1-5 塔の法則と次数計算

まず生成を示します。任意の $x\in L$ は $(v_j)$ が $E$ 基底なので、有限個の $j$ について
$$ x=\sum_jc_jv_j, \qquad c_j\in E $$
と書けます。各 $c_j$ は $(u_i)$ が $K$ 基底なので、有限個の $i$ について
$$ c_j=\sum_ia_{ij}u_i, \qquad a_{ij}\in K $$
と書けます。代入して
$$ x=\sum_{i,j}a_{ij}u_iv_j. $$
従って積たちは $L$ を $K$ 上生成します。
次に一次独立性を示します。有限和
$$ \sum_{i,j}a_{ij}u_iv_j=0, \qquad a_{ij}\in K $$
があるとします。$j$ ごとにまとめると
$$ \sum_j\left(\sum_i a_{ij}u_i\right)v_j=0. $$
括弧内は $E$ の元です。$(v_j)$ は $E$ 上一次独立なので、各 $j$ について
$$ \sum_i a_{ij}u_i=0. $$
さらに $(u_i)$ は $K$ 上一次独立なので、すべての $a_{ij}=0$。従って積たちは $K$ 上一次独立です。□

基底の積の定理により、$E/K$ の基底の添字集合 $I$ と $L/E$ の基底の添字集合 $J$ に対し、$L/K$ の基底は $I\times J$ で添字付けられます。従って
$$ \dim_KL=|I\times J|=|I||J| =\dim_EL\cdot\dim_KE. $$
有限の場合は集合の要素数の通常の積です。□

塔の法則
$$ [L:K]=[L:E][E:K] $$
で三つは正整数です。従って右辺の各因子は左辺を割ります。□

もし $\sqrt3=a+b\sqrt2$（$a,b\in\mathbb Q$）なら、二乗して
$$ 3=a^2+2b^2+2ab\sqrt2. $$
$1,\sqrt2$ の一次独立性から
$$ 2ab=0, \qquad a^2+2b^2=3. $$
$a=0$ なら $b^2=3/2$ ですが、既約分数 $b=r/s$ として素因数2と3の指数を比較すれば有理数の平方にはなりません。$b=0$ なら $a^2=3$ で、同様に $\sqrt3\notin\mathbb Q$ に反します。従って不可能です。□

$L=K$ なら $(1)$ が $K$ 基底なので次数1です。逆に $[L:K]=1$ とします。$1\ne0$ なので $(1)$ は一次独立であり、1次元空間 $L$ の基底です。従って任意の $x\in L$ は $x=a\cdot1$（$a\in K$）と書け、$x\in K$。よって $L\subseteq K$ で、もとの包含と合わせて $L=K$ です。□

1は塔の法則で有限な正整数の積になることから従います。
2について、$E$ は有限次元 $K$ ベクトル空間 $L$ の部分空間なので $[E:K]\le[L:K]<\infty$。塔の法則から
$$ [L:E]=[L:K]/[E:K]<\infty. $$
□

塔の法則を繰り返して
$$ [F:K]=[F:E][E:K]=3\cdot2=6, $$
$$ [L:E]=[L:F][F:E]=5\cdot3=15, $$
$$ [L:K]=[L:F][F:E][E:K]=5\cdot3\cdot2=30. $$
□

塔の法則から $[E:K]$ は7の正の約数なので1または7です。1なら次数1の命題から $E=K$。7なら
$$ 7=[L:E]\cdot7 $$
なので $[L:E]=1$、従って $E=L$ です。□

展開して
$$ xy=(1+\sqrt2+\sqrt3)(1-\sqrt2+\sqrt6). $$
各項をまとめると、定数項は $1-2=-1$、$\sqrt2$ 項は $-\sqrt2+\sqrt2=0$、$\sqrt3$ 項は $\sqrt3+2\sqrt3=3\sqrt3$、$\sqrt6$ 項は $\sqrt6-\sqrt6=0$、さらに $\sqrt3\sqrt6=3\sqrt2$ があります。従って
$$ xy=-1+3\sqrt2+3\sqrt3. $$
直接すべての9項を並べても同じ結果になります。□

もし
$$ K\subseteq K(\alpha)\subseteq L $$
なら塔の法則から
$$ 4=[L:K]=[L:K(\alpha)]\,[K(\alpha):K] =3[L:K(\alpha)]. $$
右辺は3の倍数ですが左辺はそうでないため矛盾です。□