2-3 最小多項式
代数的元 $\alpha$ は多くの多項式方程式を満たします。たとえば $\sqrt2$ は $x^2-2$ だけでなく、その任意の多項式倍でも消えます。その中で次数が最小のmonic多項式を選ぶと、$\alpha$ が満たすすべての関係、生成する体の次数、可能な共役元が一つの多項式に集約されます。
以下、$L/K$ を体拡大、$\alpha\in L$ を $K$ 上代数的とします。
評価写像の核
評価写像
$$
\operatorname{ev}_\alpha:K[x]\to L,
\qquad f\mapsto f(\alpha)
$$
の核は、$\alpha$ を消す多項式全体です。$\alpha$ は代数的なので核は零でないイデアルです。$K[x]$ はEuclid整域、従ってPIDなので
$$
\ker\operatorname{ev}_\alpha=(m)
$$
となる非零多項式 $m$ があります。単元倍を調整すれば $m$ をmonicにでき、そのようなmonic生成元は一意です。
$\ker\operatorname{ev}_\alpha$ の一意なmonic生成元を、$\alpha$ の $K$ 上の最小多項式といい
$$
m_{\alpha,K}(x)
$$
または基礎体が明らかなとき $m_\alpha(x)$ と書く。
同値に、$m_{\alpha,K}$ は $\alpha$ を根にもつmonic $K$ 係数多項式のうち次数最小のものです。
最小多項式は既約
$m_{\alpha,K}$ は $K[x]$ で既約である。
$m=fg$ と因数分解できたとします。$\alpha$ を代入すると
$$
0=m(\alpha)=f(\alpha)g(\alpha).
$$
$L$ は体なので零因子がなく、$f(\alpha)=0$ または $g(\alpha)=0$。たとえば $f(\alpha)=0$ なら $f\in\ker\operatorname{ev}_\alpha=(m)$ なので $m\mid f$。従って
$$
\deg m\le\deg f.
$$
一方 $m=fg$ なので $\deg f\le\deg m$ で、$\deg g=0$。従って $g$ は単元です。もう一方の場合も同様なので $m$ は既約です。□
$f\in K[x]$ がmonic既約で $f(\alpha)=0$ なら
$$
m_{\alpha,K}=f.
$$
$f(\alpha)=0$ なので $f\in(m_{\alpha,K})$、従って $m_{\alpha,K}\mid f$。両方monicで $f$ は既約、$m$ は非単元なので $m=f$ です。□
すべての関係を割り切る
$f\in K[x]$ について
$$
f(\alpha)=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
m_{\alpha,K}\mid f.
$$
$f(\alpha)=0$ は $f\in\ker\operatorname{ev}_\alpha$ と同値です。核は $(m_{\alpha,K})$ なので、これは $f$ が $m_{\alpha,K}$ の倍数であることと同値です。□
この定理により、見つけた方程式が最小かを判定できます。多項式が既約なら最小です。既約でなければ、$\alpha$ を根にもつ既約因子が最小多項式です。
商環と生成体
第一同型定理により
$$
K[x]/(m_{\alpha,K})
\cong K[\alpha].
$$
$m_{\alpha,K}$ は既約なので $(m)$ は極大イデアル、従って左辺は体です。したがって $K[\alpha]$ 自身が体であり
$$
K[\alpha]=K(\alpha).
$$
$d=\deg m_{\alpha,K}$ とする。このとき
$$
1,\alpha,\ldots,\alpha^{d-1}
$$
は $K(\alpha)/K$ の基底であり
$$
[K(\alpha):K]=d.
$$
多項式の除法算法により任意の $f\in K[x]$ は
$$
f=qm+r,
\qquad\deg r< d
$$
と書けます。$\alpha$ を代入すると $f(\alpha)=r(\alpha)$ なので、$1,\ldots,\alpha^{d-1}$ は $K[\alpha]=K(\alpha)$ を生成します。
もし
$$
a_0+a_1\alpha+\cdots+a_{d-1}\alpha^{d-1}=0
$$
なら、次数 $d$ 未満の多項式 $r=\sum_{i=0}^{d-1}a_ix^i$ が $\alpha$ を消します。最小多項式の整除性から $m\mid r$。次数が小さいため $r=0$ で、全係数が0です。従って一次独立でもあり、基底です。□
標準例
平方根
$x^2-2$ は有理根をもたない二次多項式なので $\mathbb Q$ 上既約です。従って
$$
m_{\sqrt2,\mathbb Q}=x^2-2,
\qquad
[\mathbb Q(\sqrt2):\mathbb Q]=2.
