2-6 埋め込みと共役元

$\sigma$ と $\tau$ が一致する元全体を $E$ とします。$K\subseteq E$ で、$x,y\in E$ なら加減乗除について
$$ \sigma(x\pm y)=\tau(x\pm y), \quad \sigma(xy)=\tau(xy), $$
$y\ne0$ なら
$$ \sigma(x/y)=\sigma(x)\sigma(y)^{-1} =\tau(x)\tau(y)^{-1}=\tau(x/y). $$
従って $E$ は $K$ と $S$ を含む部分体です。$K(S)$ の最小性から $L=K(S)\subseteq E$、よって全体で一致します。□

$m(x)=\sum_ia_ix^i$ と書きます。係数 $a_i\in K$ は $\sigma$ で固定されるので
$$ m(\sigma(\alpha)) =\sum_ia_i\sigma(\alpha)^i =\sigma\left(\sum_ia_i\alpha^i\right) =\sigma(m(\alpha))=\sigma(0)=0. $$
□

同型
$$ K(\alpha)\cong K[x]/(m), \qquad f(\alpha)\leftrightarrow f(x)+(m) $$
を使います。評価写像 $K[x]\to\Omega$、$f\mapsto f(\beta)$ は $m(\beta)=0$ により $(m)$ を核に含むので、商を通って
$$ K[x]/(m)\to\Omega $$
を誘導します。$m$ は既約なので商は体であり、この準同型は単位元を保つ体準同型、従って単射です。合成により $\alpha$ を $\beta$ へ送る $K$ 埋め込みを得ます。
一意性は $K(\alpha)$ が $K$ と $\alpha$ で生成されることから従います。前命題により任意の埋め込みは $\alpha$ を $m$ の根へ送るため、対応は全射かつ単射です。□

埋め込みは最小多項式 $m$ の相異なる根と全単射です。相異なる根の個数は $\deg m$ 以下で、
$$ \deg m=[K(\alpha):K]. $$
$\Omega$ が全根を含むので、相異なる根の数が次数に等しいことは重根がないことと同値です。□

$K(\alpha)$ の元は一意に
$$ a_0+a_1\alpha+\cdots+a_{d-1}\alpha^{d-1} $$
と書けます。そこで
$$ \widetilde\iota\left(\sum_ia_i\alpha^i\right) =\sum_i\iota(a_i)\beta^i $$
と定めます。一意表示により良定義で、加法と乗法を保つことは多項式の計算から従います。積の後に $m(\alpha)=0$ で還元した関係は、$m^\iota(\beta)=0$ により像でも保たれます。単位元を保つ体準同型なので単射です。
制限と $\alpha$ の像は定義通りです。一意性は $K(\alpha)$ が $K$ と $\alpha$ で生成されることから従います。□

$\sqrt d$ の最小多項式は $x^2-d$ で、複素数内の根は $\sqrt d,-\sqrt d$。従って埋め込みは
$$ a+b\sqrt d\mapsto a+b\sqrt d, $$
$$ a+b\sqrt d\mapsto a-b\sqrt d $$
の二つです。$d<0$ の場合も複素平方根を一つ選べば同じ記述です。□

最小多項式は $x^4-10x^2+1$ で、その根は
$$ \sqrt2+\sqrt3, \quad-\sqrt2+\sqrt3, \quad\sqrt2-\sqrt3, \quad-\sqrt2-\sqrt3. $$
また $\mathbb Q(\alpha)=\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$。各根は $\sqrt2$ と $\sqrt3$ の符号を独立に選ぶ写像
$$ \sqrt2\mapsto\pm\sqrt2, \qquad \sqrt3\mapsto\pm\sqrt3 $$
から得られます。四つの符号選択が四つの埋め込みです。□

$K$ 自己同型は特に $K$ 埋め込み $L\to\Omega$ です。各自己同型は $\alpha$ を最小多項式の根へ送り、生成元の像で一意に決まります。根の個数は最小多項式の次数以下なので
$$ |\operatorname{Aut}_K(L)| \le\deg m_{\alpha,K} =[L:K]. $$
□

有理根定理による根候補は $\pm1$ ですが
$$ f(1)=-1, \qquad f(-1)=3 $$
でどちらも根でありません。三次多項式なので有理根をもたなければ既約です。従って $m_{\alpha,\mathbb Q}=f$。
仮定により $f$ は相異なる三実根をもち、その各根を $\alpha$ の像として一意な $\mathbb Q$ 埋め込みが得られます。従って埋め込みは3個です。□