6-1 Galois拡大とGalois群
分離性は共役な根を互いに区別できること、正規性は共役な根が体の外へ逃げないことでした。両方を満たすと、代数閉包への埋め込みはすべて拡大体自身の自己同型になります。その自己同型を合成すると群ができ、方程式の根の対称性を計算可能な代数的対象へ変換できます。
Galois拡大
代数拡大 $L/K$ が正規かつ分離的であるとき、$L/K$ を**Galois拡大**という。有限次でもあるとき有限Galois拡大という。
標数0ではすべての代数拡大が分離的なので、有限拡大がGaloisであるためには正規性だけを調べればよいです。有限体も完全体なので同様です。
$f\in K[x]$ が分離多項式で、その分解体を $L$ とする。このとき $L/K$ は有限Galois拡大である。
分解体なので $L/K$ は有限正規拡大です。$L$ は $f$ の有限個の根で生成され、各根の最小多項式は分離多項式 $f$ の既約因子なので分離的です。有限個の分離的な元で生成される拡大は分離的です。従って $L/K$ はGalois拡大です。□
逆に有限Galois拡大 $L/K$ は原始元定理により $L=K(\theta)$ と書け、正規性により $\theta$ の最小多項式の全根を含みます。従って $L$ は一つの分離多項式の分解体です。
Galois群
体拡大 $L/K$ に対し、$K$ の元をすべて固定する $L$ の体自己同型全体を
$$
\operatorname{Gal}(L/K)
=\operatorname{Aut}_K(L)
$$
と書き、$L/K$ の**Galois群**という。演算は写像の合成である。
$\operatorname{Gal}(L/K)$ は写像の合成について群をなす。
二つの $K$ 上の自己同型の合成は再び加法・乗法・単位元を保ち、$K$ を各点で固定するので閉じています。写像の合成は結合的です。恒等写像が単位元です。自己同型 $\sigma$ の逆写像 $\sigma^{-1}$ も体同型であり、$a\in K$ について $\sigma(a)=a$ だから $\sigma^{-1}(a)=a$。従って逆元も群内にあります。□
群の位数と拡大次数
$L/K$ を有限Galois拡大とする。このとき
$$
|\operatorname{Gal}(L/K)|=[L:K].
$$
$L/K$ は分離的なので、$K$ 上の埋め込み $L\to\overline K$ は $[L:K]$ 個あります。正規性の埋め込み判定により、それらの像はすべて $L$ に等しく、各埋め込みは $L$ の $K$ 上の自己同型です。逆にGalois群の元はそのような埋め込みです。従って両集合は一致し、位数は $[L:K]$ です。□
$L/K$ を有限次拡大とする。次は同値である。
- $L/K$ はGalois拡大である。
- $L$ はある分離多項式 $f\in K[x]$ の分解体である。
- $|\operatorname{Aut}_K(L)|=[L:K]$。
- 固定した代数閉包へのすべての $K$ 埋め込みの像が $L$ に等しく、その個数が $[L:K]$ である。
$1\Rightarrow2$：原始元定理で $L=K(\theta)$ とします。$\theta$ の最小多項式は分離的で、正規性により $L$ で完全に分解します。$L$ はその根 $\theta$ で生成されるので分解体です。
$2\Rightarrow1$ は分離多項式の分解体についての命題です。
$1\Rightarrow3$ は次数公式です。
$3\Rightarrow4$：自己同型はすべて代数閉包への埋め込みです。一方、そのような埋め込みは高々 $[L:K]$ 個です。すでに自己同型が $[L:K]$ 個あるので、全埋め込みが自己同型であり、その像は $L$ です。
$4\Rightarrow1$：埋め込み数が次数に等しいので $L/K$ は分離的です。すべての埋め込みの像が $L$ なので、正規性の埋め込み判定から正規的です。従ってGalois拡大です。□
固定体
$G$ を体 $L$ の自己同型からなる群とする。すべての $\sigma\in G$ に固定される元全体
$$
L^G=\{a\in L\mid \sigma(a)=a\text{ for all }\sigma\in G\}
$$
を $G$ の**固定体**という。
$L^G$ は $L$ の部分体である。
$a,b\in L^G$、$\sigma\in G$ とします。すると
$$
\sigma(a-b)=a-b,
\qquad
\sigma(ab)=ab.
$$
$b\ne0$ なら
$$
\sigma(a/b)=\sigma(a)/\sigma(b)=a/b.
$$
また自己同型は $0,1$ を固定します。部分体判定法から $L^G$ は部分体です。□
$L/K$ を有限Galois拡大とし $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ とする。このとき
$$
L^G=K.
