2-2 代数的元と超越元

多項式の代入について
$$ (f+g)(\alpha)=f(\alpha)+g(\alpha), $$
$$ (fg)(\alpha)=f(\alpha)g(\alpha), \qquad1(\alpha)=1 $$
が成り立つため環準同型です。定数多項式 $a\in K$ は $a$ へ送られるので $K$ の作用も保ちます。像の記述は定義そのものです。□

評価写像の像は $K[\alpha]$ なので全射です。超越性は核が0であることなので単射でもあります。従って同型です。□

$K[\alpha]\cong K[x]$ の分数体を取ります。$K(\alpha)$ は $K[\alpha]$ を含む最小の体なのでその分数体であり、$K[x]$ の分数体は $K(x)$ です。具体的な同型は
$$ \frac{f(x)}{g(x)}\longmapsto \frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}. $$
$g\ne0$ なら超越性により $g(\alpha)\ne0$ なので良定義です。□

$\alpha$ を消す非零多項式 $f\in K[x]$ を取ります。係数包含 $K\subseteq E$ により $f$ は $E[x]$ の非零多項式でもあり、同じ等式 $f(\alpha)=0$ を満たします。□

$a_n\ne0$ で $K$ は体なので $a_n^{-1}$ を掛け、最高次係数を1にできます。従って
$$ \alpha^n=-a_n^{-1}(a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_0). $$
$\alpha^n$ は低い冪の線形結合です。この等式に $\alpha$ を順に掛ければ、すべての $\alpha^m$（$m\ge n$）も $1,\ldots,\alpha^{n-1}$ の線形結合へ下げられます。$K[\alpha]$ の元は冪の有限線形結合なので結論を得ます。□

$\mathbb Q[x]$ は可算集合です。実際、次数 $n$ 以下の多項式は有限個の有理数係数で決まり、$\mathbb Q^{n+1}$ は可算。$n$ について可算和を取っても可算です。
各非零多項式は複素数の根を次数以下の有限個しかもちません。従って全代数的数は、可算個の多項式それぞれの有限根集合の合併に含まれ、可算です。逆に代数的数は定義上いずれかの集合に入るため等号です。□

$\alpha-1=\sqrt2$ を二乗して
$$ (\alpha-1)^2=2, $$
従って
$$ \alpha^2-2\alpha-1=0. $$
$\beta^2=5+2\sqrt6$ なので
$$ (\beta^2-5)^2=24. $$
展開して
$$ \beta^4-10\beta^2+1=0. $$
□

もし $t^2$ が代数的なら、非零多項式
$$ f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n $$
が $f(t^2)=0$ を満たします。すると
$$ g(x)=f(x^2)=a_0+a_1x^2+\cdots+a_nx^{2n} $$
は非零多項式で $g(t)=0$。これは $t$ の超越性に反します。□

$K$ 上超越的なのは仮定です。一方、係数 $t^2\in K(t^2)$ を使った多項式
$$ x^2-t^2\in K(t^2)[x] $$
は $t$ を根にもつ非零多項式です。従って $t$ は $K(t^2)$ 上代数的です。□

$t$ は $x^2-t^2\in K(t^2)[x]$ を満たすので次数は高々2です。もし次数1なら $t\in K(t^2)$。すると
$$ t=\frac{f(t^2)}{g(t^2)} $$
となる $f,g\in K[x]$、$g\ne0$ があり、
$$ tg(t^2)-f(t^2)=0. $$
左辺は $t$ の奇数次数項だけからなる部分と偶数次数項だけからなる部分の差で、非零形式多項式です。$t$ は超越的なので0にはなれず矛盾。従って次数は2です。
具体的には任意の有理関数を偶数冪部分と奇数冪部分へ整理することで、$1,t$ が $K(t^2)$ 基底になります。□