2-7 代数拡大と代数閉包

塔
$$ K\subseteq K(\alpha_1)\subseteq K(\alpha_1,\alpha_2) \subseteq\cdots\subseteq K(\alpha_1,\ldots,\alpha_r) $$
を考えます。$\alpha_i$ は $K$ 上の多項式を満たすので、係数体を大きくした $K(\alpha_1,\ldots,\alpha_{i-1})$ 上でも代数的です。従って各段の次数は有限です。塔の法則より全体の次数は有限です。有限次拡大は代数拡大なので後半も従います。□

$\alpha,\beta\in A$ とします。前命題により $K(\alpha,\beta)/K$ は有限次です。従って
$$ \alpha-\beta,\qquad \alpha\beta, $$
および $\beta\ne0$ のとき $\alpha/\beta$ は、いずれも有限次拡大 $K(\alpha,\beta)$ の元なので $K$ 上代数的です。また $0,1\in K\subseteq A$ です。部分体判定法により $A$ は部分体です。□

$\alpha\in M$ を取ります。$M/L$ が代数的なので、ある非零多項式
$$ f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\in L[x] $$
が $f(\alpha)=0$ を満たします。係数 $a_0,\ldots,a_n$ は $K$ 上代数的ですから
$$ E=K(a_0,\ldots,a_n) $$
は前命題により $K$ の有限次拡大です。また $\alpha$ は $E$ 上代数的なので $E(\alpha)/E$ も有限次です。塔の法則から
$$ [E(\alpha):K]=[E(\alpha):E][E:K]<\infty. $$
従って $\alpha$ は $K$ 上代数的です。$\alpha$ は任意だったので $M/K$ は代数拡大です。□

$1\Rightarrow2$：次数について帰納します。$f$ は根 $a$ をもち、除法により $f=(x-a)g$ と書けます。$g$ は次数が一つ小さいので帰納法を適用します。
$2\Rightarrow3$：次数2以上の多項式は一次因子をもつので既約ではありません。
$3\Rightarrow4$：$L/\Omega$ を代数拡大、$\alpha\in L$ とします。$\alpha$ の最小多項式は既約なので一次式です。従って $\alpha\in\Omega$ であり、$L=\Omega$ です。
$4\Rightarrow1$：次数1以上の $f\in\Omega[x]$ を取ります。$f$ の既約因子 $p$ を一つ取ると、$\Omega[x]/(p)$ は $\Omega$ の代数拡大です。仮定によりこの拡大は $\Omega$ 自身なので、$p$ の次数は1です。従って $f$ は $\Omega$ に根をもちます。□

まず、すべての非定数多項式が根をもつ代数拡大を一段で作ります。$K[x]$ のモニック非定数多項式 $f$ ごとに一つの変数 $X_f$ を用意し、多変数多項式環
$$ R=K[X_f\mid f\in K[x]\text{ はモニック非定数}] $$
を考えます。$R$ のイデアル
$$ I=(f(X_f)\mid f\in K[x]\text{ はモニック非定数}) $$
は真のイデアルです。実際、もし $1\in I$ なら、その表示には有限個の多項式 $f_1,\ldots,f_r$ しか現れません。根を一つずつ添加すれば、ある拡大体 $E/K$ と $a_i\in E$ で $f_i(a_i)=0$ となるものが作れます。$X_{f_i}\mapsto a_i$ と代入すれば $1=0$ となり矛盾します。
Zorn の補題により $I$ を含む極大イデアル $\mathfrak m$ が存在します。商
$$ K_1=R/\mathfrak m $$
は体で、各 $f$ は $X_f+\mathfrak m$ を根にもつので、$K$ 上のすべての非定数多項式が $K_1$ に根をもちます。
同じ構成を繰り返して
$$ K=K_0\subseteq K_1\subseteq K_2\subseteq\cdots $$
を作り、$K_{n+1}$ では $K_n$ 上のすべての非定数多項式が根をもつようにします。合併
$$ \Omega=\bigcup_{n\ge0}K_n $$
は体です。$g\in\Omega[x]$ は有限個の係数しかもたないので、ある $n$ で $g\in K_n[x]$ です。従って $g$ は $K_{n+1}\subseteq\Omega$ に根をもちます。ゆえに $\Omega$ は代数的閉体です。
最後に、$\Omega$ の中で $K$ 上代数的な元全体を $\overline K$ とします。これは部分体です。$\overline K/K$ は定義から代数的です。$f\in\overline K[x]$ を非定数とすると、$\Omega$ が代数的閉体なので根 $\alpha\in\Omega$ をもちます。$f$ の係数が生成する体は $K$ 上有限次で、$\alpha$ はその体上代数的です。代数性の推移性から $\alpha$ は $K$ 上代数的、従って $\alpha\in\overline K$ です。ゆえに $\overline K$ は代数的閉体であり、$K$ の代数閉包です。□

$K$ 上の埋め込み $\varphi:E\to\overline K_2$ で $K\subseteq E\subseteq\overline K_1$ となる組 $(E,\varphi)$ を、延長関係で順序づけます。全順序部分集合では写像が互いに延長になっているので、その合併も埋め込みです。Zorn の補題により極大な組 $(E,\varphi)$ が存在します。
もし $E\ne\overline K_1$ なら $\alpha\in\overline K_1\setminus E$ を取れます。$\alpha$ は $E$ 上代数的です。その最小多項式の係数に $\varphi$ を施した多項式は、代数的閉体 $\overline K_2$ に根 $\beta$ をもちます。埋め込み延長定理により $\varphi$ は $E(\alpha)\to\overline K_2$ へ延長され、極大性に矛盾します。従って $E=\overline K_1$ です。
像 $F=\varphi(\overline K_1)$ は $\overline K_1$ と同型なので代数的閉体です。任意の $\gamma\in\overline K_2$ は $K$ 上、従って $F$ 上代数的です。代数的閉体 $F$ は真の代数拡大をもたないので $\gamma\in F$ です。従って $F=\overline K_2$、すなわち $\varphi$ は全射でもあります。□

$K(\alpha,\beta)/K$ は有限次です。$\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ はこの有限次拡大の元なので、いずれも $K$ 上代数的です。これは個別の消去計算をせず、有限次性だけで同時に結論する方法です。□

有限次拡大は代数拡大です。任意の $\alpha\in L$ の最小多項式は $\Omega[x]$ の既約多項式ですが、代数的閉体上の既約多項式は一次式だけです。従って $\alpha\in\Omega$ です。よって $L\subseteq\Omega$ であり、逆の包含と合わせて $L=\Omega$ です。□

$i$ は $x^2+1$ の根なので $\mathbb C=\mathbb R(i)$ は $\mathbb R$ の2次代数拡大です。また代数学の基本定理により、$\mathbb C$ 係数の非定数多項式は $\mathbb C$ に根をもちます。従って $\mathbb C$ は代数的閉体であり、二条件から $\mathbb R$ の代数閉包です。□

$E$ の各元は $\overline K$ の元なので $K$ 上代数的であり、$E/K$ は代数拡大です。$\alpha\in\overline K$ は $K$ 上の多項式を満たします。その多項式は $E[x]$ の多項式でもあるので、$\alpha$ は $E$ 上代数的です。従って $\overline K/E$ も代数拡大です。$\overline K$ はすでに代数的閉体なので、$E$ の代数閉包の二条件を満たします。□