$$
三乗根
$x^3-2$ は有理根定理により有理根をもたず、三次なので既約です。従って
$$
m_{\sqrt[3]2,\mathbb Q}=x^3-2,
\qquad
[\mathbb Q(\sqrt[3]2):\mathbb Q]=3.
$$
複素数 (i)
$i$ の最小多項式は基礎体で変わります。
$$
m_{i,\mathbb R}=x^2+1,
\qquad
m_{i,\mathbb C}=x-i.
$$
従って
$$
[\mathbb C:\mathbb R]=2,
\qquad
[\mathbb C:\mathbb C]=1.
$$
複数の平方根の最小多項式
$\alpha=\sqrt2+\sqrt3$ とします。前の頁の計算から
$$
\alpha^4-10\alpha^2+1=0.
$$
この四次式が最小であることを、体の次数から示します。
$$
\alpha^3=(\sqrt2+\sqrt3)^3=11\sqrt2+9\sqrt3
$$
なので
$$
\sqrt2=\frac{\alpha^3-9\alpha}{2},
\qquad
\sqrt3=\frac{11\alpha-\alpha^3}{2}.
$$
従って
$$
\mathbb Q(\alpha)=\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3).
$$
右辺は $\mathbb Q$ 上4次なので $[\mathbb Q(\alpha):\mathbb Q]=4$。最小多項式の次数は拡大次数に等しいため、上のmonic四次多項式が最小多項式です。
共役元への入口
最小多項式の別の根を $\alpha$ の共役元と呼びます。たとえば $\sqrt2$ の共役は $-\sqrt2$、$\sqrt2+\sqrt3$ の共役候補は
$$
\pm\sqrt2\pm\sqrt3
$$
の四つです。実際、四つすべてが $x^4-10x^2+1$ の根です。
後に、$K$ を固定する体埋め込み $K(\alpha)\hookrightarrow\overline K$ は $\alpha$ を最小多項式の根へ送ること、分離的な場合にはすべての根から埋め込みが得られることを証明します。
演習
次の元の指定された基礎体上の最小多項式を求めよ。
- $\sqrt5$ over $\mathbb Q$。
- $1+\sqrt5$ over $\mathbb Q$。
- $\sqrt5$ over $\mathbb Q(\sqrt5)$。
- $x^2-5$ は有理根をもたない二次多項式なので既約。従って $x^2-5$。
- $\alpha=1+\sqrt5$ と置くと $(\alpha-1)^2=5$ なので
$$ \alpha^2-2\alpha-4=0. $$
$x^2-2x-4$ の判別式は20で有理数の平方でないため有理根をもたず、既約です。従ってこれが最小多項式。 - 基礎体にすでに $\sqrt5$ が入るので一次式 $x-\sqrt5$ です。□
$\alpha=\sqrt2$ とする。$f(x)=x^4-4$ が $\alpha$ を消すことを確かめ、$m_\alpha\mid f$ を実際に因数分解で示せ。
$$
f(\sqrt2)=(\sqrt2)^4-4=4-4=0.
$$
また
$$
x^4-4=(x^2-2)(x^2+2).
$$
最小多項式 $m_\alpha=x^2-2$ が $f$ を割っています。□
$L/K$ を有限次拡大、$\alpha\in L$ とする。このとき
$$
\deg m_{\alpha,K}\mid[L:K]
$$
を示せ。
中間体 $K\subseteq K(\alpha)\subseteq L$ に塔の法則を使うと
$$
[L:K]=[L:K(\alpha)]\,[K(\alpha):K].
$$
最後の因子は最小多項式の次数なので
$$
[L:K]=[L:K(\alpha)]\deg m_{\alpha,K}.
$$
従って整除性が成り立ちます。□
$\alpha$ が $\alpha^4+\alpha+1=0$ を満たすとする。$[K(\alpha):K]$ について何が言えるか。さらに $x^4+x+1$ が $K[x]$ で既約なら何が言えるか。
最小多項式は $x^4+x+1$ を割るので、その次数は4以下です。従って
$$
[K(\alpha):K]\le4.
$$
また最小多項式の次数は $x^4+x+1$ の既約因子の次数なので、具体的な因数分解によって1、2、3、4のいずれも原理的には起こり得ます。
$x^4+x+1$ が既約なら、monic既約で $\alpha$ を根にもつため最小多項式そのものです。従って拡大次数は4です。□
参考文献
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