2-8 和・共通部分・次元公式

読み始める前の問い

二つの平面を合わせると次元は足し算になるのか。共通の直線は何回数えるべきだろうか。
このページでできるようになること
和と共通部分の次元公式で、重複を正確に差し引けるようになる。
二つの部分空間を合わせるとき、単純に次元を足すと共通部分を二重に数えます。

部分空間の和

部分空間 $U,W\subset V$ に対し
$$ U+W:=\{u+w\mid u\in U,w\in W\} $$
と定め、部分空間の和という。

$U+W$ は零を含み、$a(u_1+w_1)+b(u_2+w_2)=(au_1+bu_2)+(aw_1+bw_2)$ も同じ形なので部分空間です。

証明を読む前の見取り図

共通部分の基底を両方へ延長し、重複部分を一度だけ含む和空間の基底を作る。

部分空間の次元公式

$U,W$ を有限次元部分空間とすると
$$ \dim(U+W)+\dim(U\cap W)=\dim U+\dim W. $$

共通部分の基底を両側へ延長する

$U\cap W$ の基底を $a_1,\ldots,a_k$ とする。これを $U$ の基底
$$ a_1,\ldots,a_k,u_1,\ldots,u_p $$
と $W$ の基底
$$ a_1,\ldots,a_k,w_1,\ldots,w_q $$
へ延長する。
結合した列 $a_i,u_j,w_\ell$ は $U+W$ を生成する。独立性を示すため
$$ \sum_i c_ia_i+\sum_jd_ju_j+\sum_\ell e_\ell w_\ell=0 $$
とする。$\sum_jd_ju_j=-\sum_i c_ia_i-\sum_\ell e_\ell w_\ell$ は $U$ と $W$ の両方に属するので $U\cap W$ に属する。したがって $U$ の基底の独立性からすべての $d_j=0$。残った式を $W$ の基底で見ればすべての $c_i,e_\ell=0$。よって結合列は基底である。
したがって $\dim(U+W)=k+p+q$、$\dim U=k+p$、$\dim W=k+q$、$\dim(U\cap W)=k$ であり、式が従う。