6-0 章の見取り図

$$\newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}} \newcommand{abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{angleb}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} \newcommand{Arg}[0]{\operatorname{Arg}} \newcommand{Ba}[0]{\mathbf{a}} \newcommand{BB}[0]{\mathscr{B}} \newcommand{Bb}[0]{\mathbf{b}} \newcommand{Be}[0]{\mathbf{e}} \newcommand{Bu}[0]{\mathbf{u}} \newcommand{Bv}[0]{\mathbf{v}} \newcommand{Bw}[0]{\mathbf{w}} \newcommand{Bx}[0]{\mathbf{x}} \newcommand{By}[0]{\mathbf{y}} \newcommand{Bzr}[0]{\mathbf{0}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{CC}[0]{\mathscr{C}} \newcommand{F}[0]{\mathbb{F}} \newcommand{floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{ind}[0]{\mathrm{ind}} \newcommand{K}[0]{\mathbb{K}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{L}[0]{\mathbb{L}} \newcommand{mmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{Mod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{N}[0]{\mathbf{N}} \newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rank}[0]{\operatorname{rank}} \newcommand{span}[0]{\operatorname{span}} \newcommand{SS}[0]{\mathscr{S}} \newcommand{TT}[0]{\mathscr{T}} \newcommand{UU}[0]{\mathscr{U}} \newcommand{wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

この章の問い

方程式に解がないとき、「最も近い答え」をどう決めるか。長さと角度を測ると何ができるか。

道筋

  • 内積とノルム/Cauchy–Schwarz と三角不等式:長さと角度の定義。
  • 直交補空間/Gram–Schmidt 法と QR 分解:直交する座標を作る。
  • 直交射影/最小二乗法:最も近い点と、解のない方程式の近似解。
  • 直交変換:長さを保つ座標変換。

読み方

最初の 4 頁を順に読む。QR 分解と最小二乗法は計算例を追う。直交変換は終章の前提になる。

章末で言えること

残差がすべての列に直交する解、すなわち正規方程式 $A^{\mathsf T}Ax=A^{\mathsf T}b$ の解が、最も近い近似解である。

前の章から持ち込むもの

部分空間の直和、基底と座標、行列の転置と可逆性。

参考文献

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線形代数学I ― 連立方程式からベクトル空間・線形写像までの表紙
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