2-4 単純代数拡大

体 $K$ に一つの元 $\alpha$ を加えて得られる体 $K(\alpha)$ を単純拡大といいます。$\alpha$ が代数的なら、最小多項式を0とする規則だけで、積・逆元・基底表示をすべて有限計算へ落とせます。本章では抽象的な商同型を、実際に手を動かせる算法へ変えます。

単純拡大

ここでの「原始元」は有限体の乗法群の生成元とは別の用法です。文脈により区別します。
$\mathbb Q(\sqrt2)/\mathbb Q$、$\mathbb Q(\sqrt[3]2)/\mathbb Q$、$K(t)/K$ は単純拡大です。最初の二つは代数的、最後は超越的です。

代数的単純拡大の商表示

掛け算は最小多項式で還元する

$\alpha=\sqrt[3]2$ とします。最小多項式は $x^3-2$ なので
$$ \alpha^3=2. $$
従って積を展開した後、$\alpha^3$ 以上の冪をこの関係で下げます。
たとえば
$$ (1+\alpha+\alpha^2)(2-\alpha) =2+\alpha+\alpha^2-\alpha^3 =\alpha+\alpha^2. $$
最後に $\alpha^3=2$ を使いました。
一般に $K[x]/(m)$ での積は、二つの代表多項式を掛け、その積を $m$ で割った余りを取る操作です。

逆元は拡張Euclid互除法で求める

具体計算：$\mathbb Q(\sqrt2)$

$r(x)=3+x$、$m(x)=x^2-2$ とします。共役を使えば
$$ (3+x)(3-x)=9-x^2\equiv7\pmod{x^2-2}. $$
従って
$$ (3+\sqrt2)^{-1}=\frac{3-\sqrt2}{7}. $$
これはBézout恒等式
$$ \frac{3-x}{7}(3+x)+\frac17(x^2-2)=1 $$
を評価したものです。

具体計算：$\mathbb Q(\sqrt[3]2)$

$\alpha^3=2$ とし、$1+\alpha$ の逆元を求めます。
$$ (1+x)(x^2-x+1)=x^3+1. $$
$x^3\equiv2$ なので右辺は3。従って
$$ (1+\alpha)^{-1}=\frac{\alpha^2-\alpha+1}{3}. $$

根を形式的に作る

既約多項式 $f\in K[x]$ に対し
$$ L=K[x]/(f) $$
と置き、$x$ の剰余類を $\theta=x+(f)$ と書きます。すると
$$ f(\theta)=0 $$
です。もとの体に根がなくても、商を取ることで根をもつ新しい体を構成できます。

この命題により、$f$ の異なる根を選ぶと異なる埋め込みが生まれることが分かります。

$\mathbb F_4$ の完全な計算

$\mathbb F_2$ 上
$$ f(x)=x^2+x+1 $$
は $0,1$ のどちらも根でないので既約です。
$$ \mathbb F_4=\mathbb F_2[x]/(x^2+x+1) $$
とし、$\omega=x+(f)$ と置くと
$$ \omega^2+\omega+1=0, \qquad \omega^2=\omega+1 $$
です。標数2なので $-\omega-1=\omega+1$ となります。
元は
$$ 0,1,\omega,1+\omega $$
の四つです。非零元の積を計算すると
$$ \omega^2=1+\omega, $$
$$ \omega(1+\omega)=\omega+\omega^2=1, $$
$$ (1+\omega)^2=1+2\omega+\omega^2=1+\omega^2=\omega. $$
従って
$$ \omega^{-1}=1+\omega, \qquad (1+\omega)^{-1}=\omega. $$

代数的場合と超越的場合の対比

$$ \begin{array}{c|c|c} &\alpha\text{ が代数的}&\alpha\text{ が超越的}\\ \hline \ker\operatorname{ev}_\alpha&(m_\alpha)&0\\ K[\alpha]&K[x]/(m_\alpha)&K[x]\\ K(\alpha)&K[\alpha]&K(x)\\ [K(\alpha):K]&\deg m_\alpha&\infty \end{array} $$
この表は、評価写像の核が0か非零かという一つの違いが、生成される環と体の形を大きく変えることを示します。

演習