1-1 体の公理と計算法

$0$ と $0'$ がともに加法単位元なら、$0=0+0'=0'$ である。$1$ と $1'$ がともに乗法単位元なら、$1=1\cdot1'=1'$ である。
$b,c$ がともに $a$ の加法逆元なら、結合則と交換則により
$$ b=b+0=b+(a+c)=(b+a)+c=0+c=c. $$
したがって加法逆元は一意である。$a\ne0$ とし、$b,c$ がともに $a$ の乗法逆元なら
$$ b=b\cdot1=b(ac)=(ba)c=1\cdot c=c. $$
よって乗法逆元も一意である。

分配法則より
$$ a0=a(0+0)=a0+a0. $$
両辺へ $-(a0)$ を足すと $0=a0$ を得る。乗法の交換則より $0a=a0=0$ である。

分配法則と前補題から
$$ ab+(-a)b=(a+(-a))b=0b=0. $$
したがって $(-a)b$ は $ab$ の加法逆元であり、逆元の一意性から $(-a)b=-(ab)$ である。これを二度使うと
$$ (-a)(-b)=-\bigl(a(-b)\bigr)=-(-(ab))=ab. $$
最後の等式は $ab$ が $-(ab)$ の加法逆元であることによる。

$ab=0$ かつ $a\ne0$ とする。両辺へ $a^{-1}$ を掛けると
$$ b=1b=(a^{-1}a)b=a^{-1}(ab)=a^{-1}0=0. $$
よって最初の主張が従う。
次に $ab=ac$ とする。両辺へ $a^{-1}$ を掛ければ
$$ b=(a^{-1}a)b=a^{-1}(ab)=a^{-1}(ac)=(a^{-1}a)c=c. $$
これが消去則である。

$x=a^{-1}b$ と置けば
$$ ax=a(a^{-1}b)=(aa^{-1})b=b $$
なので解である。$y$ も解なら $ay=b=ax$ であり、消去則から $y=x$ である。

まず
$$ \varphi(0)=\varphi(0+0)=\varphi(0)+\varphi(0) $$
の両辺から $\varphi(0)$ を引くと $\varphi(0)=0$ を得る。$\varphi(a)=\varphi(b)$ なら
$$ 0=\varphi(a)-\varphi(b)=\varphi(a-b). $$
$a-b\ne0$ と仮定すると $(a-b)^{-1}$ が存在するので
$$ 1=\varphi(1)=\varphi((a-b)(a-b)^{-1}) =\varphi(a-b)\varphi((a-b)^{-1})=0, $$
となり矛盾する。したがって $a-b=0$、すなわち $a=b$ である。

乗法の交換則と結合則により
$$ (ab)(a^{-1}b^{-1})=(aa^{-1})(bb^{-1})=1. $$
したがって $a^{-1}b^{-1}$ は $ab$ の逆元である。逆元の一意性から $(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$ である。

$r$ が解なら
$$ ax^2+bx+c=(x-r)(ax+ar+b) $$
である。実際、右辺を展開すると
$$ ax^2+bx-r(ar+b) $$
となり、$ar^2+br+c=0$ より $-r(ar+b)=c$ である。別の解 $s$ について
$$ 0=(s-r)(as+ar+b). $$
零因子がないため、$s=r$ または $as+ar+b=0$ である。後者の一次方程式の解はただ一つなので、$r$ 以外の解は高々一つである。