0-6 同値関係と商集合

反射律を示す。任意の整数 $a$ について $a-a=0=n\cdot0$ だから $n\mid(a-a)$、したがって $a\equiv a\pmod n$ である。
対称律を示す。$a\equiv b\pmod n$ なら、ある整数 $k$ により $a-b=nk$ と書ける。すると
$$ b-a=n(-k) $$
だから $b\equiv a\pmod n$ である。
推移律を示す。$a\equiv b\pmod n$ かつ $b\equiv c\pmod n$ なら、ある整数 $k,l$ により
$$ a-b=nk, \qquad b-c=nl $$
と書ける。両式を足すと
$$ a-c=n(k+l) $$
なので $a\equiv c\pmod n$ である。
三条件がすべて確認されたから、合同関係は同値関係である。

$[x]\cap[y]\ne\varnothing$ と仮定し、$z\in[x]\cap[y]$ を取る。$z\in[x]$ から $z\sim x$、$z\in[y]$ から $z\sim y$ である。対称律により $x\sim z$ であり、推移律から $x\sim y$ を得る。
任意の $u\in[x]$ を取る。$u\sim x$ かつ $x\sim y$ なので、推移律により $u\sim y$、したがって $u\in[y]$ である。よって $[x]\subset[y]$ である。同様に、$x\sim y$ の対称律と推移律を使って $[y]\subset[x]$ も得る。ゆえに $[x]=[y]$ である。
したがって二同値類が交わるなら一致する。対偶を取れば、異なる二同値類は交わらない。
最後に任意の $x\in A$ について、反射律から $x\sim x$ なので $x\in[x]$ である。もし $x\in[y]$ でもあれば $[x]$ と $[y]$ は交わるため一致する。よって $x$ はちょうど一つの同値類に属する。

仮定から、ある整数 $k,l$ により
$$ a-a'=nk, \qquad b-b'=nl $$
と書ける。加法について
$$ (a+b)-(a'+b')=(a-a')+(b-b')=n(k+l) $$
なので $a+b\equiv a'+b'\pmod n$ である。
乗法について
$$ ab-a'b'=a(b-b')+b'(a-a')=a(nl)+b'(nk)=n(al+b'k) $$
なので $ab\equiv a'b'\pmod n$ である。よってどの代表元を使っても同じ同値類が得られる。

任意の整数 $a$ は自分自身と同じ偶奇なので反射律が成り立つ。$a,b$ の偶奇が同じなら $b,a$ の偶奇も同じなので対称律が成り立つ。$a,b$ の偶奇が同じで、$b,c$ の偶奇も同じなら、$a,c$ の偶奇が同じなので推移律が成り立つ。
同値類は偶数全体 $[0]=2\mathbb{Z}$ と奇数全体 $[1]=2\mathbb{Z}+1$ の二つである。したがって商集合は $\{[0],[1]\}$ である。

$[x]=[y]$ とする。反射律から $x\in[x]$ なので $x\in[y]$ でもあり、同値類の定義から $x\sim y$ である。
逆に $x\sim y$ とする。任意の $u\in[x]$ について $u\sim x$ であり、推移律から $u\sim y$、よって $u\in[y]$ である。したがって $[x]\subset[y]$。対称律から $y\sim x$ でもあるので、同じ議論で $[y]\subset[x]$。ゆえに $[x]=[y]$ である。

$x-x=0\in12\mathbb{Z}$ なので反射律が成り立つ。$x-y=12k$ なら $y-x=12(-k)$ なので対称律が成り立つ。$x-y=12k$、$y-z=12l$ なら $x-z=12(k+l)$ なので推移律が成り立つ。
$1-13=-12$、$1-(-11)=12$ はともに $12\mathbb{Z}$ に属するため $[1]=[13]=[-11]$ である。
$x\sim x'$、$y\sim y'$ なら $x-x',y-y'\in12\mathbb{Z}$ であり、
$$ (x+y)-(x'+y')=(x-x')+(y-y')\in12\mathbb{Z}. $$
したがって $[x+y]=[x'+y']$ で、加法は代表元の選び方によらない。