4-3 正規拡大

$f\in K[x]$ を既約とし、根 $\alpha\in L$ をもつとします。最小多項式 $m_{\alpha,K}=f$ であり
$$ \deg f=[K(\alpha):K] $$
は塔の法則から $[L:K]=2$ の約数です。$\deg f=1$ なら根は $K$ にあります。$\deg f=2$ なら $K(\alpha)=L$ で、もう一つの根は $f=x^2+bx+c$ と書けば $-b-\alpha\in L$ です。従っていずれの場合も $f$ は $L$ で分解します。□

$1\Rightarrow2$：$L=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_r)$ とし、$\alpha_i$ の $K$ 上の最小多項式を $f_i$ とします。各 $f_i$ は $L$ に根 $\alpha_i$ をもつので、正規性により $L$ で完全に分解します。$L$ はこれらの根の一部 $\alpha_i$ で生成され、逆に全根は $L$ に属するので、$L$ は $f_1,ldots,f_r$ の共通分解体です。
$2\Rightarrow3$：積 $F=f_1\cdots f_r$ の根全体は各 $f_i$ の根全体の合併なので、共通分解体は $F$ の分解体です。
$3\Rightarrow1$：$L$ を $F\in K[x]$ の分解体とし、既約多項式 $g\in K[x]$ が根 $\alpha\in L$ をもつとします。$g$ の任意の根 $\beta\in\overline K$ を取ります。単純拡大の同型延長により
$$ K(\alpha)\to K(\beta),\qquad \alpha\mapsto\beta $$
という $K$ 上の同型があります。分解体の一意性の証明と同じ延長手続きを用いると、これは $L$ から $F$ の別の分解体への $K$ 上の同型へ延長されます。しかし $F$ の根はすべて $L$ にあり、像の分解体も $L$ 自身です。従って $\beta$ は $L$ に属します。$g$ の全根が $L$ に属するので $g$ は $L$ で分解します。□

$1\Rightarrow2$：$\alpha\in L$ とし、その最小多項式を $m\in K[x]$ とします。$\sigma(\alpha)$ も $m$ の根です。正規性により $m$ の全根は $L$ にあるので $\sigma(\alpha)\in L$。従って $\sigma(L)\subseteq L$ です。有限次元 $K$ ベクトル空間として
$$ [\sigma(L):K]=[L:K] $$
なので、包含と次元の一致から $\sigma(L)=L$ です。
$2\Rightarrow3$ は、像が $L$ に等しい埋め込みが $L\to L$ の全単射準同型であることから従います。
$3\Rightarrow1$：既約多項式 $f\in K[x]$ が根 $\alpha\in L$ をもつとします。任意の根 $\beta\in\overline K$ に対し、$\alpha\mapsto\beta$ という $K(\alpha)$ の埋め込みが存在します。この埋め込みは代数拡大への埋め込み延長定理により $L\to\overline K$ へ延長できます。仮定によりその像は $L$ なので $\beta\in L$。従って $f$ は $L$ で分解します。□

$f\in K[x]$ を既約とし、根 $\alpha\in L$ をもつとします。$\alpha$ は純非分離的なので、その最小多項式は
$$ f(x)=x^{p^e}-a=(x-\alpha)^{p^e} $$
と代数閉包で書けます。唯一の根 $\alpha$ は $L$ にあるため、$f$ は $L[x]$ で一次式の積に分解します。従って $L/K$ は正規です。□

$L$ は $K[x]$ の有限個の多項式の共通分解体です。その多項式族を $E[x]$ の多項式と見ても、根全体が生成する $E$ 上の体は $L$ です。従って $L/E$ は分解体であり正規です。□

$L_i$ はある $f_i\in K[x]$ の分解体として書けます。合成体 $L_1L_2$ は $f_1f_2$ の全根で生成され、そこで積が完全に分解します。従って $L_1L_2$ は $f_1f_2$ の分解体であり、正規です。□

積の分解体 $N$ は有限正規拡大で、各 $\alpha_i$ を含むので $L\subseteq N$ です。$M/K$ が $L$ を含む正規拡大なら、各 $f_i$ は $M$ に根 $\alpha_i$ をもつため $M$ で完全に分解します。従って全根が $M$ に入り、それらが生成する $N$ は $M$ に含まれます。よって $N$ は最小です。□

$x^2-d$ の根は $\sqrt d$ と $-\sqrt d$ で、どちらも $K(\sqrt d)$ に属します。またこの体は $\sqrt d$ で生成されます。従って $K(\sqrt d)$ は $x^2-d$ の分解体であり、正規です。□

$x^3-5$ は素数5について Eisenstein なので既約です。$L$ は実数体の部分体で実根 $\sqrt[3]5$ を含みますが、非実根
$$ \omega\sqrt[3]5,\qquad \omega^2\sqrt[3]5 $$
を含みません。従って正規ではありません。全根を加えた
$$ \mathbb Q(\sqrt[3]5,\omega) $$
が $x^3-5$ の分解体であり、正規閉包です。□

$E$ は $x^2-2$ の分解体なので $E/K$ は正規です。$L=E(\sqrt[4]2)$ で、$\sqrt[4]2$ は $x^2-\sqrt2\in E[x]$ の根です。もう一つの根 $-\sqrt[4]2$ も $L$ にあるので、$L$ はこの二次式の分解体であり $L/E$ は正規です。
一方 $x^4-2\in\mathbb Q[x]$ は既約で $L$ に根 $\sqrt[4]2$ をもちますが、非実根 $i\sqrt[4]2$ は実体 $L$ に入りません。従って $L/K$ は正規ではありません。□

合成体は $\mathbb Q(\sqrt2,i)$ です。これは
$$ (x^2-2)(x^2+1) $$
の根 $\pm\sqrt2,\pm i$ をすべて含み、それらで生成されます。従ってこの積の分解体であり、$\mathbb Q$ 上正規です。□