4-1 分解体の存在

$f$ の根 $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ はすべて $E$ に属します。従って
$$ L=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_r)\subseteq E. $$
仮定の $E\subseteq L$ と合わせて $E=L$ です。□

$n=\deg f$ について帰納します。$n=1$ なら $f$ はすでに $K$ 上で分解し、$K$ 自身が分解体です。
$n\ge2$ とし、$K[x]$ で $f$ の既約因子 $p$ を一つ取ります。商体
$$ K_1=K[x]/(p) $$
で $\alpha=x+(p)$ とおけば $p(\alpha)=0$、従って $f(\alpha)=0$ です。因数定理により
$$ f(x)=(x-\alpha)g(x)\qquad(g\in K_1[x]) $$
と書け、$\deg g=n-1$ です。
帰納法の仮定により、$g$ は $K_1$ 上の有限次分解体 $L$ をもちます。$L$ では $g$ が一次式の積に分解し、$\alpha\in K_1\subseteq L$ なので $f=(x-\alpha)g$ も分解します。$L$ の中で $f$ の根をすべて $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ とし
$$ E=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_r) $$
とおきます。$E$ では $f$ が分解し、根によって生成されるので $E$ は $f$ の分解体です。
各 $\alpha_i$ は $K$ 上代数的で、個数は有限です。従って $E/K$ は有限次です。□

上の解の公式から、二つの根は $K(\sqrt\Delta)$ に属します。逆に二根を $r_1,r_2$ とすれば
$$ r_1-r_2=\sqrt\Delta $$
なので、根が生成する体は $\sqrt\Delta$ を含みます。従って分解体はちょうど $K(\sqrt\Delta)$ です。$\Delta$ が平方なら $\sqrt\Delta\in K$。平方でなければ $x^2-\Delta$ は根をもたない二次式なので既約で、拡大次数は2です。□

$x^3-2$ は Eisenstein の判定法を素数2について適用できるので既約です。従って
$$ [\mathbb Q(\alpha):\mathbb Q]=3. $$
$\mathbb Q(\alpha)$ は $\mathbb R$ の部分体なので、非実数 $\omega$ は含まれません。$\omega$ は $x^2+x+1$ を満たすため
$$ [\mathbb Q(\alpha,\omega):\mathbb Q(\alpha)]=2. $$
塔の法則より
$$ [L:\mathbb Q]=2\cdot3=6. $$
□

根を一つずつ加えます。最初の根 $\alpha_1$ の最小多項式は $f$ の既約因子なので次数は高々 $n$。$K(\alpha_1)$ 上で一次因子を除いた残りは次数 $n-1$ なので、次に加える根の最小多項式の次数は高々 $n-1$ です。同様に続けると、塔の法則により
$$ [L:K]\le n(n-1)\cdots2\cdot1=n!. $$
途中で複数の根が同時に入れば不等号は真に小さくなります。□

積の根全体は、各 $f_i$ の根全体の合併です。従って積の分解体はすべての $f_i$ を分解し、それらの根全体で生成されます。逆にすべての $f_i$ が分解する体では積も分解します。分解体の最小性から結論します。有限次性は分解体の存在定理によります。□

根は
$$ \alpha,-\alpha,i\alpha,-i\alpha $$
なので分解体は $\mathbb Q(\alpha,i)$ です。$x^4-2$ は素数2について Eisenstein なので
$$ [\mathbb Q(\alpha):\mathbb Q]=4. $$
$\mathbb Q(\alpha)\subseteq\mathbb R$ なので $i\notin\mathbb Q(\alpha)$。$i$ の最小多項式はこの体上でも $x^2+1$ であり、塔の法則から
$$ [\mathbb Q(\alpha,i):\mathbb Q]=2\cdot4=8. $$
□

$f(0)=1$、$f(1)=1+1+1=1$ なので根をもちません。三次式が可約なら一次因子をもつため、$f$ は既約です。従って
$$ \mathbb F_2(\alpha)= \{a+b\alpha+c\alpha^2\mid a,b,c\in\mathbb F_2\} $$
であり、具体的には
$$ 0,1,\alpha,\alpha^2,1+\alpha,1+\alpha^2, \alpha+\alpha^2,1+\alpha+\alpha^2 $$
の8元です。関係式 $\alpha^3=\alpha+1$ を使うと
$$ \alpha^4=\alpha^2+\alpha, $$
$$ f(\alpha^2)=\alpha^6+\alpha^2+1 =(\alpha^3)^2+\alpha^2+1 =(\alpha+1)^2+\alpha^2+1=0. $$
さらに $f$ の $x^2$ の係数は0なので三根の和は0、従って第三の根は $\alpha+\alpha^2$ です。実際
$$ f=(x+\alpha)(x+\alpha^2)(x+\alpha+\alpha^2) $$
と分解します。ゆえに一根を添加した体が分解体です。□

根は $1,-1,i,-i$ です。$\mathbb Q$ 上では $i$ だけを加えればよいので $\mathbb Q(i)$。$\mathbb R$ 上では $i$ を加えて $\mathbb C$。$\mathbb C$ 上ではすでに全根を含むので $\mathbb C$ 自身です。□

根は $\pm\sqrt2,\pm\sqrt3$ なので分解体は
$$ L=\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3) $$
です。$[\mathbb Q(\sqrt2):\mathbb Q]=2$。もし $\sqrt3\in\mathbb Q(\sqrt2)$ なら $\sqrt3=a+b\sqrt2$ と書けます。平方して
$$ 3=a^2+2b^2+2ab\sqrt2. $$
$1,\sqrt2$ の一次独立性から $2ab=0$。$a=0$ なら $b^2=3/2$、$b=0$ なら $a^2=3$ となり、いずれも有理数 $a,b$ では不可能です。従って第二段の次数も2で、$[L:\mathbb Q]=4$ です。□