3-3 非分離拡大

標数 $p>0$ では
$$ (x-y)^p=x^p-y^p $$
となります。途中の二項係数がすべて $p$ の倍数だからです。そのため $x^p-a$ は、代数閉包で $a=b^p$ と書けば
$$ x^p-a=(x-b)^p $$
となり、異なる $p$ 個の根ではなく一つの根が $p$ 回重なります。純非分離拡大は、この現象だけから作られる拡大です。
以下、この章では特に断らない限り $K$ の標数を素数 $p$ とします。

純非分離元

代数的元 $\alpha$ が $K$ 上純非分離元|純非分離的であるとは、ある整数 $e\ge0$ に対して
$$ \alpha^{p^e}\in K $$
となることをいう。このような最小の $e$ を $\alpha$ の非分離指数という。

$e=0$ は $\alpha\in K$ という場合です。$K=\mathbb F_p(t)$ で $u^p=t$ とすると、$u$ は $K$ 上純非分離的で非分離指数1です。

純非分離元の最小多項式

$\alpha$ が $K$ 上純非分離的で、$e$ をその非分離指数とする。このとき $\alpha$ の最小多項式は
$$ x^{p^e}-\alpha^{p^e} $$
である。特に
$$ [K(\alpha):K]=p^e. $$

$a=\alpha^{p^e}\in K$ とおけば、最小多項式 $m$ は $x^{p^e}-a$ を割ります。代数閉包では
$$ x^{p^e}-a=(x-\alpha)^{p^e} $$
です。従って $m$ の根は $\alpha$ 一つだけです。
$m$ がモニックで次数 $d$ なら、代数閉包で $m=(x-\alpha)^d$。もし $d$ が $p$ の倍数でなければ $x^{d-1}$ の係数 $-d\alpha$ が $K$ に属するので $\alpha\in K$ となり、$e>0$ のとき矛盾します。より一般に、$(x-\alpha)^d$ のうち係数が $K$ に入る最初の冪は $p$ 冪です。これを形式微分で厳密に示します。
$e>0$ なら $m$ は非分離的なので $m'=0$。従って $m(x)=m_1(x^p)$ と書けます。代数閉包で唯一の根が $\alpha$ なので、$m_1$ の唯一の根は $\alpha^p$ です。$m_1$ が分離的なら次数1、非分離的なら再び $m_1(x)=m_2(x^p)$ と書けます。この操作を $r$ 回行うと
$$ m(x)=x^{p^r}-b $$
となり、$b=\alpha^{p^r}\in K$ です。$e$ の最小性から $r\ge e$。一方 $m\mid x^{p^e}-a$ なので $\deg m\le p^e$、従って $r\le e$。ゆえに $r=e$ で、主張を得ます。□

純非分離拡大

代数拡大 $L/K$ のすべての元が $K$ 上純非分離的であるとき、$L/K$ を**純非分離拡大**という。

有限生成の場合の共通指数

$L=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_r)$ で各 $\alpha_i$ が $K$ 上純非分離的なら、ある $e\ge0$ が存在して
$$ x^{p^e}\in K\qquad(x\in L) $$
となる。従って $L/K$ は純非分離拡大である。

各 $i$ について $\alpha_i^{p^{e_i}}\in K$ となる $e_i$ を取り、$e=\max e_i$ とします。すると全生成元について $\alpha_i^{p^e}\in K$ です。
$x\in L$ は生成元の有理式として書けます。Frobeniusの反復は加法と乗法を保つので、その有理式を $p^e$ 乗すると、各係数は $K$ に留まり、各 $\alpha_i$ は $\alpha_i^{p^e}\in K$ に置き換わります。従って $x^{p^e}\in K$ です。□

埋め込みが一つしかない

純非分離拡大の埋め込み

$L/K$ を純非分離拡大とし、$\Omega$ を $L$ を含む代数的閉体とする。このとき $K$ 上の埋め込み $L\to\Omega$ は包含写像ただ一つである。

$\sigma:L\to\Omega$ を $K$ 上の埋め込み、$\alpha\in L$ とします。ある $e$ で $\alpha^{p^e}=a\in K$ です。従って
$$ \sigma(\alpha)^{p^e} =\sigma(\alpha^{p^e}) =\sigma(a)=a. $$
代数閉体で $x^{p^e}-a=(x-\alpha)^{p^e}$ は根を $\alpha$ 一つしかもちません。ゆえに $\sigma(\alpha)=\alpha$ です。すべての $\alpha$ が固定されるので $\sigma$ は包含写像です。□

次数 $p^e$ がどれほど大きくても、埋め込みは一つしかありません。分離拡大では「次数＝埋め込み数」だったのと正反対です。

既約多項式の分離部分

既約多項式の標準形

既約多項式 $f\in K[x]$ に対し、一意な整数 $e\ge0$ と、微分が零でない既約多項式 $g\in K[x]$ が存在して
$$ f(x)=g(x^{p^e}) $$
と書ける。

