる $n$ 個の根をもち、それらは単純拡大の埋め込み定理から $\sigma_i(\theta)$ に一致します。両辺は同じ根をもつモニック次数 $n$ の多項式なので等しいです。□

$$ \theta^3=(\sqrt2+\sqrt5)(7+2\sqrt{10}) =17\sqrt2+11\sqrt5. $$
従って
$$ \theta^3-11\theta=6\sqrt2, \qquad 17\theta-\theta^3=6\sqrt5. $$
よって
$$ \sqrt2=\frac{\theta^3-11\theta}{6}, \qquad \sqrt5=\frac{17\theta-\theta^3}{6}. $$
両生成元が $\mathbb Q(\theta)$ に入るので二つの体は等しいです。□

$$ \theta^2=5+2\sqrt6 $$
なので
$$ (\theta^2-5)^2=24. $$
展開して
$$ \theta^4-10\theta^2+1=0. $$
また $\mathbb Q(\theta)=\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$ の次数は4なので、最小多項式の次数は4です。従って
$$ x^4-10x^2+1 $$
が最小多項式です。□

$a=1+i$ とおくと
$$ a^2=1+2i+i^2=2i, $$
$$ a^4=(2i)^2=4i^2=2, $$
$$ a^8=2^2=1. $$
一方 $a^2=2i\ne1$、$a^4=2\ne1$ なので位数は8です。$\mathbb F_9^\times$ の元数も8だから
$$ \mathbb F_9^\times=\langle1+i\rangle. $$
特に $\mathbb F_9=\mathbb F_3(1+i)$ です。□

$u=s^{1/p}$、$v=t^{1/p}$ とおきます。$x^p-s$ は $K$ 上既約なので $[K(u):K]=p$。さらに $t$ は $K(u)$ の $p$ 乗ではないので $x^p-t$ は $K(u)$ 上既約で、塔の法則から $[L:K]=p^2$ です。
基底 $u^iv^j$、$0\le i,j< p$ を使って $\theta=\sum a_{ij}u^iv^j$ と書けば
$$ \theta^p=\sum a_{ij}^ps^it^j\in K. $$
従って $\theta$ の最小多項式は $x^p-\theta^p$ を割り、次数は高々 $p$ です。よって一つの $\theta$ で次数 $p^2$ の $L$ 全体を生成することはできません。□