6-6 中間体の次数と正規部分群

$x\in L^H$ とし、$\tau\in\sigma H\sigma^{-1}$ を取ります。ある $h\in H$ が存在して
$$ \tau=\sigma h\sigma^{-1} $$
と書けます。従って
$$ \tau(\sigma(x)) =\sigma h\sigma^{-1}\sigma(x) =\sigma(h(x)) =\sigma(x). $$
よって $\sigma(x)$ は $\sigma H\sigma^{-1}$ の全要素に固定され、
$$ \sigma(L^H)\subseteq L^{\sigma H\sigma^{-1}} $$
です。
同じ議論を $\sigma^{-1}$ と部分群 $\sigma H\sigma^{-1}$ に適用すると
$$ \sigma^{-1}(L^{\sigma H\sigma^{-1}})\subseteq L^H $$
を得ます。両辺へ $\sigma$ を施せば逆向きの包含が得られるので、等号が成立します。□

$H\trianglelefteq G$ なら $\sigma H\sigma^{-1}=H$ なので、共役部分群の補題から
$$ \sigma(E)=L^{\sigma H\sigma^{-1}}=L^H=E. $$
逆にすべての $\sigma\in G$ について $\sigma(E)=E$ とします。補題から
$$ L^{\sigma H\sigma^{-1}}=\sigma(E)=E=L^H. $$
Galois対応は単射なので
$$ \sigma H\sigma^{-1}=H. $$
$\sigma$ は任意であり、$H\trianglelefteq G$ です。□

まず $H\trianglelefteq G$ と仮定します。正規性と安定性の系から、すべての $\sigma\in G$ について $\sigma(E)=E$ です。従って制限写像
$$ \rho:G\longrightarrow\operatorname{Aut}_K(E), \qquad \rho(\sigma)=\sigma|_E $$
が定義できます。これは群準同型であり、その核は $E$ の全要素を固定する元全体、すなわち
$$ \ker\rho=\operatorname{Gal}(L/E)=H $$
です。準同型定理により
$$ G/H\cong\operatorname{im}\rho. $$
したがって
$$ |\operatorname{im}\rho| =|G/H| =[G:H] =[E:K]. $$
一方、有限拡大の $K$ 自己同型の個数は拡大次数以下なので
$$ |\operatorname{Aut}_K(E)|\le [E:K]. $$
像は $\operatorname{Aut}_K(E)$ の部分群でありながら既に $[E:K]$ 個の元をもつため、
$$ \operatorname{im}\rho=\operatorname{Aut}_K(E), \qquad |\operatorname{Aut}_K(E)|=[E:K]. $$
よって $E/K$ はGalois拡大であり、
$$ G/H\cong\operatorname{Gal}(E/K) $$
です。
逆に $E/K$ がGalois拡大であると仮定します。任意の $\sigma\in G$ に対して、制限 $\sigma|_E$ は $E$ の $K$ 埋め込みです。$E/K$ の正規性から、その像は $E$ 自身です。従って
$$ \sigma(E)=E $$
がすべての $\sigma\in G$ について成り立ちます。正規性と安定性の系から $H\trianglelefteq G$ です。□

共役部分群と固定体の補題から
$$ \sigma(E)=E \quad\Longleftrightarrow\quad \sigma H\sigma^{-1}=H. $$
従って $N_G(H)$ の各元は $E$ を保ち、制限準同型
$$ \rho:N_G(H)\longrightarrow\operatorname{Aut}_K(E) $$
が定義できます。その核は $E$ を各点ごとに固定する元全体なので $H$ です。
全射性を示します。$\tau\in\operatorname{Aut}_K(E)$ を取ります。埋め込み延長定理により、$\tau:E\to L$ は $K$ 埋め込み
$$ \widetilde\tau:L\longrightarrow\overline K $$
へ延長できます。$L/K$ は正規なので $\widetilde\tau(L)=L$、従って $\widetilde\tau\in G$ です。また $\widetilde\tau(E)=\tau(E)=E$ なので、安定性の特徴づけから $\widetilde\tau\in N_G(H)$ です。ゆえに $\rho$ は全射です。
群の準同型定理から
$$ N_G(H)/H\cong\operatorname{Aut}_K(E) $$
を得ます。□

Galois対応から
$$ [L:E]=|H|=6, \qquad [E:K]=[G:H]=\frac{24}{6}=4. $$
$H$ は正規なので $E/K$ はGaloisであり
$$ \operatorname{Gal}(E/K)\cong G/H. $$
従ってその位数は4です。□

Galois群は
$$ G\cong C_2\times C_2 $$
でありAbel群です。Abel群のすべての部分群は正規部分群なので、各中間体に対応する部分群は正規です。正規部分群判定により、すべての中間体は $\mathbb Q$ 上Galoisです。
具体的には
$$ \mathbb Q,\quad \mathbb Q(\sqrt2),\quad \mathbb Q(\sqrt3),\quad \mathbb Q(\sqrt6),\quad L $$
であり、三つの二次拡大はいずれも二次多項式の分解体です。□

正規化群の定理から
$$ \operatorname{Aut}_K(E)\cong N_G(H)/H $$
なので
$$ |\operatorname{Aut}_K(E)| =[N_G(H):H] =\frac{12}{4}=3. $$
$E/K$ がGaloisなら $H\trianglelefteq G$ なので $N_G(H)=G$ です。従って
$$ |G|=|N_G(H)|=12 $$
でなければなりません。□

巡回群はAbel群なので、$G=\operatorname{Gal}(L/K)$ のすべての部分群は正規部分群です。任意の中間体 $E$ に対応する
$$ H=\operatorname{Gal}(L/E) $$
も正規です。従って正規部分群判定から $E/K$ はGalois拡大です。さらに
$$ \operatorname{Gal}(E/K)\cong G/H $$
であり、巡回群の商群も巡回群なので $E/K$ は巡回Galois拡大です。□