Algebra
Algebra is the general name for the branch of mathematics that analyzes mathematical objects through algebraic structures. Its basic subfields include group theory, commutative ring theory, field theory, representation theory, and homological algebra, treating concrete structures uniformly from abstract axiom systems. Comparing objects through structure-preserving maps such as isomorphisms and homomorphisms is a methodology common to algebra as a whole.
参考書
代数幾何学I ― アフィン代数的集合からスキームへ
多項式の共通零点集合（アフィン代数的集合）と座標環の対応から出発し、Zariski位相、Hilbertの基底定理・零点定理、局所環と接空間、次元を扱う。後半では前層と層、局所環付き空間、環のスペクトラム Spec とアフィンスキーム、スキームの貼り合わせと射、ファイバー積と特殊化、閉埋入・有限型・有限射を順に導入し、「環と幾何の翻訳」を一貫した軸にする。最後に射影空間と斉次座標を橋渡しとして導入し、総合問題で全体を往復する。前提は可換環論（イデアル・局所化・素イデアル）と体の初歩である。
2023年9月18日
群論 ― 準同型・群作用・Sylow の定理と有限群の分類
群の定義から出発し、準同型と商群、群の作用、Sylow の定理、組成列、可解群と冪零群、自由群を順に学び、最後に小さな位数の有限群を具体的に分類する。対称性の計算から始めて、写像で群を比べる、類にまとめて新しい群を作る、集合に作用させて数える、という三つの方法を軸に進む。各章で証明を一つずつ確かめ、最後に Sylow の定理と半直積を組み合わせて、位数 15 までの群を分類する地図を作る。前提は、集合と写像、整数の割り算、および線形代数の初歩である。
2023年6月11日
体とGalois理論 ― 拡大・分離性・正規性・Galois対応から一般五次方程式まで
体の拡大を「ベクトル空間として測る」ことから出発し、代数的元と最小多項式、分離性、分解体と正規性、有限体を順に整える。そのうえで、拡大の対称性を群として捉えるGalois群とArtinの固定体定理を示し、Galoisの基本定理（中間体と部分群の反転対応）を証明する。後半は円分体、定規とコンパスによる作図可能数、根号による可解性と一般五次方程式の非可解性へ進み、対称性の言葉で方程式の解の様子を判定する。前提は群論（220）と環・多項式環（225）の初歩である。
2023年6月14日
環とイデアル ― 多項式環・PID・UFD
整数と多項式に共通する「足して掛けられる」構造として環を定義し、単元・零因子・整域・体、環準同型とイデアル、商環と同型定理、素イデアルと極大イデアルを順に学ぶ。後半では、体上の多項式環、Euclid 整域から主イデアル整域（PID）、一意分解整域（UFD）への道筋、Gauss の補題による整数係数多項式の既約性、中国剰余定理を扱う。各章で「整数で成り立つ性質がどこまで一般の環で成り立つか」を確かめる。前提は、集合と写像、整数の割り算、および線形代数の初歩である。
2023年6月14日
有限体・符号・有限幾何 ― 手で計算して確かめる
四つの元しかない体を筆算で作るところから始め、有限体の演算表、Frobenius 写像と冪表、既約多項式の次数と個数、線形符号の生成行列と検査行列、巡回符号（長さ 7 の Hamming 符号）、七点七直線の有限射影平面までを、小さい例を手で最後まで計算しながら学ぶ。各章は「定義→命題と証明→計算例→解答付き演習」の形で、演算表・行列・接続表を自分で再現できることを目標にする。前提は線形代数と、環・イデアルの初歩（商環、剰余類）である。
2023年9月9日