$$
Galois群の全元は $K$ を固定するので $K\subseteq L^G$ です。
$\alpha\in L\setminus K$ を取ります。$\alpha$ の最小多項式は分離的で次数が2以上なので、$\alpha$ と異なる根 $\beta$ をもちます。正規性により $\beta\in L$。単純拡大の同型 $K(\alpha)\to K(\beta)$、$\alpha\mapsto\beta$ は分解体への延長定理により $L$ の $K$ 自己同型 $\sigma$ へ延長できます。すると $\sigma(\alpha)=\beta\ne\alpha$ なので $\alpha\notin L^G$。従って $L^G\subseteq K$ で、等号を得ます。□
具体例1：二次拡大
$L=K(\sqrt d)$、$\operatorname{char}K\ne2$、$d$ は平方でないとします。自己同型は $\sqrt d$ を $x^2-d$ の根へ送るので
$$
1:a+b\sqrt d\mapsto a+b\sqrt d,
$$
$$
\tau:a+b\sqrt d\mapsto a-b\sqrt d
$$
の二つです。$\tau^2=1$ なので
$$
\operatorname{Gal}(L/K)\cong C_2.
$$
具体例2：双二次拡大
$L=\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$ では、二つの平方根の符号を独立に変えられます。
$$
\sigma(\sqrt2)=-\sqrt2,\quad \sigma(\sqrt3)=\sqrt3,
$$
$$
\tau(\sqrt2)=\sqrt2,\quad \tau(\sqrt3)=-\sqrt3.
$$
恒等写像、$\sigma$、$\tau$、$\sigma\tau$ の4元があり、非自明な各元の二乗は恒等写像です。従って
$$
\operatorname{Gal}(L/\mathbb Q)\cong C_2\times C_2.
$$
具体例3：$x^3-2$ の分解体
$L=\mathbb Q(\alpha,\omega)$、$\alpha^3=2$ とします。自己同型
$$
\sigma(\alpha)=\omega\alpha,\quad\sigma(\omega)=\omega,
$$
$$
\tau(\alpha)=\alpha,\quad\tau(\omega)=\omega^2
$$
は
$$
\sigma^3=1,
\qquad
\tau^2=1,
\qquad
\tau\sigma\tau=\sigma^{-1}
$$
を満たします。従って6元のGalois群は三つの根の置換群
$$
S_3
$$
と同型です。群が非可換であることは、根の対称性の合成順序が結果を変えることを表します。
演習
$\mathbb C/\mathbb R$ がGalois拡大であり、そのGalois群が $C_2$ と同型であることを示せ。
$\mathbb C=\mathbb R(i)$ は分離多項式 $x^2+1$ の分解体なのでGalois拡大です。$\mathbb R$ 上の自己同型は $i$ を $i$ または $-i$ へ送るため、恒等写像と複素共役の二つだけです。複素共役の二乗は恒等写像なのでGalois群は $C_2$ と同型です。□
$L=K(\sqrt d)$ の非自明な自己同型を $\tau$ とする。$L^{\langle\tau\rangle}=K$ を元の表示から直接示せ。
$a+b\sqrt d\in L$ が $\tau$ に固定されるなら
$$
a+b\sqrt d=a-b\sqrt d.
$$
従って $2b\sqrt d=0$。標数は2でなく $\sqrt d\ne0$ なので $b=0$。固定元は $a\in K$ だけです。逆に $K$ の元は定義から固定されるので、固定体は $K$ です。□
$G=\operatorname{Gal}(\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)/\mathbb Q)$ の4元 $1,\sigma,\tau,\sigma\tau$ の積表を書け。
$\sigma^2=\tau^2=1$ で、異なる平方根の符号を変える操作なので $\sigma\tau=\tau\sigma$ です。積表は
| $\circ$ | $1$ | $\sigma$ | $\tau$ | $\sigma\tau$ |
|---|---|---|---|---|
| $1$ | $1$ | $\sigma$ | $\tau$ | $\sigma\tau$ |
| $\sigma$ | $\sigma$ | $1$ | $\sigma\tau$ | $\tau$ |
| $\tau$ | $\tau$ | $\sigma\tau$ | $1$ | $\sigma$ |
| $\sigma\tau$ | $\sigma\tau$ | $\tau$ | $\sigma$ | $1$ |
となります。これはKleinの四元群 $C_2\times C_2$ の積表です。□
$L/K$ を次数 $n$ の有限拡大とし、異なる $K$ 自己同型が $n$ 個見つかったとする。$L/K$ がGalois拡大であることを示せ。
一般に代数閉包への $K$ 埋め込みは高々 $[L:K]=n$ 個です。見つかった $n$ 個の自己同型はすべてそのような埋め込みなので、埋め込み全体を尽くします。従って埋め込み数が次数に等しく、$L/K$ は分離的です。また全埋め込みの像が $L$ なので正規性の埋め込み判定から正規的です。ゆえにGalois拡大です。□
参考文献
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