3-2 分離多項式と分離拡大

$f$ が非分離的であることは、$f$ と $f'$ が代数閉包で共通根をもつことと同値です。共通根の最小多項式は $K[x]$ で $f,f'$ の両方を割るため、これは最大公約数が正次数であることと同値です。□

$p'\ne0$ なら $\deg p'<\deg p$ です。$p$ は既約なので $p$ と $p'$ の最大公約数は1であり、$p$ は分離的です。
$p'=0$ なら $\gcd(p,p')=p$ であり、$p$ は非分離的です。この場合、任意の根 $a$ について $p(a)=p'(a)=0$ なので、すべての根が重根です。□

正次数の既約多項式 $p$ に対し、標数0では $p'\ne0$ です。既約多項式の分離判定を適用します。□

$K$ 上の埋め込み $\sigma$ は
$$ 0=\sigma(p(\alpha))=p(\sigma(\alpha)) $$
を満たすので、$\sigma(\alpha)$ は $p$ の根です。逆に $p$ の各根 $\beta\in\overline K$ に対し、単純代数拡大への埋め込み延長定理から
$$ \sum_{i=0}^{n-1}a_i\alpha^i \longmapsto \sum_{i=0}^{n-1}a_i\beta^i $$
という一意な $K$ 上の埋め込みが存在します。従って埋め込みと相異なる根は一対一に対応します。$[K(\alpha):K]=n$ なので後半も従います。□

$L=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_m)$ と書き、塔
$$ K=K_0\subseteq K_1\subseteq\cdots\subseteq K_m=L, \qquad K_i=K_{i-1}(\alpha_i) $$
を取ります。$K_{i-1}$ の一つの埋め込みを固定すると、それを $K_i$ へ延長する方法は、$\alpha_i$ の最小多項式の根の選択に対応するので高々
$$ [K_i:K_{i-1}] $$
通りです。従って全体の埋め込み数は高々
$$ \prod_{i=1}^m[K_i:K_{i-1}]=[L:K] $$
です。□

$1\Rightarrow2$ は、有限次拡大が有限個の基底元で生成され、それらが仮定によりすべて分離的なので従います。
$2\Rightarrow3$：先ほどの塔 $K_i=K_{i-1}(\alpha_i)$ を使います。$\alpha_i$ の $K_{i-1}$ 上の最小多項式は、$K$ 上の分離的な最小多項式を $K_{i-1}[x]$ で因数分解したときの既約因子です。従ってこれも重根をもたず、分離的です。
$K_{i-1}$ の各 $K$ 埋め込み $\sigma$ に対し、係数へ $\sigma$ を施した最小多項式も相異なる根をちょうど $[K_i:K_{i-1}]$ 個もちます。各根への像の選択が埋め込みの延長を与えるので、各段で埋め込み数はこの次数倍になります。従って
$$ \#\operatorname{Hom}_K(L,\overline K) =\prod_{i=1}^m[K_i:K_{i-1}] =[L:K]. $$
$3\Rightarrow1$：任意の $\alpha\in L$ を取り、$E=K(\alpha)$ とします。各 $K$ 埋め込み $E\to\overline K$ を $L$ へ延長する方法は高々 $[L:E]$ 通りなので
$$ \#\operatorname{Hom}_K(L,\overline K) \le [L:E],\#\operatorname{Hom}_K(E,\overline K) \le [L:E][E:K]=[L:K]. $$
左端と右端が仮定により等しいので、途中の不等式も等号です。従って
$$ \#\operatorname{Hom}_K(E,\overline K)=[E:K]. $$
単純拡大の場合の定理から $\alpha$ は分離的です。$\alpha$ は任意なので $L/K$ は分離拡大です。□

まず有限次の場合を示します。$L/K$ が分離的なら、$E$ の元は $L$ の元なので $E/K$ は分離的です。$\alpha\in L$ の $E$ 上の最小多項式は、$K$ 上の分離的な最小多項式の因子なので分離的です。従って $L/E$ も分離的です。
逆に $E/K$ と $L/E$ が有限分離的なら、埋め込みを段階的に数えます。$E$ の各 $K$ 埋め込みは $[L:E]$ 通りに $L$ へ延長されるので
$$ \#\operatorname{Hom}_K(L,\overline K) =[E:K][L:E]=[L:K]. $$
従って $L/K$ は分離的です。
一般の代数拡大では、一つの元 $\alpha\in L$ に関係する有限個の係数と生成元だけを取って有限次の中間塔へ縮め、有限次の場合を適用します。各元が分離的であるという定義から両方向が従います。□

標数0の場合は、既約多項式の微分が零にならないので既に示しました。
有限体 $K$ の標数を $p$ とします。もし既約多項式 $f$ が非分離的なら $f'=0$ なので
$$ f(x)=\sum_i a_i x^{pi}. $$
有限集合 $K$ 上の Frobenius 写像 $c\mapsto c^p$ は単射です。実際 $c^p=d^p$ なら $(c-d)^p=0$ なので $c=d$。有限集合の単射は全射なので、各 $a_i=b_i^p$ と書けます。すると
$$ f(x)=\left(\sum_i b_ix^i\right)^p $$
となり、$f$ が既約であることに反します。従ってすべての既約多項式は分離的です。□

$$ f'=4x^3. $$
$x$ は $f$ を割りません。従って $\gcd(x^4-2,4x^3)=1$ であり、$f$ は分離的です。実際、分解体での四根 $\alpha,-\alpha,i\alpha,-i\alpha$ は相異なります。□

$\sqrt2$ は $\pm\sqrt2$ のいずれかへ、$\sqrt3$ は $\pm\sqrt3$ のいずれかへ送れます。符号は独立に選べるので
$$ (\sqrt2,\sqrt3)\mapsto (\sqrt2,\sqrt3), (-\sqrt2,\sqrt3), (\sqrt2,-\sqrt3), (-\sqrt2,-\sqrt3) $$
の4通りです。$[L:\mathbb Q]=4$ なので個数は次数と一致します。□

$F(c)=F(d)$ なら
$$ 0=c^p-d^p=(c-d)^p. $$
体には零でない冪零元がないので $c-d=0$、すなわち $c=d$。従って $F$ は単射です。有限集合から自分自身への単射は全射でもあるため、$F$ は全単射です。これにより全係数の $p$ 乗根を $K$ 内で取れ、非分離既約多項式が存在しないことが分かります。□

$\alpha\in L$ を取ります。$K$ 上の最小多項式を $m_K$、$E$ 上の最小多項式を $m_E$ とします。$m_K(\alpha)=0$ で $m_K\in E[x]$ でもあるため、最小多項式の整除性から
$$ m_E\mid m_K\quad\text{in }E[x]. $$
$m_K$ は重根をもたないので、その因子 $m_E$ も重根をもちません。従って $\alpha$ は $E$ 上分離的です。$\alpha$ は任意なので $L/E$ は分離拡大です。□