$f'\ne0$ なら $e=0$、$g=f$ とすればよいです。$f'=0$ なら、形式微分が零となる条件から $f(x)=f_1(x^p)$ と書けます。$f_1$ は既約です。実際 $f_1=ab$ と分解すれば $f=a(x^p)b(x^p)$ となり、$f$ の既約性に反します。
$f_1'=0$ なら同じ操作を繰り返します。次数は毎回 $p$ で割られて小さくなるので有限回で止まり、$f=g(x^{p^e})$、$g'\ne0$ を得ます。各段で「微分が零か」によって続行が強制されるため $e$ は一意で、$g$ も係数比較から一意です。$g'\ne0$ かつ既約なので $g$ は分離的です。□

$f$ の根を $\alpha$ とすれば
$$ g(\alpha^{p^e})=0. $$
従って $\alpha^{p^e}$ は $K$ 上分離的です。つまり任意の代数的元は、十分な $p$ 乗を取ると分離的な元へ到達します。

分離部分と純非分離部分への分解

最大分離中間体

代数拡大 $L/K$ に対し
$$ L_s=\{\alpha\in L\mid \alpha\text{ は }K\text{ 上分離的}\} $$
を $L$ の $K$ 上の**最大分離中間体|分離部分**という。

分離的元全体は前の頁で示した通り体なので、$K\subseteq L_s\subseteq L$ です。

分離部分と純非分離部分

$L/K$ を代数拡大とする。このとき

$L_s/K$ は分離拡大である。
$L/L_s$ は純非分離拡大である。
従って任意の代数拡大は
$$ K\subseteq L_s\subseteq L $$
と、分離拡大の後に純非分離拡大を重ねた形へ標準的に分解される。

第一項は $L_s$ の定義そのものです。
$\alpha\in L$ を取ります。$\alpha$ の $K$ 上の最小多項式を標準形
$$ f(x)=g(x^{p^e}),\qquad g'\ne0 $$
に書きます。$g(\alpha^{p^e})=0$ で、$g$ は分離的です。$\alpha^{p^e}$ の最小多項式は $g$ の因子なので分離的であり、$\alpha^{p^e}\in L_s$ です。従って $\alpha$ は $L_s$ 上純非分離的です。$\alpha$ は任意なので $L/L_s$ は純非分離拡大です。□

有限拡大の場合、塔の法則から
$$ [L:K]=[L:L_s][L_s:K]. $$
前半 $[L:L_s]$ は $p$ の冪であり純非分離次数、後半は分離次数です。分離次数は $K$ 上の埋め込み数にも一致します。

分離次数と非分離次数

有限拡大 $L/K$ に対して
$$ [L:K]_s=[L_s:K], \qquad [L:K]_i=[L:L_s] $$
をそれぞれ分離次数、非分離次数という。このとき
$$ [L:K]=[L:K]_s[L:K]_i. $$

完全体のFrobenius判定

標数正の完全体判定

標数 $p>0$ の体 $K$ について次は同値である。

$K$ は完全体である。
Frobenius写像 $F:K\to K$、$a\mapsto a^p$ は全射である。
$K^p=\{a^p\mid a\in K\}$ が $K$ に等しい。

$2$ と $3$ は同じ内容です。
$2\Rightarrow1$：非分離既約多項式 $f$ があると仮定します。すると $f'=0$ なので
$$ f=\sum_i a_ix^{pi}. $$
全射性により $a_i=b_i^p$ と書けるため
$$ f=\left(\sum_i b_ix^i\right)^p $$
となり、正次数の $f$ の既約性に反します。従って $K$ は完全です。
$1\Rightarrow2$：$a\in K$ を取ります。代数閉包で $b^p=a$ となる $b$ を取ると、$b$ は $K$ 上純非分離的です。一方 $K$ が完全なので $b$ は分離的でもあります。$b$ の最小多項式は分離的かつ根が一つしかないので一次式であり、$b\in K$。従って $a=b^p$ で、Frobeniusは全射です。□

有限体でFrobeniusが全射なのは有限集合上の単射だからでした。一方 $\mathbb F_p(t)$ では $t$ が $p$ 乗ではないので完全体ではありません。

演習

純非分離拡大の基底

$K=\mathbb F_p(t)$、$L=K(u)$、$u^p=t$ とする。$[L:K]=p$ を示し、$K$ 基底を一つ与えよ。

解答

$t$ は $K$ 内の $p$ 乗ではありません。実際、既約分数 $a(t)/b(t)$ の $p$ 乗が $t$ なら
$$ a(t)^p=t,b(t)^p $$
となりますが、両辺の既約因子 $t$ の指数は左辺で $p$ の倍数、右辺で $1$ を法として $p$ に合同となり矛盾します。従って $u\notin K$ で、$u$ の最小多項式は純非分離元の命題から $x^p-t$ です。ゆえに
$$ [L:K]=p, $$
基底は
$$ 1,u,u^2,\ldots,u^{p-1} $$
です。□