2-5 多項式商による体の構成

除法算法により任意の $g\in K[x]$ は
$$ g=qf+r, \qquad\deg r< n $$
と一意に書けます。商で $g+(f)=r+(f)$ なので表示が存在します。
次数 $n$ 未満の $r,s$ が同じ類を定めるなら $r-s\in(f)$。$r-s$ が非零なら $f$ の倍数なので次数は少なくとも $n$ ですが、$\deg(r-s)< n$。矛盾するため $r=s$ です。従って表示は一意で、列挙された元は生成かつ一次独立です。□

$K[x]$ はPIDです。$f$ が既約とします。$(f)\subseteq(g)\subseteq K[x]$ なら $f=gh$ となる $h$ があります。既約性から $g$ または $h$ が単元です。$g$ が単元なら $(g)=K[x]$、$h$ が単元なら $(g)=(f)$。従って $(f)$ は極大です。
逆に $(f)$ が極大で $f=gh$ とします。$(f)\subseteq(g)$ なので $(g)=(f)$ または $(g)=K[x]$。前者なら $h$ が単元、後者なら $g$ が単元です。従って $f$ は既約です。よって1と2は同値です。
一般の可換環について、イデアル $I$ が極大であることと商環 $R/I$ が体であることは同値です。これを $R=K[x],I=(f)$ に適用すれば2と3の同値を得ます。□

$I$ が極大とします。$a+I\ne0$ なら $a\notin I$。$I+(a)$ は $I$ を真に含むので極大性から $I+(a)=R$。従って
$$ i+ra=1 $$
となる $i\in I,r\in R$ があり、商で
$$ (r+I)(a+I)=1+I. $$
よって非零元は逆元をもち、商は体です。
逆に $R/I$ が体で $I\subseteq J\subseteq R$ とします。$J\ne I$ なら $a\in J\setminus I$ を取れます。$a+I$ は商で非零なので逆元 $r+I$ があり $ra-1\in I\subseteq J$。$ra\in J$ でもあるため $1\in J$、従って $J=R$。ゆえに $I$ は極大です。□

評価写像 $\mathbb R[x]\to\mathbb C$、$f\mapsto f(\sqrt{-1})$ の核は $\sqrt{-1}$ の最小多項式 $x^2+1$ で生成され、像は $\mathbb R[\sqrt{-1}]=\mathbb C$。第一同型定理から所望の同型を得ます。□

1. $x^2-3$ は有理根をもたない二次式なので既約。従って体です。
2. $x^2-4=(x-2)(x+2)$ と可約なので体ではありません。二つの非零類 $x-2,x+2$ の積が0です。
3. 三次式は根をもつとき、かつそのときに限り可約です。$0$ で値1、$1$ で $1+1+1=1$ なので根をもちません。従って既約で、商は $2^3=8$ 元の体です。□

標数3に注意して
$$ (2+2\theta)^2=4+8\theta+4\theta^2 =1+2\theta+1\cdot2 =2\theta. $$
また
$$ (1-\theta)(1+\theta)=1-\theta^2=1-2=-1=2. $$
2の逆元は2なので
$$ (1-\theta)^{-1}=2(1+\theta)=2+2\theta. $$
□

商では $x(x-1)=x^2-x=0$ なので $e^2=e$ です。中国剰余同型は
$$ f(x)+(x(x-1))\mapsto(f(0),f(1)). $$
従って
$$ e\mapsto(0,1). $$
これは第二成分への射影を表す冪等元です。□

$\alpha,β$ はともに $x^3-2$ の根です。この多項式は有理根をもたない三次式なので $\mathbb Q$ 上既約。従って両者の最小多項式は $x^3-2$ です。
$$ \mathbb Q(\alpha)\cong\mathbb Q[x]/(x^3-2) \cong\mathbb Q(\beta) $$
であり、合成同型は $\alpha$ を $\beta$ へ送ります。$\mathbb Q(\alpha)$ は実数の部分体、$\mathbb Q(\beta)$ は非実元を含みますが、抽象的な $\mathbb Q$ 体としては同型です。□